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CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL

POUR LA TROISIÈME ANNÉE DE LICENCE

2012-2013

Michèle Audin1. Espaces vectoriels normés

Exercice 1.1(Manhattan). Une ville est quadrillée par une famille de rues rectilignes numérotées et une

famille orthogonale d"avenues rectilignes numérotées. Montrer que, dans des coordonnées(x,y)asso-

ciées à des axes parallèles à ces directions, la distance à parcourir pour aller du point de coordonnées

(a,b)(sur laa-ième rue et lab-ième avenue) au point de coordonnées(a?,b?)est??a-a???+??b-b???.

DansR2, on considère

?(x,y)?1=|x|+|y|. Montrer que c"est une norme. Dessiner sa boule unité.

Exercice 1.2(Les parallélogrammes sont des boules). On considère un parallélogramme (non aplati) de

R

2centré à l"origine. Montrer qu"il existe une norme surR2dont ce parallélogramme est la boule

unité.

Exercice 1.3(Norme et convexité). Montrer qu"on peut, dans la définition d"une norme sur l"espace

vectorielE, remplacer la troisième propriété (inégalité triangulaire) par la suivante :

Exercice 1.4(Les normes?·?p). Soitp >0. Pourx= (x1,...,xn)?Rn, on pose ?x?p=? n? i=1|xi|p?1/p,?x?∞= sup (1) On suppose d"abord quen= 2. Dessiner l"ensembleB p=? dans chacun des cas oùp= 1/2,1,3/2,2,3,∞. p?B q. (3) La bouleB

1/2dansR2est-elle convexe? Montrer que, plus généralement,?·?pn"estpasune

norme surRnquandp <1. (4) On fixex?Rn. Montrer que?x?ptend vers?x?∞quandptend vers l"infini (ce qui justifie la notation). (5) On suppose maintenant quep≥1. Montrer quexi?→xp iest une fonction convexe sur]0,+∞[, puis quex?→ ?x?p

pest une fonction convexe surRn. Montrer que?·?pest une norme surRn.Ces exercices sont inspirés du livre [1] et des archives qu"ont bien voulu me transmettre Myriam Ounaies et Ilia Itenberg,

que je remercie. Merci à Jérôme Poineau pour son aide.

2MICHÈLE AUDIN

défini par1p +1q = 1. (1) Montrer que l"on a, pour tousa,b?R: +|b|qq (c"est l"inégalité de Young). (2) En déduire que l"on a, pour tous réelsa1,...,an,b1,...,bn: ?????n i=1a ibi? n? i=1|ai|p?

1/p?n?

i=1|bi|q? 1/q (3) Montrer (à nouveau) que?·?psatisfait à l"inégalité triangulaire.

Exercice 1.6(Retour sur l"équivalence des normes). Il est démontré dans le cours que toutes les normes

surRnsont équivalentes. C"est le cas en particulier des normes?·?pconsidérées dans l"exercice 1.4,

qui sont équivalentes entre elles, ce qui veut dire que, pour tousp,q?[1,+∞], il existe une constante

positiveC(p,q)telle que

Le but de cet exercice est de déterminer la plus petite constanteCp,qvérifiant cette inégalité.

(1) Dessiner la boule (1)B ∞(0,1)(dansR2), ainsi, sur la même figure, que la plus petite (resp. la plus grande) bouleB p(0,r)la contenant (resp. qu"elle contient). (4) Montrer que C p,q=n1q -1p pourp≥q.

Exercice 1.7. (1) Montrer que la formule

N(x) = sup

t?R? ???x

1+tx21 +t2?

définit bien une applicationN:R2→Ret que c"est une norme surR2. (2) Montrer queN(x) =12 (?x

21+x22+|x1|).

(3) Dessiner la boule unité de la normeN. (4) Comparer la normeNà la norme euclidienne deR2.

Exercice 1.8(Norme d"une matrice). On définit, sur l"espaceMn(R)des matrices carréesn×nà coef-

ficients réels, ?A?= sup (1) Montrer que?·?est une norme surMn(R). (2) Les coefficients d"une matriceAsont notésai,j. Montrer que ?A?= sup j=1|ai,j|. Exercice 1.9(En dimension infinie, suites). On fixe unp≥1. SoitEl"ensemble des suitesx= (xn)n?N de nombres réels telles que la série n=0|xn|pest convergente.(1) ParB p(x,r), on désigne la boule fermée de centrexet de rayonrpour la norme?·?p.

EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL3

(1) Montrer queE, avec l"addition des suites et leur multiplication par les nombres réels, est un espace vectoriel. (2) Pourx?E, on pose ?x?p=? n=0|xn|p?1/p.

Montrer que?·?pest une norme surE.

Exercice 1.10(En dimension infinie, fonctions continues). SoitEl"espace vectoriel des fonctions conti-

nues de[0,1]dansR. Pourf?E, on pose : ?f?1=? 1

0|f(t)|dt,?f?∞= sup

t?[0,1]|f(t)|. (1) Montrer que?·?1et?·?∞sont des normes surE. (2) Montrer que (3) Montrer que ces deux normes ne sont pourtant pas équivalentes.

Exercice 1.11. SoitEl"espace vectoriel des suites réelles(xn)n?Nnulles à partir d"un certain rang,

c"est-à-dire telles qu"il existe un entier?(qui dépend de la suite considérée) tel que tous lesxpavec

p > ?sont nuls. Pourx= (xn)n?N?E, on pose ?x?1=+∞? n=0|xn|. (1) Montrer que?·?1est une norme surE. (2) Montrer que l"espace vectoriel norméEn"est pas complet.

2. Applications linéaires continues

Exercice 2.1. On notex·yle produit scalaire des vecteursxetydeRn. On fixe un vecteura?Rn et on considère l"application f:Rn---→R x?---→a·x (1) Montrer quefest linéaire et continue. la valeur absolue). Exercice 2.2. On considère l"espace vectorielEdes fonctions continues de[0,1]dansR. On le munit

de la norme?·?1(comme définie dans l"exercice 1.10). On considère l"applicationP:E→Equi, à

toute fonction continuefassocie sa primitive qui s"annule en0. Montrer quePest un endomorphisme continu et calculer sa norme. Exercice 2.3. SoientE,FetGtrois espaces vectoriels normés. On munitE×Fde la norme ?(x,y)?= sup(?x?,?y?).

SoitB:E×F→Gune application bilinéaire.

(1) Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes : (a) L"applicationBest continue. (b) L"applicationBest continue en(0,0). (c) Il existe une constanteM≥0telle que (2) On suppose queEetFsont de dimension finie. Montrer que toutes les applications bilinéaires sont continues.

4MICHÈLE AUDIN

(3) Dans le cas général, on appelleL2(E×F,G)l"ensemble des applications bilinéaires continues

deE×FdansG. Montrer que c"est un espace vectoriel, que ?B?= sup est une norme sur cet espace, et qu"on a

3. Différentiabilité

Exercice 3.1. On suppose que(x,y)?→f(x,y)est différentiable (deR2dansR). Dériver la fonction

u(x) =f(x,-x)et calculer la différentielle de l"applicationg(x,y) =f(y,x).

Exercice 3.2. Écrire la différentielle d"une application constante, d"une application linéaire, d"une ap-

plication quadratique surRn. Exercice 3.3. SoitUun ouvert d"un espace vectoriel norméE, soitFun espace vectoriel normé, et soitf:E→Fune application différentiable. On fixea?Uetv?E. On demande de calculer la dérivée de t?---→f(a+tv) ent= 0. Exercice 3.4. On reprend les notations de l"exercice 2.3. On suppose queE,FetGsont de dimension

finie. Montrer que toute application bilinéaire est différentiable et calculer sa différentielle.

Exercice 3.5. Soientf:R→Retg:R2→Rdeux applications différentiables. Montrer que l"application h:R2---→R (x,y)?---→f(x+g(x,y)) est différentiable et calculer sa différentielle en chaque point. Exercice 3.6. SoitEl"espace des matrices carréesn×n. On fixe une matriceM?E. On considère l"application f:E---→E

A?---→AMA.

Montrer qu"elle est différentiable en tout point et calculer sa différentielle. Exercice 3.7. SoitEun espace vectoriel normé de dimension finie. L"espaceL(E)des endomorphismes deEest muni de la norme ?L?= sup

Soitkun entier≥1. Montrer que l"applicationL?→Lk(deL(E)dans lui-même) est différentiable et

calculer sa différentielle. Exercice 3.8. Soientf:R→Retg:R2→Rdeux applications différentiables. Montrer que l"application h:R2---→R (x,y)?---→f(xy2g(x,y)) est différentiable et calculer sa différentielle en chaque point.

EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL5

Exercice 3.9. On considère deux applications différentiables g:R3---→R2 (x,y,z)?---→(g1(x,y,z),g2(x,y,z)) etf:R→R. Montrer que l"application h:R3---→R2 (x,y,z)?---→(f(g1(x,y,z)g2(x,y,z)),g1(x,y,z) +f(g2(x,y,z))) est différentiable et calculer sa différentielle en chaque point. Exercice 3.10. On considère l"applicationf:R2→Rdéfinie par f(x,y) =? ?x 2y2x

2+y2si(x,y)?= 0,

0sinon.

Calculer ses dérivées partielles. Sont-elles continues? L"applicationfest-elle différentiable en(0,0)?

Mêmes questions avec l"applicationg:R2→Rdéfinie par g(x,y) =? ?xy 2x

2+y2si(x,y)?= 0,

0sinon.

Exercice 3.11(Différentielle de l"inverse). L"espaceMn(R)des matricesn×nréelles est muni d"une

norme " opératorielle (2)». On appelleIdla matrice identité. (1) Montrer que, si?H?<1, la matriceId-Hest inversible, et qu"on a : (Id-H)-1=∞? k=0Hk. (2) Montrer que, pour toute matrice inversibleA, le groupeGL(n;R)des matrices inversibles contient une boule ouverte centrée enA, et en déduire que c"est un ouvert deMn(R). (3) Montrer que l"applicationf: GL(n;R)→GL(n;R)définie parf(A) =A-1est différentiable enIdet calculer sa différentielle. (4) Montrer qu"elle est différentiable enApour toutAet calculer sa différentielle. Exercice 3.12. On considère les applicationsfetgdéfinies par f:R2---→R3g:R3---→R2 (x,y)?---→(x2y,xy,xy3) (x,y,z)?---→(x+y+z,xyz)

Calculer

-la matrice jacobienne defena, -la matrice jacobienne degenf(a), -la matrice jacobienne deg◦fena. Exercice 3.13(Applications homogènes). SoientEetFdeux espaces vectoriels normés de dimension finie, soitαun nombre réel, et soitUun ouvert deEtel que x?Uett >0?tx?U. On dit qu"une application différentiablef:U→Fest homogène de degréαsi ?x?U,?t >0, f(tx) =tαf(x). On dit qu"elle vérifie l"identité d"Euler si ?x?U,(df)x(x) =αf(x).(2) C"est-à-dire, une norme?·?étant fixée surRn, ?A?= sup ?x?=1?Ax?.

6MICHÈLE AUDIN

On montre dans la suite que ces deux propriétés sont équivalentes. (1) On suppose quefest homogène de degréα. (a) Soitxun point deU. On définit ?:]0,+∞[---→F t?---→f(tx). Montrer que?est différentiable sur]0,+∞[et calculer??(t)(pour toutt). (b) Montrer quefvérifie l"identité d"Euler. (2) On suppose, réciproquement, quefvérifie l"identité d"Euler. (a) Soitxun point deU. On définit

ψ:]0,+∞[---→F

t?---→1t

αf(tx).

Montrer queψest différentiable sur]0,+∞[et calculerψ?(t)(pour toutt). (b) Montrer quefest homogène de degréα. Exercice 3.14. Soitfl"application définie surR2- {0}par f(x,y) =?xx

2+y2,yx

2+y2? Déterminerf◦fet montrer quefest un difféomorphisme de classeC1deR2- {0}dans lui-même. Exercice 3.15. On munitR2de la nome euclidienne et l"espace des matrices carrées2×2de la norme habituelle (comme dans l"exercice 1.8). On considère la matrice

A=?a b

b-a? , a,b?R.

Montrer que?A?=⎷a

2+b2. On considère l"applicationfde l"exercice 3.14. Calculer la matrice

jacobienne defet montrer que, pour tout(x,y)?R2- {0}, on a ???(df)(x,y)???=1x 2+y2. Montrer que l"application linéaire(df)(x,y)conserve les angles dansR2. Exercice 3.16. SoientUun ouvert connexe d"un espace vectoriel norméEde dimension finie,Fun

autre espace vectoriel normé de dimension finie, etf:U→Fune application différentiable en tout

point deU. Montrer quefest lipschitzienne si et seulement si l"applicationx?→(df)xest bornée surU. Exercice 3.17. SoientEetFdeux espaces vectoriels normés de dimension finie, et soitUun ouvert

connexe deE. SoientL:E→Fune application linéaire etf:E→Fune application différentiable

surEtelle que ?x?U,(df)x=L.

Que peut-on dire def?

Exercice 3.18(Différentielle du déterminant). On considère l"espace vectorielMn(R)des matrices car-

rées d"ordrenà coefficients réels et l"application f:Mn(R)---→R

A?---→d´etA.

On noteIdla matrice identité et, pour tousietj,Mi,jla matrice dont tous les coefficients sont nuls

sauf celui situé sur lai-ème ligne et laj-ème colonne, qui vaut1. (1) Montrer quefest de classeC1. (2) Calculer(df)Id(Mi,j)(pour tousietj). (3) Montrer que(df)Id(H) = tr(H)pour toutH?Mn(R).

EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL7

Exercice 3.19(Lois de groupe surR). Soit?une loi de groupe surRdont on appelle l"élément neutree.

On suppose que l"application

f:R2---→R (x,y)?---→x ? y est de classeC1. On appelle∂1f,∂2fses deux dérivées partielles. (1) Montrer que, pour tousx,y?R, on a (∂2f)(x?y,e)= (∂2f)(x,y)·(∂2f)(y,e).

En déduire que(∂2f)(y,e)>0.

(2) On cherche à construire une fonction?:R→R, de classeC1, telle que ?x,y?R, ?(x ? y) =?(x) +?(y). En dérivant cette relation par rapport ày, montrer qu"alors la fonction?doit vérifier ?(x) =a? x edt(∂2f)(t,e) pour une certaine constantea.

(3) Réciproquement, montrer que, pour toute constantea?= 0, l"égalité précédente définit un dif-

féomorphisme de classeC1deRdansR, qui transforme la loi?en l"addition. (4) En particulier, la loi?est nécessairement commutative. Montrer que ce n"est pas le cas surR2, en considérant la loi (x1,x2)?(y1,y2) = (x1+y1,x2+ex1y2).

Exercice 3.20(Différentielle de l"inverse, en dimension infinie). SoientEetFdeux espaces de Banach.

On appelleL(E,F)l"espace des applications linéairescontinuesdeEdansF. On dit quef:E→F est un isomorphisme deEdansFsifest bijective et si son inversef-1?L(F,E). On appelle

Isom(E,F)l"ensemble des isomorphismes deEdansF.

(1) Soienth1?L(E,F)eth2?L(F,E). Montrer que (2) Soitg?L(E,E). On noteg0= Id,g1=g,gn=g◦gn-1pourn≥2. On suppose que?g?<1. (a) Montrer que la série de terme généralgnconverge absolument. (b) Soitm?N. Calculer(Id-g)?m? n=0gn?et?m? n=0gn?(Id-g). (c) Montrer queId-g?Isom(E,E). (3) Soitf?Isom(E,F). Soith?L(E,F). Montrer que ?h?<1?f-1??f+h?Isom(E,F).

En déduire queIsom(E,F)est un ouvert deL(E,F).

(4) On considère maintenant l"application ?: Isom(E,F)---→Isom(F,E) f?---→f-1 (a) Montrer que?est différentiable et calculer(d?)fpour toutf?Isom(E,F). (b) Montrer que?est de classeC1.

8MICHÈLE AUDIN

4. Inégalité des accroissements finis

Exercice 4.1. Montrer que le système d"équations???? ??x=12 sin(x+y) y=12 cos(x-y) admet au plus une solution (3).

Exercice 4.2(Nombres algébriques, nombres de Liouville). On dit quex?Rest algébrique de degré

au plusns"il est racine d"une équation polynomiale de degrénà coefficients entiers a nxn+···+a0= 0, ai?Z,n≥1. On dit quexest transcendant s"il n"est pas algébrique (pour aucun degré). (1) Montrer que⎷2est algébrique de degré au plus2.

(2) On suppose quexest algébrique de degré au plusn. En appliquant l"inégalité des accroissements

finis à un polynôme dontxest racine, montrer qu"il existe une constanteC >0telle que pour tous entiersp?Z,q≥1,????x-pq ???≥Cq n.

(3) On considère le nombre réelαdont le développement décimal comporte des1pour lesk!-ièmes

chiffres après la virgule, des zéros sinon : α= 1,1100010000000000000000010···=+∞? k=0110 k!.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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