Examen dalgèbre du 18 juin 2012 durée : 4h Questions de cours PDF

Algèbre - Cours de première année

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Examen dalgèbre du 18 juin 2012 durée : 4h Questions de cours

Montrer que ? est un isomorphisme de groupes. Exercice 3 : On considère l'anneau Z[X] des polynômes à une indéterminée à coefficients dans Z.

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R? ??? ???????I?????? ?? ????? ??????? ??R[X]? ??? ???????I?????? ?? ????? ??????? ??R[X]? R[X]? ??? ??????? ???X

25????A?

S ?? ??????? ???Card(S+) =Card(S)? ?? ??? ????Card(G)? ??????f??R3???? ?? ??????? ???? ?? ????(e1;e2;e3)??? M=0 @2 1 1 1 5 4 1321
A M=0 @1 0 0 0 2 0

0 1 21

A ??????? ?? ???????v? ??????f??C3???? ?? ??????? ???? ?? ????(e1;e2;e3)??? M=0 @1 1 0 0 1 2

1 0 11

A ?? ?? ???????f??f? ;p3 2 ;1)? A

3= (12

;p3 2 ;1)?B1= (1;0;1)?B2= (12 ;p3 2 ;1)?B3= (12 ;p3 2 ;1)??R3? d

V ect <(0;0;1)>?

A ?? ??????? ???Stab(d1) =F1[C1? ?? ??????? ???jF1j=jC1j? d 2? ????S3? ??? ??????? ???G=H[sH? ??? ??????? ??? ???? ????g2G?? ???? ????v2P?? ?gsg1(v) =v? ??? ?? ??????? ??? ???? ????g2G?? ?gs=sg? i=0aiXi??????? ?? i=0a iXi? ??? ???? ??? ?? ????? ??f? ??? ????P=Pd Z[X]?

P???????P(p5)?

P(ei3 ??C[X]? ??Z[X]? ??? ???? ??? ?? ????? ??g? (P(p5);P(ei3

Universite Joseph Fourier L3 - Parcours B

Annee universitaire 2011/2012

EXAMEN GGMAT35c

19 juin 2012

Documents, calculatrices et telephones portables interdits. Dans la notation, il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justications.

Duree : 4h

Exercice 1(Questions de cours) (4 points)

1. Soitk:kune norme surRn; n1. Montrer que la normek:k1est plus ne que la norme

k:k:

9C >0;8u2Rnkuk Ckuk1:

2. (a) Caracteriser une partie fermee d'un espace vectoriel norme a l'aide des suites.

(b) Montrer que dans un espace vectoriel norme toute partie compacte est bornee et fermee.

3. Enoncer le theoreme de Riesz sur la compacite de la boule unite fermee.

4. Enoncer le theoreme du point xe.

Exercice 2(3 points)

On considereR2muni de la metrique euclidienne. On denit :

A=f(x;y)2R2;jxj yx2g:

Determiner siAest ouvert, ferme, compact, connexe par arcs. Decrire l'interieur deAodeA.

Justier vos reponses.

Exercice 3(4 points)

Soitf:R!Rune fonction continue. On rappelle que le graphe defest l'ensemble f= f(x;y)2R2;y=f(x)gmuni de la topologie induite par la topologie usuelle deR2.

1. Montrer que

fest connexe par arcs.

2. Montrer quefa un point xe si et seulement si frencontre la bisectrice =f(x;x)2

R 2g.

3. Expliciter (en justiant) les composantes connexes par arcs deR2n.

4. Montrer que sifn'a pas de point xe, alors l'applicationidRf:R!Rest de signe

constant. En deduire qu'une application continue bornee deRdansRa des points xes.

T.S.V.P.

Exercice 4(3 points)

SoitEl'espace vectoriel des fonctions polynomiales deRdansR. Pour toutP2E, on pose kPk1= sup t2[0;1]jP(t)j;kPk2= sup t2R(ejtjjP(t)j)

1. Montrer quek:k1etk:k2sont des normes surE.

2. Montrer qu'il existeC >0 tel que pour toutP2E;kPk1CkPk2:

3. Soitn0 un entier. CalculerkPk1etkPk2pourP(t) =tn. En deduire que les deux

normesk:k1etk:k2ne sont pas equivalentes.

Exercice 5(6 points)

On munit l'espaceE=C([0;1];R) des fonctions reelles continues sur l'intervalle [0;1] de la normekfk1= supx2[0;1]jf(x)j. On noteFle sous-espace vectoriel deEdes fonctionsf2E qui sont derivables et a derivee continue sur [0;1].

1. Montrer que la forme lineaireL:F!RdeFdenie parL(f) =f0(1=2) n'est pas continue

pour la topologie de la normek:k1surF. (Indication : on pourra considerer la suite de fonctionsfn:x7!sin(2nx)).

2. On considere la suite (fn)n2Nde fonctions deEdenie parfn(x) =q(x1=2)2+1n

2. Montrer que cette suite converge dansEvers une fonction que l'on determinera.

3. Montrer queFn'est pas complet pour la normek:k1.

4. On munitFde la normekfk=kfk1+kf0k1. Montrer queFest un espace de Banach

pour cette norme.

5. Soiti: (F;k:k)!(F;k:k1) l'application identique denie pari(f) =f. Montrer quei

est continue et calculer sa norme triple. Montrer que l'inverse dei: (F;k:k1)!(F;k:k) n'est pas continue. 2

Universite Joseph Fourier L3 - Parcours B

Annee universitaire 2011/2012

EXAMEN GGMAT35c

4 janvier 2012

Documents, calculatrices et telephones portables interdits. Dans la notation, il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justications.

Duree : 4h

Exercice 1(Questions de cours)

1. Rappeler la denition d'un ensemble convexe d'un espace vectoriel norme. Montrer que

tout ensemble convexe est connexe par arcs.

2. Montrer que dans un espace vectoriel norme de dimension nie toute partie bornee et

fermee est compacte.

3. (a) Citer le theoreme de Stone-Weierstrass.

(b) Montrer en utilisant le theoreme de Stone-Weierstrass que toute fonctionf2C([0;1];R) est limite uniforme de fonctions polynomiales.

4. Soit (E;k:k) un espace vectoriel norme. Montrer que toute suite de Cauchy d'elements

deE, qui admet une valeur d'adherence, converge. En deduire que toute partie compacte d'un espace vectoriel norme est complete.

Exercice 2

On prendra soin de justier toute armation le plus soigneusement possible.

Soit (E;k:k) un espace vectoriel norme.

1. SoientAetBdeux parties deE. Montrer que

(A\B)o=Ao\Bo;A\BA\B: Donner un exemple d'un espace vectoriel normeEet de deux partiesAetBdeEtelles queA\B6=A\B.

2. SoitE=R2muni de la norme euclidiennek:k2. On s'interesse dans cette partie a

l'ensemble

A:=B((0;0);1)\B((1;0);1):

Dans cette partie on pourra utiliser les resultats du cours sur l'interieur de la boule fermee etc. (a) La partieAest elle ouverte, fermee ? Justier la reponse. (b) Decrire l'adherence

Aet l'interieurAodeA. Justier la reponse.

T.S.V.P.

Exercice 3

SoitE=C([1;1];R) muni de la norme

kfk1= maxx2[1;1]jf(x)j: Pour une fonction continuep: [1;1]!Ron noteNp(f) =kpfk1.

1. Soitp1(x) := 1 +jxj. Montrer queNp1(:) denit une norme surEqui est equivalente a la

normek:k1.

2. Soitp2(x) =x:

(a) Montrer queNp2(:) denit une norme surE. (b) Montrer quek:k1est plus ne queNp2(:) :

9 >0;8f2E; Np2(f)kfk1:

0jxj>1n+1:

Montrer queNp2(fn)1n+1.

(d) En deduire que les normesNp2etk:k1ne sont pas equivalentes.

3. On denit

3(x) =0x0;

x x >0:

Montrer queNp3(:) ne denit pas une norme surE.

Exercice 4

SoitR[X] l'espace vectoriel des polyn^omes a coecients reels. PourP=Pn i=0aiXi2R[X] on posekPk= maxi2f0;:::;ngjaij.

1. Montrer quek:kdenit une norme.

2. On considere l'application

L:(R[X];k:k)!(R[X];k:k)

P7!P0 ouP0designe la derivee deP. (a) Montrer queLest lineaire. (b) CalculerkL(Xn)kpour tous les mon^omesXn; n2N. En deduire queLn'est pas continue. (c) SoitR[X]nle sous-espace vectoriel de polyn^omes de degre inferieur ou egal an. Montrer queLenvoieR[X]ndans lui-m^eme. Montrer queLjR[X]nest continue et calculer sa norme triple. (d) Est-ce qu'il existe une application lineaireT:R[X]n!R[X]nqui n'est pas continue ? 2

Exercice 5

SoitEun espace vectoriel norme etXune partie compacte de E. Soitf:X!Xune application expansive :

8x;y2X;kf(x)f(y)k kxyk:(1)

On posefn=f:::f(nfois) pourn2N,f0=idX.

1. Soientx;y2X.

(a) Montrer qu'il existe une application':N!Nstrictement croissante telle que (f'(n)(x))n2Net (f'(n)(y))n2Nsoient convergentes. (b) En iterant (1) montrer que pour toutn;p2Non a kxfp(x)k kf'(n)(x)f'(n)+p(x)k: (c) En utilisant le fait que (f'(n)(x))n2Net (f'(n)(y))n2Nsoient de Cauchy et en choisis- santpde facon appropriee, deduire que

8" >0;9p2N;kxfp(x)k "etkyfp(y)k ":(2)

(d) Montrer quefest une isometrie deXdansX:

8x;y2X;kf(x)f(y)k=kxyk:

et en deduire quefest continue.

2. (a) Deduire de (2) que pour toutx2Xon ad(x;f(X)) = 0:

(b) Montrer quef(X) est compact. En deduire quef(X) est un ferme. Deduire ensuite de 2. (a) quefest surjective. 3

Université Joseph Fourier (Grenoble 1) UFR IM

2AG L3 de Mathématiques, Calcul Intégral B (MAT 366)

Examen du 15 mai 2012, 9h-12h(13h)

Les documents, téléphones portables, ordinateurs et calculatrices sont interdits.quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

[PDF] Examen dalgèbre du 18 juin 2012 durée : 4h Questions de cours

25????A?

0 1 21

1 0 11

3= (12

V ect <(0;0;1)>?

P???????P(p5)?

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EXAMEN GGMAT35c

19 juin 2012

Duree : 4h

Exercice 1(Questions de cours) (4 points)

1. Soitk:kune norme surRn; n1. Montrer que la normek:k1est plus ne que la norme

9C >0;8u2Rnkuk Ckuk1:

2. (a) Caracteriser une partie fermee d'un espace vectoriel norme a l'aide des suites.

3. Enoncer le theoreme de Riesz sur la compacite de la boule unite fermee.

4. Enoncer le theoreme du point xe.

Exercice 2(3 points)

A=f(x;y)2R2;jxj yx2g:

Justier vos reponses.

Exercice 3(4 points)

1. Montrer que

2. Montrer quefa un point xe si et seulement si frencontre la bisectrice =f(x;x)2

3. Expliciter (en justiant) les composantes connexes par arcs deR2n.

4. Montrer que sifn'a pas de point xe, alors l'applicationidRf:R!Rest de signe

T.S.V.P.

Exercice 4(3 points)

1. Montrer quek:k1etk:k2sont des normes surE.

2. Montrer qu'il existeC >0 tel que pour toutP2E;kPk1CkPk2:

3. Soitn0 un entier. CalculerkPk1etkPk2pourP(t) =tn. En deduire que les deux

Exercice 5(6 points)

1. Montrer que la forme lineaireL:F!RdeFdenie parL(f) =f0(1=2) n'est pas continue

2. On considere la suite (fn)n2Nde fonctions deEdenie parfn(x) =q(x1=2)2+1n

3. Montrer queFn'est pas complet pour la normek:k1.

4. On munitFde la normekfk=kfk1+kf0k1. Montrer queFest un espace de Banach

5. Soiti: (F;k:k)!(F;k:k1) l'application identique denie pari(f) =f. Montrer quei

Universite Joseph Fourier L3 - Parcours B

Annee universitaire 2011/2012

EXAMEN GGMAT35c

4 janvier 2012

Duree : 4h

Exercice 1(Questions de cours)

1. Rappeler la denition d'un ensemble convexe d'un espace vectoriel norme. Montrer que

2. Montrer que dans un espace vectoriel norme de dimension nie toute partie bornee et

3. (a) Citer le theoreme de Stone-Weierstrass.

4. Soit (E;k:k) un espace vectoriel norme. Montrer que toute suite de Cauchy d'elements

Exercice 2

Soit (E;k:k) un espace vectoriel norme.

1. SoientAetBdeux parties deE. Montrer que

2. SoitE=R2muni de la norme euclidiennek:k2. On s'interesse dans cette partie a

A:=B((0;0);1)\B((1;0);1):

Aet l'interieurAodeA. Justier la reponse.

T.S.V.P.

Exercice 3

SoitE=C([1;1];R) muni de la norme

1. Soitp1(x) := 1 +jxj. Montrer queNp1(:) denit une norme surEqui est equivalente a la

2. Soitp2(x) =x:

9 >0;8f2E; Np2(f)kfk1:

0jxj>1n+1:

Montrer queNp2(fn)1n+1.

3. On denit

3(x) =0x0;

Montrer queNp3(:) ne denit pas une norme surE.

Exercice 4

1. Montrer quek:kdenit une norme.

2. On considere l'application

L:(R[X];k:k)!(R[X];k:k)

Exercice 5

8x;y2X;kf(x)f(y)k kxyk:(1)

On posefn=f:::f(nfois) pourn2N,f0=idX.

1. Soientx;y2X.

8" >0;9p2N;kxfp(x)k "etkyfp(y)k ":(2)

8x;y2X;kf(x)f(y)k=kxyk:

2. (a) Deduire de (2) que pour toutx2Xon ad(x;f(X)) = 0:

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Examen du 15 mai 2012, 9h-12h(13h)