[PDF] MANUEL LIBRE 13 oct. 2018 des mé

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MATRICES et SUITES

ARITHMÉTIQUE

Environnement numérique et

relectures réalisés par l"association

Delphine ARNAUD

Lycée Dominique Savio,

Douala

Bruno CASAVECCHIA

Lycée Dominique Savio,

Douala

Paul MILAN

Lycée d"adultes de la Ville

de Paris erm S

MANUEL LIBRE

Ce manuel est publié sous licence libre " CC by SA ». Le texte intégral est disponible à ladresse :

Avant-propos

Multiples et diviseurs dans

La division euclidienne

Congruence

Plus grand commun diviseur

Théorème de Bézout

Le théorème de Gauss et son corollaire

Équation diophantienne ax + by = c

Dé nition et propriétés

Décomposition, diviseurs d"un entier

Dans cette partie, les notions des différents chapitres de ce manuel sont regroupées dans un ensemble

dactivités : problèmes ouverts, problèmes de synthèse et QCM. Le but est de développer les compétences

utiles pour le bac : organiser ses connaissances, mener un raisonnement, rédiger clairement la résolution

dun problème.

Dé nitions et vocabulaire

Opérations sur les matrices

Matrices inversibles

Résolution d"un système linéaire

Puissances d"une matrice

Suites de matrices colonnes

Marche aléatoire

FICHES TICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SOLUTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LEXIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mémento AlgoBox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le manuel numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Syntaxe de différents langages de programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mémento d"algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice corrigé en n de manuel

Exercice avec l"ordinateur

Exercice avec la calculatrice

Exercice d"algorithmique

SOMMAIRE

TRAVAILLER UN CHAPITRE

Manuel et manuel numérique, deux outils complémentaires 1

VÉRIFIER SES PRÉREQUIS

1 Réalisez le test de début de chapitre.2 VériÞ ez vos réponses en Þ n de manuel.

2

APPRENDRE UNE LEÇON

1 Apprenez les déÞ nitions et les

propriétés .

2 Refaites les exercices corrigés

des méthodes du cours. MÉTHODE 1Multiplier deux matricesEx.30⎷. 97

Pour calculer la matriceCégale àAB, on véri“e que le nombre de colonnes deAest égal au

nombre de lignes deB, puis on dispose les matrices suivant le schéma B AC de sorte que c ij soit à lintersection du prolongement de lai-ème ligne deAet de laj-ième colonne deB.

Exercice da⎷⎷lication

SoitA=

135Š2

Š20Š32

etB=

21Š3

3Š10

0Š22

2Š3Š4

.CalculerAB.

Correction

Aest de taille 2×4etBde taille 4×3.

AaautantdecolonnesqueBa de lignes, donc

C=ABexiste et sa taille est 2×3.

On dispose les matrices comme ci-contre.

?1Š3 ?Š10 (Š22 ?Š3Š4

Renvoi

3 Faites l' exercice d'entraînement

lié à la méthode.

4 VériÞ ez vos réponses en Þ n de manuel

4 Travailler un chapitre

30MÉTHODE 1⎷. 90

Effectuer les produits des matrices suivantes :

21Š1

Š31 0

4 Š1 1 4 1 2

2Š11

52

Š12

2Š1

Š31

Š121

022

Š231

1 Š2 1

Auto-évaluation

Des ressources numériques ⎷our ⎷ré⎷arer le chapitre surmanuel.sesamath.net@

1Montrer que les nombres suivants sont des

nombres premiers : ))31?)47?)53?)61?)83

2Sans calculatrice, à laide des critères de divisibi-

lité par 3, 5 et 11 ou de la division par 7, montrer que les nombres suivants ne sont pas premiers : ))57 ?)91 ?)143 ?)265 ?)341 ?)427 ?)319 ?)1581

3Sans calculatrice, donner tous les diviseurs des

nombres suivants : ))16 ?)15 ?)24 ?)36 ?)45 ?)51 ?)63 ?)91 propositions suivantes : ))nest divisible par 6. ?)nest divisible par 3 et par 5. ?)nest divisible par 4 et par 6. ?)nest divisible par 8 et par 9.

5Traduire par une phrase les propositions sui-

vantes sans utiliser le mot "congruence» : ))n?0(5). ?)sin?0(4)etn?0(5),alorsn?0(20). ?)Sin?25 et sin?0(2),n?0(3),n?0(5) alorsnest premier. ?)Sipest premier et siab?0(p),alorsa?0(p)ou b?0(p). ???Voir solutions ⎷. 151

Chapitre AR3

Les nombres premiers

Auto-évaluation

1Ils ne comptent aucun diviseur autre que 1 et

eux-même.

2))divisible par 3?)divisible par 11

?)divisible par 7?)divisible par 7 ?)divisible par 11?)divisible par 11 ?)divisible par 5?)divisible par 3 30))
6

Š13

8Š44

2Š11

4Š22

4Š3

Š83

Š4 Š2 Š7 3

SENTRAÎNER POUR LE BAC

1 Repérez les éléments importants de la consigne ,

comme les verbes d"action à l"inÞ nitif.

2 VériÞ ez votre compréhension du vocabulaire.

utilisez le lexique à la Þ n du manuel ou sur le manuel numérique .

3 Réalisez un schéma si nécessaire ou utilisez un

tableur, une calculatrice, un logiciel de géométrie dynamique...

4 Réalisez les parcours pédagogiques personnalisés

(J3P) pour vous entraîner et éventuellement approfondir les notions étudiées. 4

PRÉPARER LE BAC

1 Faites les exercices d' activités mentales .

Sans di cultés calculatoires, ils permettent de vériÞ er que les raisonnements sont compris.

2 VériÞ ez vos réponses en Þ n de manuel.

QCM d"auto-évaluation

Des ressources numériques

pour préparer le chapitre sur manuel.sesamath.net@

Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Au moins une réponse est exacte. Déterminer la (ou

les) bonne(s) réponse(s).

53Lequel ⎷armi ces nombres nest ⎷as ⎷remier?

a227b379c221d313

54Pour établir la liste des nombres ⎷remiers inférieursà 4 000 à laide du crible dÉratosthène, on raye les

multiples des nombres premiers jusquà : a61b67c100d4 000

55On considère le nombreN=n+(n+2)+n(n+2)avecnN.LenombreNest ⎷remier :

asinest im⎷air.c⎷our les 4 ⎷remières valeurs im⎷aires den. b⎷our aucune valeur den.dsinest ⎷remier.

56Parmi les ⎷hrases suivantes, quelles sont celles qui sont vraies?

aSinest un nombre ⎷remier, alorsnest im⎷air. bSipetqsont deux nombres ⎷remiers distincts, alorspetqsont ⎷remiers entre eux. cSipest ⎷remier et divise le ⎷roduitab,alorspdiviseaoupdiviseb. dSoitpun nombre ⎷remier. Siap(p),alorsaest ⎷remier.

57Parmi les ⎷hrases suivantes, quelles sont celles qui sont vraies?

aSinest un nombre im⎷air, alorsnest un nombre ⎷remier. bSipetqsont ⎷remiers entre eux, alorspetqsont des nombres ⎷remiers. cSipdiviseaoupdiviseb,alorspdivise le ⎷roduitab. dSoitpun nombre ⎷remier. Siaest ⎷remier alorsap(p).

3 Réalisez le QCM de Þ n de chapitre.

4 VériÞ ez vos réponses en Þ n de manuel.

5 Consultez les compléments proposés dans le

manuel numérique.

Travailler un chapitre????

28Le gra⎷he ⎷robabiliste suivantdécrit lasuccession

Eugène Onéguinede Pouchkine (voir6⎷age 115) : VC1/8 7/8 2/3 1/3

On note par une matrice ligneP

n la ré⎷artition de ⎷ro- babilité à lan-ième lettre du livre.

1)Déterminer la matrice de transitionTtelle que

P n+1 =P n T.

2)Déterminer un réelet une matriceQtels que :

P n+1 =P n +Q.

MÉTHODES DE L'ANNÉE

Arithmétique

Utiliserladivisibilité pour résoudreun problème............................................................. 10

Utiliserladénition de la division euclidienne................................................................12

Déterminerun restedans une division euclidienne..........................................................14

Démontrerqu'un nombreest divisibleparun autre nombre..............................................15

Construire un tableaude congruence............................................................................15

Calculer le PGCD de deux nombres............................................................................... 32

Montrerque deux nombres sont premiers entre eux........................................................34

Déterminerun couple(u;v) telqueau+bv= 1..............................................................34

Résoudreune équation du typeax+by=c....................................................................37

Montrerqu'un nombreest premier................................................................................55

Décomposer un nombreenproduitde facteurspremiers................................................. 58

DéterminerlePGCDde deux nombres àpartir d'une décomposition en produitde

Trouver le nombrede diviseursd'un entier..................................................................... 60

Déterminerun entierconditionné parses diviseurs......................................................... 61

Matrices

Multiplierdeux matrices..............................................................................................90

Effectuerun calcul matricielaveclacalculatrice............................................................. 91

Résoudreun systèmede deux équations àdeux inconnues............................................. 93

Résoudreun systèmelinéaire avec la calculatrice ou un logiciel......................................94

DéterminerMnlorsqueMest diagonalisable...............................................................121

Étudier le comportement asymptotique d'une marche aléatoire.......................................125

6MÉTHODES DE L'ANNÉE

ARITHMÉTIQUE1

Multiples.

Division euclidienne.

Congruence

Connaissances nécessaires à ce chapitre

IConnaître les critères de divisibilité

IDéterminer les diviseurs d'un nombre

IDéterminer les restes d'une division par 3, 4, 5 et 9 IMaîtriser le vocabulaire de la division : dividende, diviseur, quotient et reste.

IEffectuer des opérations sur la parité

Auto-évaluation

Des ressources numériques pour préparer

le chapitre surmanuel.sesamath.net@

1Sans l'aide de la calculatrice, déterminer si les

nombres suivants sont divisibles par 4. 1)136 2)514

3)1 352

4)9 894

2Sans l'aide de la calculatrice, déterminer si les

nombres suivants sont des multiples de 3 ou de 9. 1)129 2)567

3)5 634

4)21 573

3Parmi les entiers suivants, indiquer sans effec-

tuer de division ceux qui sont divisibles par 6 :

456, 251, 512, 645, 842, 50 106

4Déterminer tous les diviseurs des nombres sui-

vants (on pourra s'aider des critères de divisibilité) :

1)36 (9 diviseurs)

2)48 (10 diviseurs)

3)96 (12 diviseurs)

4)240 (20 diviseurs)

5Sans l'aide de la calculatrice, trouver les restes

des divisions suivantes :

1)1 951 par 3

2)165 par 3

3)1 945 par 9

4)457 par 9

5)1 542 par 5

6)788 par 5

6On divise 7 entiers naturels successifs par 7.

Quels sont les restes obtenus?

7On donne : 117=617+15.

1)Dans la division de 117 par 17, donner le dividende,

le quotient et le reste.

2)Quel est le reste de la division de 117 par 6?

8Un nombrenest la somme de deux entiersaetb.

1)nest pair. Quelle peut être la parité deaet deb?

2)nest impair. Quelle peut être la parité deaet deb?

3)Énoncer une règle sur la parité de la somme de

deux entiers.

9Un nombrenest le produit de deux entiersaetb.

1)nest pair. Quelle peut être la parité deaet deb?

2)nest impair. Quelle peut être la parité deaet deb?

3)Énoncer une règle sur la parité du produit de deux

entiers.

10Un nombrenest le carré d'un entiera.

1)nest pair. Quelle peut être la parité dea?

2)nest impair. Quelle peut être la parité dea?

3)Énoncer une règle sur la parité d'un entier et de son

carré. 7

Activités d'approche

ACTIVITÉ1Nombres parfaits et nombres amiables

1)Un diviseur strict d'un entier naturelnest un entier naturel, distinct den, qui divisen.

a)Déterminer les 12 diviseurs de 220. Quels sont ses diviseurs stricts? b)Déterminer les 10 diviseurs de 496. Quels sont ses diviseurs stricts?

2)Un nombre parfait est un nombre égal à la somme de ses diviseurs stricts.

496 est-il un nombre parfait?

3)Deux entiers sont dits amiables si chacun d'eux est égal à la somme de tous les diviseurs

stricts de l'autre. Faire la somme des diviseurs stricts de 220. En déduire avec quel entiern, le nombre 220 peut être amiable. Vérier alors quenet 220 sont amiables.

ACTIVITÉ2Un problème de calendrier

Sachant que le 1erjanvier 2015 était un jeudi, le but de cette activité est de déterminer le jour de

la semaine correspondant au 1erjanvier 2040. On rappelle qu'une année normale contient 365 jours et qu'une année bissextile en contient

366. Une annéenest bissextile sinest divisible par 4 mais pas par 100, ou sinest divisible par

400 (1900 n'était pas bissextile, mais 2000 l'était).

1)Déterminer le nombre de joursNséparant le 1erjanvier 2015 et le 1erjanvier 2040.

2)Pour déterminer le jour de la semaine du 1erjanvier 2040, on s'intéresse au resterde la

division euclidienne deNpar 7. On dit queretNsont congrus modulo 7 car ils ont le même reste dans la division par 7. À quelle valeur est alors congruNmodulo 7?

3)En déduire le jour de la semaine du 1erjanvier 2040.

ACTIVITÉ3Clés des numéros ISBN

L'International Standard Book Numberpermet de coder tous les ouvrages édités dans le monde entier. Il est composé de 13 chiffres. Étudions lenuméro ISBN: 978-2-86889-006-1. Il est décomposé en : une première partieNde 12 chiffres commençant par 978 ou 979. Ici, en enlevant les tirets, on aN=978 286 889 006; une seconde partieK, qui représente la clé, composée de 1 chiffre (de 1 à 9). IciK=1. On détermine la cléKde la façon suivante : on forme un nombrenen additionnant les chiffres du numéro ISBN après avoir multiplié par 3 les chiffres de rang pair : on détermine le resterdans la division euclidienne denpar 10 :

129=10fi12+9, on obtient alorsr=9.

on soustrait ce reste à 10 :K=10r=109=1.

1)Vérier la clé sur le code ISBN de l'image ci-contre.

2)Quelle doit être la valeur deapour que le code

978-2-84225-01a-1 soit un code ISBN?

8Chapitre AR1.Multi⎷les. Division euclidienne. Congruence

Cours - Méthodes

1.Avant-propos

L'arithmétique a pour objet l'étude des nombres entiers.

Ces entiers peuvent être naturels (N=f0, 1, 2, 3, ...g) ou relatifs (Z=f...,3,2,1, 0, 1, 2, 3,...g).

"L'arithmétique [...]a le privilège d'avoir passionné les mathématiciensles plus éminentsen même

temps qu'elle n'a cessé d'attirer les amateurs. Cette séduction tient, pour beaucoup, dans ce dernier

cas, au fait que des problèmes très difciles, parfois non résolus, ont souvent des énoncés simples qui

peuvent être compris à partir d'une formation mathématique élémentaire. Gauss tenait l'arithmétique

pour la “la reine des mathématiques" et on a pu dire que la théorie des nombres était “la plus pure des

mathématiques pures". » François Le Lionnais (1901-1984), dansDictionnaire des mathématiques, Éditions Puf, 1979

On admettra les propriétés suivantes :

PROPRIÉTÉS

Principe du bon ordre: toute partienon videdeNadmet un plus petit élément. Principe de descente infinie: toute suite dansNstrictement décroissante est stationnaire

à partir d'un certain rang.

Principe des tiroirs: si on range(n+1)chaussettes dansntiroirs, alors au moins un tiroir contiendra au moins 2 chaussettes. Les deux premières propriétés seront utilisées dans les deux prochains chapitres.

Lorsqu'on s'intéresse à la partie décimale du résultat de la division d'un entier parn, on est sûr qu'à partir de la

(n+1)-ième décimale, on obtiendra un reste déjà obtenu (principe des tiroirs). Cela explique la partie décimale

périodique d'un nombre rationnel non décimal.

2.Multiples et diviseurs dansZ

quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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