Exercices dÉlectrocinétique Régime transitoire et régime forcé continu PDF

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Régime alternatif – Circuit RLC – Corrigé Exercice 1 - EPFL

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Qu'est-ce que le courant dans un circuit RLC série ?

Conclusions de la mesure : • Dans un circuit RLC série raccordé sur une source de tension alternative sinusoïdale, le courant est commun à tous les éléments. • Les réactances capacitive et inductive varient en fonction de la fréquence. • Pour une certaine valeur de fréquence appelée fréquence de résonance, le courant est maximum.

Quelle est la différence entre un circuit RL et un circuit transitoire ?

Le circuit RL est un circuit classique étudié en régime alternatif ou transitoire. La tension d’entrée est la tension aux bornes de l’ensemble constitué de la résistance et du condensateur en série, tandis que la tension de sortie est la tension aux bornes de la bobine.

Quelle est la résistance d’un circuit RLC?

Un circuit RLC série est composé d’une résistance de 15 [?] , d’une bobine de 260 [mH] et d’un condensateur de 2.5 [µF]. Il est raccordé sur une source alternative de 60 [V].

Quels sont les exercices corrigés sur les circuits électriques?

Exercice corrigé sur les Circuits électriques. ?Loi d'ohm ( corrigé) ? Loi des mailles ( corrigé) ? les Lois de Kirchhoff. ? Diviseur de tension. ?La Théorème de superposition. ?La Théorème de Thévenin. ?La Théorème de Millman. ?les Résistances.

2008-2009Exercices d"´Electrocin´etique

?R´egime transitoire et r´egime forc´e continuE4? ???Ex-E4.1Circuit d"ordre 1 (1)

ExprimeriR(t) etiL(t), puis tracer les

courbes repr´esentatives.

On poseraτ=L

R. t R L0I i K iLRII 0 I 0

R´ep :iL(t) =I?

1-exp?

-tτ?? etiR(t) =Iexp? -tτ? ???Ex-E4.2CircuitRLCparall`ele

1)D´eterminer l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee parien fonction de :

0=1 ⎷LCetQ0=RCω0.

2)On poseλ=1

2Q0. D´etermineri(t) sachant quei(t= 0) =i0?= 0

etu(t= 0) = 0. On distinguera trois cas :a)λ= 1,b)λ >1 etc)λ <1. R´ep : 1)d2idt2+ω0Qdidt+ω20i= 0 avecω0=1⎷LCetQ=RCω0=RLω0;

2.a)λ >1 :i(t) =i0

2.b)λ= 0 :i(t) =i0(1 +λω0t)e-λω0t;

2.c)λ <1 :i(t) =i0(cosωt+sinωt

τω)exp?

-tτ? ???Ex-E4.3Circuit d"ordre 1 (2) Dans le circuit repr´esent´e ci-contre on ferme l"interrup- teurK`a la datet= 0, le condensateur ´etant initialement d´echarg´e.

1)´Etablir l"expression deq(t) o`uqest la charge du

condensateur, en d´eduirei1,i2etien fonction du temps.

2)Calculer `a la datet1l"´energie stock´ee dans le conden-

sateur. E A B i2 C i1i qr R (I) (II)K

3)´Ecrire sous la forme d"une somme d"int´egrales un bilan d"´energie entre les dates 0 ett1.

R´ep : 1)En posantτ=CRr

R+r:q(t) =ECRR+r?

1-exp?

-tτ?? ;i1(t) =Erexp? -tτ? i

2(t) =E

R+r?

1-exp?

-tτ?? ;i(t) =ER+r?

1 +Rrexp?

-tτ?? ???Ex-E4.4Circuit d"ordre 1 (3) D´eterminer l"intensit´e du couranti(t) dans le condensateur, ainsi que la tensionu(t) `a ses bornes sachant que l"on ferme l"interrupteur `a la datet= 0 et que le condensateur n"est pas charg´e initialement.

Repr´esenter graphiquementi(t) etu(t).

R´ep :i(t) =10E

4R+rexp?

-tτ? avecτ=C? R+r4? u(t) =5E 2?

1-exp?

-tτ?? .RK rE r4E r3E r2E qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/9

Exercices d"´Electrocin´etique2008-2009

???Ex-E4.5R´egime transitoire ap´eriodique (*) `At= 0-, les condensateurs sont d´echarg´es. On ferme alors l"interrupteurK.

1)´Etablir l"´equation diff´erentielle eni1.

2)D´eterminer les conditions initialesi1(0+) etdi1

dt(0+).

3)Exprimeri1(t).

i1 C E A B i2i R KRC R´ep : 1)i1v´erifie l"´equation canonique d"ordre 2 avecω0=1RCetQ=13;2)i1(0+) =ERet di1 dt(0+) =-2ECR2;3)i1(t) =ER? ch? 5 2RCt?

1⎷5.sh?

2RCt??

exp? -3t2RC? ???Ex-E4.6Bobine et condensateur r´eels en s´erie (1)

1)D´eterminer l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee pari.

2)`A quelles conditions le r´egime transitoire est-il :

a) critique; b) ap´eriodique; c) pseudo-p´eriodique?LR RC e K1 2

R´ep : 1)d2id+2ω

2C+LR1?

2)ÜCf CoursE4:regarder le signe de Δ, discriminant de l"´equation caract´eritique, et donc la

valeur deQ(Q <1

2,Q=12,Q <12).

???Ex-E4.7Bobine et condensateur r´eels en s´erie (2) : r´egime transitoire pseudo-p´eriodique (*) Le montage ci-contre mod´elise une bobine r´eelle (L, R) en s´erie avec un condensateur r´eel (C, R) initialement d´echarg´e. On ferme l"interrupteurK`a la datet= 0

On impose la relation suivante :τ=L

R=RC.

Initialement :i(0-) = 0 etu(0-) = 0.

C R LR ui EK

1)´Etablir l"´equation diff´erentielle r´egissantu(t), tension aux bornes du condensateur lorsque le

circuit est branch´e, `at= 0, sur un g´en´erateur de tensionE.

2)D´etermineru(t) pourt≥0.

3)D´etermineri(t), intensit´e circulant dans la bobine.

4)Peut-on pr´evoir le r´egime permanent sans calcul? Si oui, d´eterminerU, tension aux bornes

du condensateur, etI, courant dans la bobine, en r´egime permanent.

R´ep : 3)i(t) =E

2R? 1 +? -costτ+ sintτ? exp? -tτ?? ;4)Faire un sch´ema ´equivalent du montage lorsque le r´egime permanent continu est atteint :I=E

2RetU=E2.

???Ex-E4.8Trois r´esistances et une bobine Le circuit ´etudi´e comporte trois r´esistancesR1,R2etR3, une bobine parfaite d"inductanceL, un g´en´erateur def.´e.m.

Eet un interrupteurK.

1)Initialement, la bobine n"est parcourue par aucun cou-

rant.`A l"instantt= 0, on ferme l"interupteurK. L iE K

R3R2R1

→´Etablir la loi d"´evolution dei(t) et d´eterminer le courantIen r´egime permanent dans la

bobine. On poseraτ=L(R2+R3)

R1R2+R2R3+R3R1.

2)Le courant d"intensit´eIest ´etabli, on ouvre `at= 0 (r´einitialisation du temps!).

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2008-2009Exercices d"´Electrocin´etique

→D´eterminer la nouvelle loi donnanti(t) et l"´energie dissip´ee par effetJouledans les r´esistances.

On poseraτ?=L

R1+R2.

R´ep : 1)i(t) =I0?

1-exp?

-t avecI0=ER2R1R2+R2R3+R3R1;

2)i(t) =Iexp?

-t etEJ=12LI2. ???Ex-E4.9Transfert de charge entre deux condensateurs :

Un condensateur de capacit´eCest charg´e sous uneddpE, puis, `at= 0, est reli´e, par fermeture

de l"interrupteurK, `a un circuit (R,C?) s´erie ( le condensateur de capacit´eC?est initialement

non charg´e).

1)D´eterminer les variations du couranti(t) de d´echarge du condensateurC.

2)Calculer la variation d"´energie ΔEdu syst`eme constitu´e

par la r´esistanceRet les deux condensateursCetC?.

3)D´emontrer que|ΔE|est aussi l"´energie dissip´ee par effet

JouleEJdans la r´esistanceR.

4)L"expression de|ΔE|´etant ind´ependante deR, que se

passe-t-il lorsqueRtend vers 0? Ci(t) u'(t) u(t)K RC'

R´ep : 1)i(t) =ERexp?

-tτ? avec1τ=1R?

1C+1C??

;2)ΔE=-12CC ?C+C?E2. ?R´egime sinuso¨ıdal E5? ???Ex-E4/5.1Circuit RLC S´erie

1)Consid´erons le circuit dipolaire RLC s´erie du cours aliment´e par une tension sinuso¨ıdale

(e(t) =E0cos(ωt)).→´Etablir que l"´equation diff´erentielle qui r´egit la tension aux bornes de la

capacit´eCest : LC d2uC dt2+RCduCdt+uC=E0cos(ωt)

→Donner l"expression intrins`eque de cette ´equation diff´erentielle en fonction deQ, facteur de

qualit´e et de la pulsation propreω0.

→Donner l"expression intrins`eque de cette ´equation diff´erentielle en fonction deα, coefficient

d"amortissement et de la pulsation propreω0. 2)

´Etablir queuC(t) =E0?

sin(ω0t)-2⎷ 3 3exp? -12ω0t? sin? 3

2ω0t??

lorsque le circuit v´erifie les quatre conditions suivantes :

(1)le condensateur est initialement d´echarg´e;(2)l"intensit´e est nulle avant la fermeture de

l"interrupteur;(3)la pulsation du g´en´erateur estω=ω0et(4)le coefficient d"amortissement

vautα=1 2. ???Ex-E5.2Addition de deux signaux de mˆeme fr´equence Supposons deux signaux sinuso¨ıdauxS1(t) =S0cos(ωt) etS2(t) =S0sin(ωt). →En utilisant les repr´esentations complexes, calculer la sommeS(t) =S1(t) +S2(t). →Pr´eciser l"amplitude et la phase `a l"origine de ce signal. →Tracer les fonctionsS1(t),S2(t) etS(t); v´erifier le r´esultat pr´ec´edent. →Si ces deux signaux sont deux tensions telles queS1(t) soit la tension aux bornes d"une

r´esistanceRetS2(t) la tension aux bornes d"un second dipˆole, en d´eduire la nature de ce second

dipˆole. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/11

Exercices d"´Electrocin´etique2008-2009

???Ex-E5.3R´eseau `a trois mailles On consid`ere le r´eseau `a trois mailles ind´ependantes, repr´esent´e ci-contre, aliment´e par la source de tension al- ternative def.´e.m.:e(t) =E⎷

2cosωt.

La fr´equence du g´en´erateur est r´egl´ee de mani`ere `a avoir :

Lω=1

Cω=R.

C 2R e LR2LM N D´eterminer toutes les caract´eristiques de l"intensit´edu courant dans la r´esistanceR.

A. N. :E= 20V;R= 10 Ω.

R´ep :i(t) = 0,686cos(ωt-1,82)A, o`u 1,82rad= 104◦. ???Ex-E5.4Mod´elisation de Th´evenin On consid`ere le circuit suivant aliment´e entreAetBpar une source de tension alternative sinuso¨ıdale def.´e.m.: e(t) =E⎷

2cosωt.

D´eterminer les caract´eristiques du g´en´erateur de tension (mod`ele deTh´evenin) ´equivalent entreFetDsachant queωest telle que :LCω2= 1 etRCω= 1C R e LF DRA B

R´ep :

Th=2-j5E?eTh(t) =E?2

5cos(ωt-0,464)A, o`u-0,464rad= arctan?

-12? =arg(2-j).

Cettef.´e.m.est en s´erie avecZ

´eq=R´eq+1jC´eqω?soit une r´esistanceR´eq=3R5en s´erie avec une capacit´eC´eq=5C 4. ???Ex-E5.5Calculs d"imp´edances

D´eterminer

l"imp´edance complexe Z du r´eseau dipolaire entre les bornesAet

Bdans les quatre cas

suivants.

En d´eduire `a chaque

fois l"imp´edance r´eelleZainsi que le d´ephasage de la tensionupar rapport au couranti. L i CR A B uLiC A B u L i CR A B u i C A B u Ra c b d R R C ???Ex-E5.6Circuit RLC parall`ele en r´egime sinuso¨ıdal

Exprimer la tensionu

aux bornes d"un r´eseau dipolaire constitu´e d"une r´esistance en parall`ele avec une bobine en parall`ele avec un condensateur en fonction deR,L,C,wet dei ≡I0exp(jωt) (intensit´e fournie au dipˆole).

V´erifier que l"´etude de la r´esonance en tensionude ce cirduit RLCparall`elelorsqu"on applique

un courantisinuso¨ıdal est identique `a celle de la r´esonance en courant dans le circuit RLCs´erie.

Exprimer alorsω0, la pulsation propre,Q?, le facteur de qualit´e du circuitRLCparall`ele ainsi queα?≡1

2Q?, son coefficient d"amortissement.

R´ep :ω0=1

⎷LCetQ?=RCω0.

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2008-2009Exercices d"´Electrocin´etique

???Ex-E5.7

1)ExprimerU

en fonction deI,Z,L,Cetω, pulsation du r´egime sinuso¨ıdal impos´e `a ce circuit.

2)`A quelle condition surL,Cetω,U

Iet le d´ephasage entreu

etine d´ependent-ils pas deZ? eZUiUC L

R´ep : 2)LCω2= 1.

???Ex-E5.8On alimente le dipˆoleABavec une tension si- nuso¨ıdale de pulsationω.→D´eterminer l"imp´edance complexequotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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Qu'est-ce que le courant dans un circuit RLC série ?

Quelle est la différence entre un circuit RL et un circuit transitoire ?

Quelle est la résistance d’un circuit RLC?

Quels sont les exercices corrigés sur les circuits électriques?

2008-2009Exercices d"´Electrocin´etique

ExprimeriR(t) etiL(t), puis tracer les

On poseraτ=L

R´ep :iL(t) =I?

1-exp?

1)D´eterminer l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee parien fonction de :

2)On poseλ=1

2Q0. D´etermineri(t) sachant quei(t= 0) =i0?= 0

2.a)λ >1 :i(t) =i0

2.b)λ= 0 :i(t) =i0(1 +λω0t)e-λω0t;

2.c)λ <1 :i(t) =i0(cosωt+sinωt

τω)exp?

1)´Etablir l"expression deq(t) o`uqest la charge du

2)Calculer `a la datet1l"´energie stock´ee dans le conden-

3)´Ecrire sous la forme d"une somme d"int´egrales un bilan d"´energie entre les dates 0 ett1.

R´ep : 1)En posantτ=CRr

R+r:q(t) =ECRR+r?

1-exp?

2(t) =E

1-exp?

1 +Rrexp?

Repr´esenter graphiquementi(t) etu(t).

R´ep :i(t) =10E

4R+rexp?

1-exp?

Exercices d"´Electrocin´etique2008-2009

1)´Etablir l"´equation diff´erentielle eni1.

2)D´eterminer les conditions initialesi1(0+) etdi1

3)Exprimeri1(t).

1⎷5.sh?

2RCt??

1)D´eterminer l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee pari.

2)`A quelles conditions le r´egime transitoire est-il :

R´ep : 1)d2id+2ω

2C+LR1?

2)ÜCf CoursE4:regarder le signe de Δ, discriminant de l"´equation caract´eritique, et donc la

2,Q=12,Q <12).

On impose la relation suivante :τ=L

Initialement :i(0-) = 0 etu(0-) = 0.

1)´Etablir l"´equation diff´erentielle r´egissantu(t), tension aux bornes du condensateur lorsque le

2)D´etermineru(t) pourt≥0.

3)D´etermineri(t), intensit´e circulant dans la bobine.

4)Peut-on pr´evoir le r´egime permanent sans calcul? Si oui, d´eterminerU, tension aux bornes

R´ep : 3)i(t) =E

2RetU=E2.

Eet un interrupteurK.

1)Initialement, la bobine n"est parcourue par aucun cou-

R3R2R1

R1R2+R2R3+R3R1.

2)Le courant d"intensit´eIest ´etabli, on ouvre `at= 0 (r´einitialisation du temps!).

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2008-2009Exercices d"´Electrocin´etique

On poseraτ?=L

R1+R2.

R´ep : 1)i(t) =I0?

1-exp?

2)i(t) =Iexp?

1)D´eterminer les variations du couranti(t) de d´echarge du condensateurC.

2)Calculer la variation d"´energie ΔEdu syst`eme constitu´e

3)D´emontrer que|ΔE|est aussi l"´energie dissip´ee par effet

JouleEJdans la r´esistanceR.

4)L"expression de|ΔE|´etant ind´ependante deR, que se

R´ep : 1)i(t) =ERexp?

1C+1C??

1)Consid´erons le circuit dipolaire RLC s´erie du cours aliment´e par une tension sinuso¨ıdale

´Etablir queuC(t) =E0?

2ω0t??

Exercices d"´Electrocin´etique2008-2009

2cosωt.

Lω=1

Cω=R.

A. N. :E= 20V;R= 10 Ω.

2cosωt.

R´ep :

Th=2-j5E?eTh(t) =E?2