[PDF] FICHE CALCULATRICE CHE CALCULATRICE : LOI NORMALE

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FICHE CALCULATRICE

I ] LOI NORMALE CENTREE REDUITE

Calculs directes

1 :normalFdp(

f(x) =

Pour faire le dessin il suffit de faire

REMARQUE

Permet aussi de tracer la densité de probabilité associée à une loi normale quelconque (cf. fin du document)

2 : normalFRép( : permet de calculer P(a

3 : FracNormale( : connaissant c, permet de trouver la valeur de k telle

que P(X On retrouve les instructions relatives à la loi binomiale vue l"année passée

instructions utilisent des distributions qui ne sont pas étudiées en classe de terminale (Loi de Student (lignes 4

et 5) Loi du Khi deux (ɳ²)(lignes 6 et 7), Loi de Fisher (lignes 8 et 9) Loi de Poisson (lignes B et C) et loi

géométrique (lignes D et E))

REMARQUE :

La calculatrice ne connaissant pas l"infini, pour faire comprendre à la calculatrice que nous travaillons avec

l"infini, on peut utiliser l"astuce suivante : on remplace

X suit N (0 ;1).

Une autre astuce pour contourner ce problème est d"utiliser la symétrie de la représentation graphique de f,

c"est-à-dire sachant que l"aire sous la courbe est 1 l"aire sous la courbe sur [ 0 ; + Ϙ[ valent toutes les deux

Ainsi pour calculer P(X ൮ 1,3) on peut faire

différentes, mais ça suffit largement pour répondre à toutes les

FICHE CALCULATRICE : LOI NORMALE

I ] LOI NORMALE CENTREE REDUITE

:normalFdp( : permet de tracer la densité de probabilité, c"est f(x) = x² 21e
2

Pour faire le dessin il suffit de faire :

REMARQUE :

Permet aussi de tracer la densité de probabilité associée à une loi normale quelconque (cf. fin du document)

: permet de calculer P(a ൮ X ൮ b) lorsque a et b sont des réels tels que a < b et X suit

, permet de trouver la valeur de k telle que P(X ൮ k) = c

On retrouve les instructions relatives à la loi binomiale vue l"année passée : (lignes 0 et A).

instructions utilisent des distributions qui ne sont pas étudiées en classe de terminale (Loi de Student (lignes 4

²)(lignes 6 et 7), Loi de Fisher (lignes 8 et 9) Loi de Poisson (lignes B et C) et loi

La calculatrice ne connaissant pas l"infini, pour faire comprendre à la calculatrice que nous travaillons avec

: on remplace - Ϙ par - 10 99 c"est-à-dire et +

Une autre astuce pour contourner ce problème est d"utiliser la symétrie de la représentation graphique de f,

dire sachant que l"aire sous la courbe est 1, on peut en déduire que l"aire sous la courbe sur ] [ valent toutes les deux 1 2.

1,3) on peut faire : 0,5 + P( 0 ൮ X ൮ 1,3). (Les deux dernières décimale

, mais ça suffit largement pour répondre à toutes les questions...) : LOI NORMALE : permet de tracer la densité de probabilité, c"est-à-dire Permet aussi de tracer la densité de probabilité associée à une loi normale b) lorsque a et b sont des réels tels que a < b et X suit N (0 ;1)

Les autres

instructions utilisent des distributions qui ne sont pas étudiées en classe de terminale (Loi de Student (lignes 4

²)(lignes 6 et 7), Loi de Fisher (lignes 8 et 9) Loi de Poisson (lignes B et C) et loi

La calculatrice ne connaissant pas l"infini, pour faire comprendre à la calculatrice que nous travaillons avec

dire et + Ϙ par 1099.

Une autre astuce pour contourner ce problème est d"utiliser la symétrie de la représentation graphique de f,

, on peut en déduire que l"aire sous la courbe sur ] - Ϙ ; 0] et décimales peuvent être

Question Calculatrice

P (- 1,5 ൮ X ൮ 2,2)

P( X ൮ 1,3)

P(X ൯ 0,22)

On utilise les propriétés de f

P(X ൯ 0,22) = 1 -

= 1 - = 0,5 Résoudre des équations avec la loi normale centrée réduite

EXERCICE 1 :

La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite.

Les résultats seront arrondis au centième.

1°) Déterminer le réel a tel que P(X ൮ a) = 0,1256

2°) Déterminer le réel b tel que P(X ൭ b) = 0,1256

3°) Déterminer le réel c tel que P(0 ൮ X ൮

4°) Déterminer le réel positif h tel que P(

Dans ce cas là il faut utiliser l"instruction

Toujours accessible via le menu

distrib :

Cette instru

ction renvoie la valeur du réel t tel que P(X

REMARQUE :

Lorsque p = 1 ou p = 0 la calculatrice affiche

Ce qui est légitime étant donné que 10

99 et

Calculatrice Résultat

ou

On utilise les propriétés de f :

- P(X ൬ 0,22) - P(X ൮ 0,22) = 0,5 - P(0 ൮ X ൮ 0,22) Résoudre des équations avec la loi normale centrée réduite La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite.

Les résultats seront arrondis au centième.

a) = 0,1256 b) = 0,1256 ൮ c) = 0,1256 Déterminer le réel positif h tel que P( - h ൮ X ൮ h) = 0,95

Dans ce cas là il faut utiliser l"instruction

ction renvoie la valeur du réel t tel que P(X ൮ t) = p où p est un réel de [0 ;1] donné par l"utilisateur.

Lorsque p = 1 ou p = 0 la calculatrice affiche :

et - 10 99 sont respectives les " + Ϙ » et " - Ϙ » de la calculatrice

Résultat

Résoudre des équations avec la loi normale centrée réduite ;1] donné par l"utilisateur.

» de la calculatrice....

QUESTIO

N TRANSFORMATIONS RESULTATS

1°) Rien à faire, c"est un calcul direct

2°) P(X > b) = 1 - P(X

൮ b) P(X ൭ b) = 0,1256 ? 1 - P(X ൮ b) = 0,1256 ? P(X ൮ b) = 0,8744 On peut aussi réfléchir un peu, et se souvenir que grâce à la symétrie de la densité de probabilité de la loi normale on a, pour tout réel t : P(X ൮ - t) = P(X ൯ t)

3°) P(0

൮ X ൮ c) = P( X ൮ c) - P(X ൮ 0) = P(X ൮ c) - 0,5 P(0 ൮ X ൮ c) = 0,1256 ? P(X ൮ c) - 0,5 = 0,1256 ? P(X ൮ c) = 0,6256 Il faut se souvenir, toujours grâce à la symétrie de la densité de probabilité que P( X ൮ 0) = P(X ൯ 0) = 0,5

4°) P( - h

൮ X ൮ h ) = P(X ൮ h) - P(X ൮ - h) or P(X ൮ - h ) = P(X ൯ h) = 1 - P(X ൮ h) D"où P( - h ൮ X ൮ h ) = P(X ൮ h) - [1 - P(X ൮ h)] = 2 P(X ൮ h) - 1 P( - h ൮ X ൮ h ) = 0,95 ? 2 P(X ൮ h) - 1 = 0,95 ? P(X ൮ h) = 0,975

REMARQUE :

On retrouve la valeur approchée u0,95 ء

I ] LOI NORMALE N (ɧ ; ɭ²)

Utiliser les paramètres ɧ et ɭ

Les instructions à utiliser sont les même, la seul différence est qu"il faut préciser la valeur des deux

paramètres. En effet, par défaut les instructions normalFRép( : et FracNormale( sont paramétrée pour faire des calculs avec la loi normale centrée réduite.

Supposons que X suit N (ɧ ; ɭ²)

Pour déterminer la valeur de P ( a ൮ X ൮ b) on saisie : Et pour déterminer le réel c tel que P ( X ൮ c ) = p (où p ∈ [ 0 ; 1]) on fait :

EXERCICE 2 : (calculs directs)

Une cantine sert des repas en nombre très important. Soit X la variable aléatoire qui donne le poids en grammes

des rations de viande. On suppose que X suit la loi normale N (120 ; 225). Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche.

1°) Quel est le poids moyen d"une ration de viande ?

2°) Quelle est la probabilité pour que le poids d"une ration de viande soit compris entre 110g et 135 g ?

3°) Le 19 septembre, la cantine a servi 850 repas.

A combien peut-on évaluer le nombre de rations de viande dont le poids dépassait 130 g ?

1°) X suit N (120 ; 225), on a donc E(X) = 120. Le poids moyen d"une ration de viande est donc de 120g.

2°) On cherche à calculer P( 110 ൮ X ൮ 135)

Avant d"utiliser la calculatrice, il faut commencer par trouver ɭ. En effet les paramètres de la loi normale sont ɧ

et ɭ² mais la calculatrice travaille avec ɧ et ɭ.

ɭ² = 225 donc ɭ = 15

3°) On commence par calculer P(X > 130).

A la calculatrice on peut directement faire :

On peut aussi faire la transformation : P(X > 130) = 0,5 - P( 120 < X < 130) En utilisant la symétrie de la

Gaussienne par rapport à la droite d"équation x = ɧ.

On retrouve :

Donc en arrondissant au millième, on trouve que sur 850 repas, on a 850 x 0,252 ء viande dépassait 130g. Se ramener à la loi normale centrée réduite

REMARQUE :

Lorsque X suit la loi N (ɧ ; ɭ²), il peut être nécessaire de se ramener à la loi normale centrée réduite.

En effet, par définition X suit N (ɧ ; ɭ²) signifie que T = Xμ - suit N (0 ; 1). EXERCICE 3 : (Résoudre une équation avec une loi normale) La variable aléatoire X suit la loi normale N (ɧ ; ɭ²) avec ɧ = 90 et ɭ = 20. Les résultats seront arrondis au dixième le plus proche.

1°) Déterminer le réel k1 tel que P(X < k1) = 0,98.

2°) Déterminer le réel k2 tel que P(X > k2) = 0,6.

3°) Déterminer un intervalle I de centre ɧ tel que P(X ∈ I) = 0,85.

1°) Il suffit de faire le calcul directement avec la calculatrice :

On trouve k

1 ء

2°) Il faut commencer par se ramener à une formule du type : P( X ൮ t) = c, afin de pouvoir utiliser la

calculatrice. On a : P(X > k

2) = 1 - P(X ൮ k2)

D"où P(X > k

2) = 0,6 ? 1 - P(X ൮ k2) = 0,6 ? P(X ൮ k2) = 0,4

On trouve k

2 ء

3°) Parfois la calculatrice ne peut pas nous aider avec une loi normale de paramètres ɧ et ɭ² quelconques, il faut

donc utiliser la définition afin de se ramener à une loi normale centrée réduite. Par définition X suit N (90 ; 20²) signifie que T =

X X 90

20

σ suit N (0 ;1).

On cherche un intervalle de centre ɧ, c"est-à-dire on cherche le réel positif h tel que :

P( ɧ - h ൮ X ൮ ɧ + h) = 0,85

P( ɧ - h ൮ X ൮ ɧ + h ) = 0,85 ? P( 90 - h ൮ X ൮ 90 + h) = 0,85 = 0,85 h hP T20 20 = 0,85 ? 2 ɍ h 20 - 1 = 0,85 h 20 = 0,925

On en déduit :

h

20 ء

Représentation graphique de la densité de probabilité associée à une loi normale de moyenne ɧ et d"écart type ɭ.

On utilise la fonction

Dans le cas d"une loi normale quelconque : N ( ɧ ; ɭ²) on fait : (Dans l"exemple choisi, on a ɧ = 50 et ɭ = 2)

Attention à bien régler la fenêtre graphique, la courbe doit être symétrique par rapport à x = ɧ

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