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Comme l'image de 0 est b la droite coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0;b) b) Coefficient directeur Si x1 et x2 sont deux nombres a = f(x2)
Intersection d"une courbe et d"une droite
Présentation de l"algorithme :Ils"agitderéaliserunalgorithmequirecherchelescoordonnéesd"unpointd"intersectiond"une
courbe et d"une droite.1.l "Algorithmee nla nguenat urelle:DONNEES A ENTRER:
d nombre réel #abscisse de départ f fonction réelle # fonction de la courbe considérée a nombre réel #coefficient directeur de la droite b nombre réel #ordonnée à l"origine de la droite p nombre réel #pas de balayage initial s nombre réel #précision de la réponseAUTRES VARIABLES
e,c nombres réels #pour stocker les écarts absolus des ordonnéesTRAITEMENT
si f(d)>(a*d+b) alors donner à e la valeur : f(d)-(a*d+b) sinon donner à e la valeur : (a*d+b)-f(d) tant que (p>s ou p<-s) si f(d+p)>(a*(d+p)+b) alors donner à c la valeur : f(d+p)-(a*(d+p)+b) sinon donner à c la valeur : (a*(d+p)+b)-f(d+p) si cF onctionnementd el "algorithme:
La fonctionfet l"équation réduite de la droite D étant choisies, on choisit un réeld, un paspet
une précisions. L"algorithme calcule alors la distanceeentre les points d"abscissedsitués respectivement sur C fet sur D, puis l"algorithme "se déplace" depsur l"axe des abscisses et calcule la distance en cette nouvelle abscisse (stockée dans la variablec).Si cette distance se réduit, le "déplacement" se poursuit dans le même sens avec le même pas,
sinon l"algorithme change le sens du parcours (multiplication deppar -1) et réduit le pasp (division du pas par 10).On continue de parcourir l"axe des abscisses tant que le pas reste à l"extérieur de l"intervalle
[¡s;s]. Classe de seconde ou premièreMathématiques et TICE Remarque :f,aetbne variant jamais durant l"algorithme, on peut pour simplifier l"algorithme remplacerf(x) par son expression etaetbpar leurs valeurs respectives dans tout l"algorithme. Les variablesf,aetbne sont alors plus nécessaires. Même remarque pour la précisions. 3.Q uestionnementposs ible:
a.Faire fonctionner l"algorithme à la main dans le cas oùdAE3,pAE1,sAE0,1,f(x)AEx2,aAE1 etbAE2. b.Le nombre affiché par l"algorithme est-il l"abscisse d"un point d"intersection deCfet de la droite d"équationyAExÅ2? c.Faire fonctionner l"algorithme à la main dans le cas oùdAE2,pAE1,sAE0,1,f(x)AEx2,aAE1 etbAE2. d.Amélioration possible pour le cas oùdAE2 :L"algorithme est-il optimal dans ce cas?
Proposer une solution pour améliorer l"algorithme dans ce cas.Faire vérifier le travail par le professeur.
e.Programmer l"algorithme et le faire fonctionner dans le cas oùdAE3,pAE1,sAE0,000001, f(x)AEx2,aAE1 etbAE2. 4. J ustificationposs ibled ansle ca sde de uxf onctionsaffines a.Décrire comment fonctionne l"algorithme. b.Expliquer pourquoi dans le cas oùfest une fonction affine de coefficient directeur diffé- rent dea, l"algorithme donne toujours une valeur approchée ou exacte de l"abscisse du point d"intersection des deux droites.Prolongement possible :En seconde,
O npeuts"interrogersurlerésultatquedonnel"algorithmelorsquelacourbenecoupepasla mais renvoie l"abscisse pour laquelle la différence des ordonnées des points de la courbe et de la droite est minimale. Par exemple,on peut faire travailler les élèves avec la fonctionfdéfinie surRparf(x)AE x2Å3 avecaAE1 etbAE2, en choisissant différentes valeurs pourd(-3; 5).
L orsquesurl"intervalledetravail,lafonctionquiàxassocief(x)¡(axÅb)s"annuleplusieurs fois, l"algorithme peut ne pas donner la même réponse suivant l"abscissedde départ. Par exemple,on peut faire travailler les élèves avec la fonctionfdéfinie surRparf(x)AEx2 avecaAE1 etbAE2, en choisissant différentes valeurs pourd(-3; 5).En première S,
O npeut s "interrogersu rd escas où s url "intervallede t ravail,la fonc tionq uià xassocie f(x)¡(axÅb) n"est ni concave ni convexe. x3¡x2Åx¡1 avecaAE1,5 etbAE0,5, en choisissant différentes valeurs pourd(-1; 0; 1; 2 et
3). O np euta ussis "interrogers urce q uev ach ercherc etalgor ithmel orsquef(x)AE2x2ÅxÅ1x dAE2,aAE1,etbAE0. (Il y a aussi des valeurs dedqui provoque une erreurdAE¡2.) ou encore lorsquedAE2,aAE2,etbAE1.quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16[PDF] Algorithme ; Fonction ; f(x) 2nde Mathématiques
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