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Ce chapitre suit de pr`es la pr?sentation des paragraphes IV 1 et IV 2 du livre “L'analyse au fil de l'histoire” de Hairer Wanner (Springer-Verlag 2002)



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Anthony BURCKARD - Accueil

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What is the Dutch Mathematics Olympiad?

The Dutch Mathematics Olympiad (`Nederlandse Wiskunde Olympiade' = NWO) is an annual mathematics competition for high school students. The NWO is not only aimed at the ``top-of-the-class'', but at every student who feels challenged by a problem that involves unusual, entertaining, and not-every-school-day mathematics.

What is the Dutch intermediate course?

The Dutch Intermediate Course orientates itself around everyday language needs. In the dialogues, you familiarize yourself with realistic stories and everyday situations. Accompany the two main characters of the course through the highs and lows of everyday life! You go with both protagonists on a quest to search for a new apartment.

What is the Department of mathematics?

Welcome to the Department of Mathematics, a service department offering courses in Mathematics to faculties within the University that may require them. Qualifications: MEd (Maths), BSc. (Hon), Teaching Diploma III 2015; Member of Executive Committee DUT Convocation 2011-2013. Qualifications: BSc (Mathematics), BSc.

What are MMI calculation stations?

In your Medical School interview, an MMI calculation station will involve you taking some key data and being able to make calculations or analyse and interpret the information. You will usually get between five and seven minutes to complete this type of mathematical station.

Math´ematiques

pour

Informaticiens

ErnstHairer

Universit´edeGen`eveJuin2004

Sectiondemath´ematiques

Casepostale240

CH-1211Gen`eve24

Contents

ITopologiede

?etfonctionscontinues4

IICalculmatriciel17

IVOptimisation48

2

VCalculint´egral64

VI.4.3Lesyst`emesolaire(probl`eme`a

?corps)..................86

VIIS´eriesdeFourier95

Remerciements

?heuresparse- maineet

ChapterI

Topologiede

etfonctionscontinues

Elleestdoncunefonctiondequatrevariables.

I.1Distancesetnormes

Nousconsid´eronsdescouples

??.L'ensemble detouslescouplesest ?(1.1) etl'ensembledetousles ?-uplesest

Les´el´ementsde

colonnesetlesvecteurslignes.

G´eom´etriquement,l'espace

points ??(1.3) o`u ??si?

Pourcalculerladistanceentre

?,nous figureI.1,droite)etnousobtenons

Topologiede

?etfonctionscontinues5

FigureI.1:Distancesdans

?etdans

Dansl'espace

?(1.4) ??.Ladistanceentre ?et??? Th (N1) (N2) (N3) ??????(in´egalit´edutriangle). D l'in´egalit´edeCauchy-Schwarz o`u D

´efinition1.2(norme)Unenormesur

?estuneapplication? ???satisfaisant(N1), (N2)et(N3).L'espace norme???,(1.6) ?normemaximum.(1.7) lesindices de norme???, et

6Topologiede

?etfonctionscontinues Th

´eor`eme1.3Pourtout

?,ona D ??dans ??(c'est-`a-dire????? ??)etlesproduitsmixtes d´efinitionsuivante. D ????et? ????sont´equivalentes s'ilexistedesconstantespositives ??et ??tellesque ??(1.10)

I.2Convergencedesuitesdevecteurs

suitesdevecteurs.Nousconsid´eronsdonc D convergeverslevecteur ?si ??oubien

LafigureI.2montrelasuite

dans ?avec?

Topologiede

?etfonctionscontinues7

Nousobservonsquesi

????est´equivalente`a? ????,alorsona convergenceavec ???????convergenceavec? ??????(2.2)

Eneffet,

?.Puisque ????estarbitraire ?,etnousvoyonsquelaconvergence avec ????impliquecelleavec?

Noussavonsd´ej`a(th´eor`eme1.3)que

????et? ????sont´equivalentes;nousverronsplus Th ????pour? i.e.laconvergencedans D ?pour? exemple,nousdisonsqu'unesuitedesvecteurs ????tel que ?pourtout??? choisie.Commedans

Onditqu'unesuite

??(2.3) que,pour Th

´eor`eme2.3(crit`eredeCauchydans

?)Unesuitedevecteursdans ?estconvergentesiet seulementsielleestunesuitedeCauchy. ?.Sad´emonstration,parcontre, Th

´eor`eme2.4(Bolzano-Weierstrassdans

?)Chaquesuiteborn´eedevecteursdans ?admet unesous-suiteconvergente. D

´emonstration.Soit

?.Lasuitedesespremi`erescomposantes alorsunesous-suiteconvergente,disons

8Topologiede

?etfonctionscontinues pourobtenirune sous-suiteconvergente,disons, gent.Pour ??,nousexaminonslestroisi`emes ?´etapes,ilresteune suitedonttouteslescomposantesconvergent.

Pourdesensembles

?et ?dans ?,nousutilisonslesnotations ????siles´el´ementsde ?appartiennent`a ?(sous-ensemble)???? ?et??? ??(intersection)???? ?ou??? ??(r´eunionouunion)???? ?mais???? ??(diff´erence)?? ??(compl´ementaire)? ????(3.1) appel´edisque(ouboule)derayon ?etdecentre?(voirlafigureI.3).

FigureI.3:Disquesderayon

????pour???????,???????et???????, D

´efinition3.1(voisinage)Soit

?donn´e.Unvoisinagede?estunensemble? ?qui ?,i.e., ?estvoisinagede?????

Ledisque

????ou?

Chaque

norme(voirledessin`acot´e). ?estouverts'ilestunvoisinagedechacun desespoints,i.e. ?ouvert???

Topologiede

?etfonctionscontinues9 D ??estferm´esichaquesuiteconvergente ?asalimitedans ?,i.e. ?ferm´e???? ???et????? ?impliquent???

Exemplesdans.

L'intervalledit"ouvert"

un

Parcontre,lasuite

??????(pour??? d'uncertain

L'ensembledit"ferm´e"

?ni?n'ontunvoisinageenti`erement inclusdans

L'intervalle

limitedelasuiteconvergente

Enfin,l'ensemble

Lemme3.4Soit

??unenormearbitrairede a)L'ensemble ??estouvert. b)L'ensemble ??estferm´e.

FigureI.4:Ensemblesouverts

??(gauche)etferm´es ??(droite) D

´emonstration.a)Pour

?prenons Donc, ?estouvert. b)Consid´eronsunesuite detriangleimplique pour??? ?.Ceciestvraipourtout ????.Parcons´equent,??????? ?et ?estferm´e.

Autresexemples.

Ledemi-plan

tardquel'ensemble ????estouvertetque

L'ensemble

10Topologiede

?etfonctionscontinues (3.2)

Cetensemblen'estpasouvert(parex.

??????n'apasdevoisinagedans ?)maisilestferm´e(voir

FigureI.5:EnsembledeCantor

Th

´eor`eme3.5Onai)

?ferm´e ?ouvert, ii) ?ouvert ??ferm´e. D

´emonstration.i)Supposonsque

??nesoitpasouvert.Ilexistealorsun??? ?(i.e.???? telque,pourtout ????,onait ??.Enprenant ???????,nouspouvonschoisirunesuite ????.Comme ?estferm´e,nousobtenons??? ?,d'o`u unecontradiction. ii)Supposonsque convergeantversun ??,(i.e.?????).Comme?estouvert,nousavons ??pourun certain ????.Parcons´equent,?????? i) ????estouvert, ii) ??ferm´es ??estferm´e. ?),ona iii) ???ouvertpourtout?? iv) ??ferm´epourtout?? ????estferm´e.

Topologiede

?etfonctionscontinues11 D ????,donc??????? pourtout? ??telque ????.Prenons ????;alors ????et ?(ii) et(iii) etduth´eor`eme3.5. ferm´e.Eneffet,soncompl´ementaire ?estferm´e. (droite) nombreinfinid'ensembles. (1.26) dontl'intersection??? ??n'estpasouverte(figureI.7, gauche). (1.27) auneunion ??quin'estpasferm´ee.

12Topologiede

?etfonctionscontinues

I.4Fonctionscontinues

Soit ?unsous-ensemblede ?.Unefonction ?(4.1) envoielevecteur ?surlevecteur? ?.Chaquecom- posantede (4.2)

Exemples

a)Unefonctionquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
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