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Le Risque de crédit Bancaire - Cours en ligne

ESILV - Département Ingénierie financière - Vivien Brunel - Février 2016 Vidéo 15 -MODELES DE PORTEFEUILLE Modèle de Vasicek

Bonjour.

Aujourd'hui, nous allons parler des modèles de portefeuille de crédit, et en particulier du modèle de portefeuille homogène granulaire, le modèle de Vasicek. [Slide Asset correlation]

Comme nous l'avons vu dans la vidéo précédente, nous pouvons modéliser l'évènement de défaut

par une variable aléatoire binomiale correspondant au franchissement d'une variable Ri au-dessous

d'un certain seuil s, indépendant de l'entreprise si on suppose le portefeuille homogène en risque. La

variable Ri s'interprète comme le rendement d'actifs de l'entreprise numéro i

Ri =racine(rho) F +racine(1-rho) epsilon i

[Slide Portfolio loss] La perte totale en pourcentage sur le portefeuille s'écrit : Ln =LGD/N somme des indicatrices que Ri soit inférieur à s

En remplaçant Ri par son expression en fonction des facteurs systémique F et spécifique epsilon i,

nous obtenons la formule de la perte totale ci-contre. [Slide Granular limit]

En conditionnant sur le facteur systémique F, la perte sur le portefeuille s'écrit comme une somme

de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.). On peut donc appliquer la

loi des grands nombres lorsque le nombre Ln égal LGD fois N de s moins racine de rho F divisé par racine de 1-rho La perte sur le portefeuille granulaire est uniquement dictée par la réalisation du facteur macroéconomique

F, toutes les sources de bruit, ou d'aléa, idiosyncratique étant diversifiées. En particulier,

la perte L sur le portefeuille est décroissante en F : plus la réalisation du facteur macro-économique

est favorable, c'est-à-dire plus l'environnement économique est porteur, plus la perte sur le portefeuille est faible.

Dans ce qui suit, pour plus de simplicité, nous supposerons un taux de recouvrement nul, c'est-à-dire

une LGD égale à 100%. La fonction de répartition s'écrit :

Formule fonction de répartition Vasicek

[Slide densité des pertes]

Par simple dérivation, nous obtenons la densité des pertes qui est donnée par la formule ci-contre.

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ESILV - Département Ingénierie financière - Vivien Brunel - Février 2016

Le comportement de la fonction de densité des pertes se situe dans différents régimes selon qu'on a

une corrélation faible entre les actifs (et correspondra dans la majeure partie des cas à la réalité),

une corrélation élevée ou une corrélation intermédiaire. Dans ce modèle, lorsque la corrélation

d'actifs est nulle, tous les défauts sont indépendants, et la densité de perte est un pic de Dirac centré

sur la perte moyenne du portefeuille car le portefeuille contient une infinité de lignes : le portefeuille

est très diversifié et la perte totale est égale à la perte moyenne et ne dépend plus du facteur

macroéconomique F. Dans le cas extrême rho = 100 %, tous les actifs ont le même comportement: soit aucun ne fait

défaut, soit ils font tous défaut sur l'horizon de temps considéré. La loi des pertes du portefeuille

dans ce cas est composée de deux masses de Dirac centrées sur 0 et 1, ce qui correspond au cas du

Portefeuille composé d'un seul actif seulement. Entre ces deux situations extrêmes, il y a toutes les

valeurs de la corrélation entre 0 et 100 %, qui interpolent les deux régimes extrêmes de corrélation

nulle et corrélation parfaite : la densité est tout d'abord fortement centrée autour du mode,

puis s'élargit au fur et à mesure que la corrélation augmente ; lorsque la corrélation dépasse le

niveau de 50 %, la densité des pertes passe d'une fonction unimodale à une distribution bimodale,

les deux modes étant localisés en 0 et 1. [Slides Loss statistics]

On calcule aisément la VaR de crédit, l'espérance et la variance des pertes sur le portefeuille

infiniment granulaire :

Formule EL

Formule variance

où N2(:; :; _) est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite bivariée de corrélation rho :

Formule loi bivariée

[Slide derivation method 1]

Ces résultats se démontrent de deux façons. La première méthode consiste calculer analytiquement

les intégrales correspondant à l'espérance de la perte et l'espérance du carré de la perte

respectivement, qui se calculent en écrivant la fonction de répartition de la loi normale comme une

intégrale de la densité de la loi normale.

Dans les relations ci-contre, qui conduisent au calcul de l'espérance de la perte, on intervertit alors

les deux intégrales et on calcule l'intégrale gaussienne sur la variable x.

Le calcul de l'espérance de la perte au carré s'effectue de même, en utilisant toujours le même

changement de variable. [Slide derivation method 2]

La deuxième méthode est algébrique et n'utilise aucun calcul d'intégrale. Elle réutilise la définition de

la perte totale sur le portefeuille comme étant la somme des pertes sur chaque ligne, que nous

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ESILV - Département Ingénierie financière - Vivien Brunel - Février 2016 illustrons ci-contre pour le calcul de l'espérance du carré de la perte :

La dernière relation s'obtient en remarquant que les variables Ri et Rj forment un vecteur gaussien

bivarié. [Slide loss volatility]

Le graphique ci-contre représente la volatilité des pertes sur le portefeuille de crédit en fonction du

niveau de corrélation (la probabilité de défaut moyenne sur le portefeuille est égale à 10 % dans cet

exemple). [Slide impact of correlation]

Nous pouvons aussi visualiser l'augmentation de l'écart-type de la perte du portefeuille en fonction

du niveau de corrélation par l'augmentation de la dispersion de la fonction de densité, comme illustré par le graphique ci-contre.

De nombreux calculs sur la loi de Vasicek peuvent être effectués simplement, sans recours au calcul

intégral, par une méthode algébrique identique à celle utilisée ci-dessus pour le calcul de la variance

de la perte. C'est en particulier le cas pour l'expected shortfall, défini par E[(L / L > x], qui est une

quantité très utilisée pour l'analyse des risques et pour l'évaluation du prix des tranches de CDO.

[Slides What have we learnt ?]

En résumé, qu'avons-nous appris ?

Dans la limite granulaire pour le portefeuille homogène à un facteur, on sait calculer la loi statistique des pertes. La perte est une fonction du facteur systémique et a deux paramètres, la probabilité moyenne de défaut et la corrélation Pour une corrélation supérieure à 50%, la loi des pertes est bimodalequotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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