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Intersection de deux droites et système à deux inconnues. Index

Objectif: ................................................................................................................................................................... 1

1- Énoncé: ................................................................................................................................................................ 1

Une méthode: ...................................................................................................................................................... 1

Une autre méthode: ............................................................................................................................................. 1

Remarques: ..................................................................................................................................................... 2

2- Résumé: ............................................................................................................................................................... 3

Équations de droites ............................................................................................................................................ 3

Système à deux inconnues. ................................................................................................................................. 3

Trois cas peuvent apparaître: ..................................................................................................................... 3

Illustrations ................................................................................................................................................ 3

Objectif:

Déterminer une équation de droites passant par deux points. Résoudre un système de deux équations à deux inconnues. Lui donner du sens.

1- Énoncé:

Dans un repère O;i,j , on considère les points A(-1; 2), B(1; -1), C(2; 1), D(-2; -2)

Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection I des droites (AB) et (CD).

Une méthode:

Soit M(x; y).

Le point M appartient à (AB) si et seulement si les vecteurs AB et AM sont colinéaires: On a: AB 1--1 -1-2, soit AB 2 -3 et AM x--1 y-2, soit AM x1 y-2.

Finalement!: M ∈ (AB) si et seulement si ses coordonnées (x; y) vérifient l'équation: 2(y - 2) = -3(x + 1) (1)

Le point M appartient à (CD) si et seulement si les vecteurs DC et CM sont colinéaires: On a: DC 2--2

1--2, soit DC 4

3 et CM x-2

y-1, soit CM x-2 y-1.

Finalement!: M ∈ (CD) si et seulement si ses coordonnées (x; y) vérifient l'équation: 4(y - 1) = 3(x - 2) (2)

Comme I est le point d'intersection des deux droites, ses coordonnées vérifient les deux équations (1) et (2).

Les coordonnées de I sont solutions du système: {2y-2=-3x1

4y-1=3x-2Résolution du système: on peut remarquer qu'en ajoutant les deux équations membre-à-membre, il ne reste

qu'une inconnue y, d'où, (2y - 4) + (4y - 4) = (-3x - 3) +(3x - 6), soit: 6y = -1. y = -

1

6En remplaçant y par - 1

6 dans l'une des équations, il vient: x =

4

9 (Faire le calcul)

Conclusion: I(

4 9; - 1 6)

Une autre méthode:

Les points A et B, ainsi que les points C et D, ont des abscisses différentes. Ni la droite (AB), ni la droite (CD)

ne sont parallèles à l'axe des abscisses.

Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement, Et les mots pour le dire arrivent aisément. Boileau 1/4 D:\docs_lycee_08_09\seconde\activités\intersection_droites.odt 19/05/09

Intersection de deux droites et système à deux inconnues.

On sait alors que les droites représentent des fonctions affines et on peut chercher les coefficients a et b tels que

y = ax + b.

Équation réduite de (AB):

Comme A ∈ (AB), on a: 2 = -a + b

Comme B ∈ (AB), on a: -1 = a + b

Résolution du système: {2=-ab

-1=ab, on trouve a = - 3

2 et b =

1

2 (Faire le calcul)

L'équation réduite de (AB) est y = -

3 2 x + 1

2 (3)

Équation réduite de (CD):

Comme C ∈ (CD), on a: 1 = 2a + b

Comme D ∈ (CD), on a: -2 = -2a + b

Résolution du système:

{1=2ab -2=-2ab, on trouve a = 3

4 et b = -

1

2 (Faire le calcul)

L'équation réduite de (CD) est y = 3

4 x - 1

2 (4)

Comme I est le point d'intersection des deux droites, ses coordonnées vérifient les deux équations (1) et (2).

Les coordonnées de I sont solutions du système: {y=-3

2x1

2 y=3 4x-1

2On trouve I(4

9; - 1

6)

Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement, Et les mots pour le dire arrivent aisément. Boileau 2/4 D:\docs_lycee_08_09\seconde\activités\intersection_droites.odt 19/05/09

2345-1-2-3

2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 01 1 x y A BI C D Intersection de deux droites et système à deux inconnues.

Remarques:

Dans la première méthode, quelque soit la droite, on trouve une équation de la forme ax + by + c = 0. (Équation

cartésienne d'une droite)

Le vecteur u de coordonnées -b

a est un vecteur directeur de la droite Lorsque b ≠ 0, on peut mettre sous la forme y = mx + p avec m = - a b (coefficient directeur de la droite)

Par exemple pour (AB), un vecteur directeur est

AB 2 -3 et l'équation (1) peut s'écrire: -3x - 2y + 1 = 0

On peut aussi la mettre sous la forme: y = -

3 2x + 1

2 (Équation réduite)

2- Résumé:

Équations de droites

Vecteur

directeurÉquation cartésienneCoefficient directeurÉquation réduite

Droite parallèle à

l'axe des ordonnées j 0

1ax + c = 0 avec a ≠ 0N'existe pasx = -

c aDroite parallèle à l'axe des abscisses i 1

0by + c = 0 avec b ≠ 0m = 0y = -

c bDroite non parallèle aux axes u -b aax + by + c = 0 avec a ≠ 0 et b ≠ 0m = - a by = - a bx - c

bTout vecteur non nul colinéaire à un vecteur directeur d'une droite est aussi un vecteur directeur de cette droite.

Système à deux inconnues.

Toute équation de la forme ax + by = c où (a; b) ≠ (0; 0) se représente par une droite.

Ainsi, un système de deux équations à deux inconnues {axby=c a'xb'y=c' est représenté par deux droites D1 et D2.

Trois cas peuvent apparaître:

1) Les droites

D1 et D2 sont strictement parallèles. Le système n'a aucune solution.

2) Les droites

D1 et D2 sont confondues. Le système a une infinité de solutions.

Dans ces deux cas, les vecteurs

u1 -b a et u2 -b' a' sont colinéaires, c'est-à-dire que leurs coordonnées forment un tableau de proportionnalité. ab' = a'b. De plus dans le deuxième cas, les suites (a, b, c) et (a', b', c') sont proportionnelles

3) Les droites

D1 et D2 sont sécantes. Le système a une et une seule solution représentée par le point d'intersection.

Dans ce cas, les vecteurs

u1 -b a et u2 -b' a' ne sont pas colinéaires. ab' ≠ a'b.

Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement, Et les mots pour le dire arrivent aisément. Boileau 3/4 D:\docs_lycee_08_09\seconde\activités\intersection_droites.odt 19/05/09

Intersection de deux droites et système à deux inconnues.

Illustrations

a) {2xy=1

4x2y=5 Comme 2×2 = 4×1, et que, 1×2 ≠ 5, le système n'a aucune solution.

b) {x3y=1

-2x-6y=-2. En multipliant la suite (1; 3; 1) par (-2), on trouve (-2; -6; -2). Le système a une infinité

de solutions représentées par la droite d'équation réduite: y = - 1 3x + 1 3c) {xy=1

2x-3y=-3. Comme 1×(-3) ≠ 2×1, le système a une et une seule solution.

Par exemple, on tire y = 1 - x de la première équation et on substitue dans la deuxième.

2x - 3(1 - x) = -3, soit: 5x = 0. On trouve x = 0, puis, y = 1. Le couple solution est (0; 1)

Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement, Et les mots pour le dire arrivent aisément. Boileau 4/4 D:\docs_lycee_08_09\seconde\activités\intersection_droites.odt 19/05/09

2x+y=1

4x+2y=5

23-1-2

2 3quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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