Examen Final (Décembre 2011) PDF L2 MASS

Examen Final (Décembre 2011)

L2 MASS - Algèbre linéaire (1) Un produit scalaire est une forme bilinéaire ? : E × E ? R qui vérifie trois ... Exercice 1 (Forme bilinéaire).

Examen “Algèbre bilinéaire”

Solution. (1.5 points) q est une forme quadratique car q(A) = b(A A) où b : (A

Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE

est vraie. 3. Exercices Corrigés. Exercice 1. Donner la négation des propositions suivantes : (1) ?x ? IR?y

Examen premi`ere session - Corrigé

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Algèbre - Cours de première année

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ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE

I. Les matrices et abrégé d'algèbre linéaire Ces deux références proposent un cours complété d'exercices avec solutions la sec-.

LALGÈBRE LINÉAIRE POUR TOUS

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L2 MASS - Algèbre linéaireAnnée 2012-2013Examen Final (Décembre 2011)

Questions de cours.

(1) Un produit scalaire est une forme bilinéaire :EE!Rqui vérifie trois propriétés. Donner ces trois propriétés (noms et définitions). Un produit scalaire est une forme bilinéaire :EE!R symétrique:(~x;~y) = (~y;~x);8~x;~y2E, définie:(~x;~x) = 0)~x=~0, positive:(~x;~x)>0;8~x2E. (2) Énoncer le théorème de diagonalisation des matrices symétriques. Tout matrice symétrique admet une base orthonormée de vecteurs propres.

Exercice 1(Forme bilinéaire).

On travaille dans l"espace vectorielR2[X]des polynômes à coefficients réels et de degrés inférieurs

ou égaux à2. On considère l"application :R2[X]R2[X]!R (P;Q)7!(P;Q) := 2P(0)Q(2)6P(1)Q(0): (1) Quelle est la dimension de l"espace vectorielR2[X]? (Justifier votre réponse.) Comme la famille à3élémentsf1; X; X2gforme une base deR2[X], ce dernier est de dimension3. (2) L"applicationest-elle bilinéaire? (Dans les deux cas, le démontrer.) Le calcul suivant montre que l"applicationest linéaire à gauche (1P1+2P2;Q) = 2(1P1(0) +2P2(0))Q(2)6(1P1(1) +2P2(1))Q(0) =1(P1;Q) +2(P2;Q): Un calcul similaire montre la linéarité à droite. La formeest donc bilinéaire. (3) L"applicationest-elle symétrique? (Dans les deux cas, le démontrer.) L"applicationn"est pas symétriquecar, en général, on a (P;Q) = 2P(0)Q(2)6P(1)Q(0)6= (Q;P) = 2Q(0)P(2)6Q(1)P(0): Par exemple, si on considèreP= 1etQ=X, on a alors (1;X) = 46=6 = (X;1): 1 (4) Écrire la matriceM:= MatB()de la forme bilinéairedans la base canonique

B:=f1; X; X2g

deR2[X]. La matriceMatB()est formée des valeurs prises par la forme bilinéairesur les paires de

vecteurs def1; X; X2g; à la ièmeligne et jèmecolonne, on place le coefficient(Xi1;Xj1):M= MatB() =0

@4 4 8 6 0 0

6 0 01

A: (5) Quel est le rang de la forme bilinéaire?

Par définition, le rang de la forme bilinéaireest le rang de la matriceMqui vaut2.(6) Montrer que la famille

0:=f1; X1;(X1)2g

est une base et donner la matrice de passageP:= MatB;B0(id). La matrice de passagePest formée des coefficients des vecteurs de la familleB0dans la base B:P=0 @11 1 0 12

0 0 11

A: Comme cette matrice est de rang maximal (3), alors la familleB0est un base deR2[X]. (7) Donner la matriceN:= MatB0()de la forme bilinéairedans la baseB0. D"après un théorème du cours, on sait que la matriceN= MatB0()est donnée par

N=tPMP=0

@1 0 0 1 1 0 12 11 A0 @4 4 8 6 0 0

6 0 01

A0 @11 1 0 12

0 0 11

A =0 @4 84 222

2 2 21

A(8) Décrire la forme quadratiqueqassociée à la forme bilinéaire. Par définition, la forme quadratiqueqassociée à une forme bilinéaireestq:R2[X]!R

P7!q(P) := (P;P) = 2P(0)P(2)6P(1)P(0) = 2P(0)(P(2)3P(1)):On considère la forme bilinéaire symétrique

:R2[X]R2[X]!R (P;Q)7!(P;Q) :=P(0)Q(2) +P(2)Q(0)3P(0)Q(1)3P(1)Q(0): (9) Montrer que la forme bilinéaireest la forme polaire de la forme quadratiqueq. La forme quadratique associée àest égale àq: (P;P) =P(0)P(2) +P(2)P(0)3P(0)P(1)3P(1)P(0) = 2P(0)(P(2)3P(1)) =q(P): On sait qu"il n"y a qu"une seule forme bilinéaire symétrique qui donne une forme quadra- tique donnée. Dans le cas de la forme quadratiqueq, il s"agit de la forme bilinéaire; c"est donc bien la forme polaire associée àq. 2

Exercice 2(Diagonalisation des matrices).

On considère la matriceM2M3(R)suivante

M:=0 @1 1 1 1 2 0

1 0 21

A (1) Calculer le rang de la matriceM3I.

La matriceM3Iest

M3I=0 @2 1 1 11 0 1 011 A En ajoutant à la première colonne, les deux autres colonnes, on trouve la matrice 0 @0 1 1 01 0 0 011 A qui est de rang2. Comme les opérations par colonnes ne changent pas le rang d"une matrice, la matriceM3Iest de rang2. (2) Est-ce que3est une valeur propre deM? Si oui, quelle est la dimension du sous-espace propreE3. Le théorème du rang appliqué à la matriceM3Idonne

3 = dimKer(M3I) + rg(M3I);

ce qui permet de conclure que la dimension du noyau deM3Ivaut1. Il existe donc des vecteursXnon nuls, tels queMX= 3X, c"est-à-dire des vecteurs propres de valeur propre3. Le sous-espace propreE3= Ker(M3I)est de dimension1. (3) Calculer le polynôme caractéristiqueMde la matriceM.

Par définition, le polynôme caractéristiqueMde la matriceMest le déterminant de la matrice

MXI. Il est égal à

M(X) =1X1 11 2X01 0 2X:

En ajoutant à la première colonne, les deux autres colonnes, on trouve

M(X) =3X1 13X2X03X0 2X= (3X)1 1 1

1 2X01 0 2X:

Enfin, en développant par rapport à la dernière colonne, on obtient

M(X) =(3X)((2X) + (2X)(1X)) =(3X)X(X2)(4) Déterminer le spectre deM, c"est-à-dire l"ensemble de ses valeurs propres.

Le spectre deMest égal à l"ensemble des racines du polynôme caractéristiques soitSp(M) =f0;2;3g:

(5) Peut-on conclure que la matriceMest diagonalisable en utilisant seulement la forme du polynôme caractéristique?

Oui, comme le polynôme caractéristique est scindé à racines simples, alors cela implique que

la matriceMest diagonalisable. (Dans ce cas, les trois sous-espaces propres non-triviauxE0, E

2etE3sont de dimension1et ils engendrent tout l"espaceR3.)

On considère la baseFsuivante

f1:=0 @0 1 11 A ;~f2:=0 @1 2 01 A ;~f3:=0 @3 2 21
A (6) À partir de cette base, construire une base orthonorméeUdeR3(muni de son produit scalaire canonique). Donner le nom de l"algorithme que vous utiliser. On applique l"algorithme de Gram-Schmidt à la baseFpour obtenir une base orthonormée de R

3. La norme du premier vecteur estjj~f1jj=p2. On pose donc~u

1:=p2 2 0 @0 1 11 A: SoitF1= Vect(f~u1g)la droite engendrée par~u1. La projection orthogonale de~f2surF1est proj ?F

1(~f2) =h~f2;~u1i~u1=0

@0 1 11 A

Le vecteur

f2proj?F

1(~f2) =0

@1 1 11 A est orthogonal à~u1. Sa norme vautp3; on le normalise pour obtenir le deuxième vecteur~u 2:=p3 3 0 @1 1 11 A: SoitF2= Vect(f~u1;~u2g)le plan engendré par~u1et~u2. La projection orthogonale de~f3sur F 2est proj ?F

2(~f3) =h~f3;~u1i~u1+h~f3;~u2i~u2= 2:0

@0 1 11 A + 1:0 @1 1 11 A =0 @1 3 11 A

Le vecteur

f3proj?F

2(~f3) =0

@2 1 11 A est orthogonal à~u1et à~u2. Sa norme vautp6; on le normalise pour obtenir le troisième vecteur~u 3:=p6 6 0 @2 1 11 A: Au final, la familleU:=f~u1;~u2;~u3gforme une base orthonormée deR3. (7) La base orthonorméeUest-elle une base de diagonalisation deM, c"est-à-dire une base de vecteurs propres deM?

Un calcul direct montre que

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[PDF] Examen Final (Décembre 2011) L2 MASS - Algèbre liné

Questions de cours.

Exercice 1(Forme bilinéaire).

B:=f1; X; X2g

6 0 01

0:=f1; X1;(X1)2g

0 0 11

N=tPMP=0

6 0 01

0 0 11

2 2 21

Exercice 2(Diagonalisation des matrices).

On considère la matriceM2M3(R)suivante

1 0 21

La matriceM3Iest

3 = dimKer(M3I) + rg(M3I);

MXI. Il est égal à

M(X) =1X1 11 2X01 0 2X:

M(X) =3X1 13X2X03X0 2X= (3X)1 1 1

1 2X01 0 2X:

2etE3sont de dimension1et ils engendrent tout l"espaceR3.)

On considère la baseFsuivante

3. La norme du premier vecteur estjj~f1jj=p2. On pose donc~u

1(~f2) =h~f2;~u1i~u1=0

Le vecteur

1(~f2) =0

2(~f3) =h~f3;~u1i~u1+h~f3;~u2i~u2= 2:0

Le vecteur

2(~f3) =0

Un calcul direct montre que