[PDF] Dipôle magnétique 3 sept. 2005 Chapitre 3.

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MP - Cours de physique

Jean Le Hir, 3 septembre 2005 Page 1 sur 9

MAGNÉTOSTATIQUE

Chapitre 3

Dipôle magnétique

3.1. Boucle de courant

Champ d"induction magnétique sur l"axe d"une boucle de courant circulaire

Nous avons démontré, dès le

premier chapitre du cours de magnétostatique, l"expression du champ d"induction magnétique créé par une boucle de courant filiforme circulaire en un point M de son axe de symétrie. Ce champ est axial, il est maximal au centre de la boucle de courant et il décroît comme le cube du sinus de l"angle a sous lequel est vu le rayon de la boucle de courant. En notant R le rayon de la boucle et i le courant compté positivement dans le sens de rotation positif autour de Oz, nous obtenons : 30
3 220

2M sin2

1 2z z iB eR i z eR R m= a ( )m= +( )( ) Comportement limite à l'infini sur l'axe d'une boucle ce courant circulaire À très grande distance sur l"axe, le champ a une forme équivalente plus simple : 3 0 3 M2z z iRB eRz®¥ m??? ???≂ Le champ est axial et sa valeur algébrique est une fonction paire de z décroissante en

3z- à l"instar du

comportement du champ électrique sur l"axe d"un dipôle électrique. O z

R2RR-2R-

()0B???()B R??? O z

R2RR-2R-

()B z??? ()B R-??? a R MAGNÉTOSTATIQUE Chapitre 3 Dipôle magnétique

JLH 14/11/2007 Page 2 sur 9

Moment magnétique d"une boucle de courant

Par définition, nous appellerons moment magnétique d"une boucle de courant le vecteur m iS=??? ??? où

S??? est le vecteur surface de la boucle dont le module est égal à la surface de la boucle, le vecteur étant

orienté par le courant i dans le sens Sud

®Nord.

Pour l"exemple de la boucle de courant circulaire, 2 zS R e= p??? ??? et donc 2 zm R ie= p??? ???. Le champ magnétique à l"infini sur l"axe de la spire prend alors la forme suivante : ( )( )0 dip 32M4
z mB B zz®¥ m=p?????? ????≂

Remarque : Cette expression est analogue à celle du champ électrique créé par un dipôle électrique en un

point de son axe, pourvu que l"on établisse une correspondance entre moment dipolaire magnétique et

moment dipolaire électrique. ( )dip3 0 1 2

4pE zz=pe

3.2. Dipôle magnétique

Potentiel vecteur dipolaire

Ainsi nomme-t-on le potentiel vecteur équivalent créé par une boucle de courant dans la limite où l"on se

place à une très grande distance de la boucle de courant. Nous admettrons, sans démonstration

1, l"expression du potentiel vecteur dipolaire : 0 dip3 4 m rAr mÙ=p

Remarquons simplement l"analogie avec l"expression du potentiel scalaire du dipôle électrique qui laisse

attendre quelques analogies de comportement. 0 01 44
moment dipolaire électrique NP moment dipolaire magnétique produit par un scalaire électrostatique magnétostatique p qm iS pm "pep 0 dipdip33 0 produit vectoriel potentiel scalaire dipolaire potentiel vecteur dipolaire 1 44m
VA p r m rVArr× " Ù m

×Ù= " =pep???

1 Une démonstration, réduite au seul cas de la boucle de courant circulaire, est présentée en annexe de ce chapitre : elle doit

être considérée comme un exercice d"application assez difficile. MAGNÉTOSTATIQUE Chapitre 3 Dipôle magnétique

JLH 14/11/2007 Page 3 sur 9

Champ d"induction magnétique dipolaire

Le champ d"induction magnétique d"un dipôle magnétique dérive du potentiel vecteur dipolaire par la

relation dip diprotB A=???? ???????. Nous admettrons sans démonstration2 l"expression du champ dipolaire : 0 3 0 dip32 cos 4 sin 4 0 rmBr mB Br B q j mq=p m q=p

Cette expression du champ dipolaire d"induction magnétique n"est en aucun cas à mémoriser.

Remarquons cependant l"analogie parfaite avec le champ dipolaire électrique : 0 dipdip33 0 0 dipdip3 0 champ dipolaire électrique champ dipolaire d"induction magnétique

12cos sin 2cos sin44

331
44
rr r rr rpmE e e B e err p e e p m e eEBr qq m = q + q " = q + qpep m= " =pep???? ?? ??? ???? ?? ??? 3 m r-???

Lignes de champ dipolaire

Les lignes de champ d"un dipôle magnétique ont la même forme que les lignes de champ d"un dipôle

électrique. Elles sont invariantes par rotation autour du moment dipolaire et se referment sur elles-mêmes

à l"endroit où se trouve le dipôle. Notons que le champ magnétique n"est pas défini en ce point : il y

présente une singularité.

2 Une démonstration de l"expression du champ d"induction magnétique dipolaire est présentée en annexe de ce chapitre.

Il s"agit d"une excellente lecture pour les amateurs d"analyse vectorielle. MAGNÉTOSTATIQUE Chapitre 3 Dipôle magnétique

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Exemples de dipôles magnétiques

Barreau aimanté

Un petit barreau de matière aimantée équivaut à grande distance à un dipôle magnétique dont le moment magnétique m??? est dirigé du

Sud vers le Nord de l"aimant.

Les lignes de champ d"induction magnétique " sortent » par le pôle Nord de l"aimant et " entrent » par le pôle Sud de l"aimant.

Magnétisme terrestre

Le magnétisme terrestre trouve son origine dans le noyau composé de fer et de nickel en fusion. Du point de vue électromagnétique, la

Terre se comporte principalement comme

dipôle magnétique qui serait situé en son centre, de moment 23 2

T0,75 10 A mm= ´ ×???, et

dont l"axe est actuellement incliné d"une dizaine de degrés par rapport à l"axe de rotation de la planète sur elle-même.

Une boussole soumise au champ magnétique

terrestre s"oriente spontanément vers le " Nord magnétique ».

L"intensité du champ d"induction magnétique

terrestre est actuellement, à la surface de la

Terre, de l"ordre de grandeur de 50 000 nT

(nano Tesla). Le Nord magnétique fluctue à la surface du globe et les géologues ont établi la preuve de l"inversion aléatoire des pôles magnétiques, à raison de plusieurs basculements par million d"année, le Nord devenant Sud et vice-versa.

Notons que la Terre s"est formée il y a plus de 4,5 milliards d"années et que donc un million d"année est

un intervalle de temps assez court à l"échelle géologique : le magnétisme terrestre est extrêmement actif !

Attention ! Le " Nord magnétique » est bien mal nommé, puisqu"il correspond en réalité au

pôle Sud du dipôle géomagnétique.

Note : Les lignes de champ dipolaire obéissent à l"équation différentielle rdr B rd Bq= q ce qui conduit

à l"équation en coordonnées polaire dans chaque plan méridien :

2sinr K= q

Le tracé précédent est réalisé par un simple programme de quelques lignes en langage MAPLE :

> restart: with(plots): n:=5: for r from -1 to 1 do champ[r]:=spacecurve({[r*cos(theta)^2*cos(2*Pi*k/n)*cos(theta), r*cos(theta)^2*sin(2*Pi*k/n)*cos(theta), r*cos(theta)^2*sin(theta), theta=0..Pi] $k=-n..n},color=red): od: Nord Sud S N

Axe géomagnétique

de la Terre N N N N S S S S

Axe de rotation

de la Terre MAGNÉTOSTATIQUE Chapitre 3 Dipôle magnétique

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Magnétisme microscopique

Le magnétisme à l"échelle atomique et subatomique est quantifié. Seule la théorie quantique permet d"en

donner une description cohérente et cela est bien au-delà de notre programme d"étude.

Retenons cependant qu"à l"échelle atomique les électrons sont la cause de propriétés magnétiques de la

matière. D"une part, certaines orbitales électroniques correspondent à un mouvement de rotation

d"ensemble du nuage électronique et l"atome perd alors sa symétrie sphérique au profit d"une symétrie

cylindrique. D"autre part, les électrons possèdent un moment magnétique intrinsèque associé à leur

moment cinétique intrinsèque de " spin ». Les moments magnétiques correspondants sont quantifiés par

le " magnéton de Bohr » : 23 2
B e0,93 10 A m2 emm-= = ´ ×?

Enfin, à l"échelle du noyau des atomes, les protons sont à l"origine de phénomènes magnétiques

quantifiés cette fois par le " magnéton nucléaire » : 26 2
n p0,51 10 A m2emm

L"action d"un champ d"induction magnétique sur ces moments magnétiques élémentaires peut provoquer

leur organisation collective si bien qu"il en résulte un phénomène d"aimantation induite à l"échelle

macroscopique : on parle de diamagnétisme lorsque l"aimantation de la matière est de sens opposé au

champ inducteur et de paramagnétisme lorsque l"aimantation est de même sens que le champ inducteur.

Enfin, l"interaction entre les moments magnétiques élémentaires peut conduire à un phénomène

d"aimantation de la matière y compris en l"absence de champ magnétique extérieur : c"est le cas, en

particulier du ferromagnétisme qui concerne le fer, le cobalt et le nickel dans certains domaines de

température.

3.3. Action d"un champ d"induction magnétique extérieur

sur un dipôle magnétique

Orientation d"un dipôle magnétique

Action mécanique exercée par un champ uniforme sur une boucle de courant filiforme Considérons un circuit fermé indéformable C parcouru par un courant constant i et plongé dans une région de l"espace où règne un champ d"induction magnétique uniforme et constant

0B???. Chaque élément de courant id???? est alors

soumis à une force élémentaire de Laplace

Fd????

telle que

0F i Bd = d Ù???? ??? ????.

La résultante de ces forces a donc pour expression : ()0 0F F i B iB= d = d Ù = - Ù d∫ ∫ ∫C C C

L"intégrale

d∫C ????? est nulle quel que soit le circuit C, pourvu simplement qu"il soit fermé.

Nous en déduisons donc que la résultante des forces de Laplace agissant sur un circuit fermé

indéformable est nulle, ce qui signifie que l"action résultante est un couple, entièrement caractérisé par

son moment.

Remarque : Dans le cas particulier d"un circuit filiforme rectangulaire, les forces de Laplace s"exerçant

sur deux cotés opposés sont opposées. 0B??? 0B??? C i MAGNÉTOSTATIQUE Chapitre 3 Dipôle magnétique

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Action d'un champ d'induction magnétique sur un courant rectangulaire

Considérons une région de l"espace soumise à un champ d"induction magnétique uniforme et plaçons en

ce lieu un cadre rectangulaire

1 2 3 4A A A A indéformable parcouru par un courant i. Nous l"avons vu, ce

cadre est alors soumis à un couple de moment

M???? que nous allons évaluer.

Notons

1 2 3 4A A A Aa= = -?? ?????? ?????? et 2 3 4 1A A A Ab= = -?? ?????? ?????? les côtés du cadre dont le moment magnétique est

alors égal à m iabn ia b+= = Ù??? ??? ?? ?? où n+ ??? est la normale au cadre orientée dans le sens Sud®Nord.

Notons

12I, 23I, 34I et 41I les milieux des côtes 1 2A A, 2 3A A, 3 4A A et 4 1A A. Ces points milieux sont les

points d"application des forces de Laplace agissant sur les côtés. Examinons les forces et moments résultants par paires de cot és opposés :

12 1 2 0 0A AF i B ia B= Ù = Ù???? ?????? ??? ?? ??? et ()()12 O 12 12 12 12 0OI OIM M F F i a B= = Ù = Ù Ù????? ???? ???? ????? ???? ????? ?? ???

34 3 4 0 0A AF i B ia B= Ù = - Ù???? ?????? ??? ?? ??? et ()()34 O 34 34 34 34 0OI OIM M F F i a B= = Ù = - Ù Ù????? ???? ???? ????? ???? ????? ?? ???

12 340F F+ =???? ???? ??? et ()()()12 34 12 34 0 0OI OIM M i a B ib a B+ = - Ù Ù = - Ù Ù????? ????? ????? ????? ?? ??? ?? ?? ???

De la même façon, nous avons :

23 410F F+ =???? ???? ??? et ()()()23 41 23 41 0 0OI OIM M i b B ia b B+ = - Ù Ù = + Ù Ù????? ????? ????? ????? ?? ??? ?? ?? ???

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