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Chapitre 1
Fonctions de reference
I/ Racine carree
1) Denition
a) Racine carree d'un reel positif Laracine carreedexest l'unique reel positif dont le carre vautx. b) Ensemble de denition Seuls les reels positifs ont une racine carree, on dit que la fonctionracine carreeest denie sur [0;+1[. c) En Python sqrtest une abreviation de squareroot.Par defaut,Pythonn'a pas de fonctionracine carree. Mais une des methodes de l'objetmathen possede une, qui se notesqrt: frommathimport*print( s qrt( 64)) print( s qrt( -1)) Le texte d'erreur signie que -1 est en-dehors dudomaine de denition de la fonction. d) NotationOn note
pxla racine carree dex. 12CHAPITRE 1. FONCTIONS DE REFERENCE
2) Proprietes
a) Variations La fonctionx7!pxest strictement croissante sur [0;+1[. b) Signe La fonctionx7!pxest positive sur [0;+1[.Par denition!II/ Valeur absolue
1) Denition
On considere le programme de calcul suivant :
1:Prendre un nombrex;
2:Remplacer son signe, quel qu'il soit, par un "+" (autrement dit, oublier
son signe)3:Retourner le resultat.
Ceci denit une fonction sur?. On appellevaleur absoluecette fonction. a) Fonction ane par intervalle Sixest positif, le programme ci-dessus ne le change pas : La valeur absolue d'un nombre positif est le nombre lui-m^eme. Par contre sixest negatif, le rendre positif le remplace par son oppose : defabsolue(x):i fx>=0:returnxelse return-x b) NotationLa valeur absolue dexse notejxj.
EnPython, elle se noteabs:
print ( [abs(x)f orxinr ange( -5,6)])III/. CONSTRUCTION DE FONCTIONS3
2) Proprietes
a) Domaine de denitionLa fonctionx7! jxjest denie sur?.
b) Variations La fonctionx7! jxjest strictement croissante sur [0;+1[ et strictement decroissante sur ]1;0]. c) SigneLa fonctionx7! jxjest positive sur?.Par denition!
III/ Construction de fonctions
On peut construire des fonctions a partir des fonctions de reference par somme, produit etc. Alors1:Additionner une constante a une fonction ne change pas ses variations;
2:Multiplier une fonction parune constante positive ne change pas ses va-
riations, la multiplier par une constante negative inverse ses variations;3:La racine carree d'une fonction positive a les m^emes variations que
celle-ci;4:L'inverse d'une fonction croissante est decroissante, l'inverse d'une fonc-
tion decroissante est croissante.4CHAPITRE 1. FONCTIONS DE REFERENCE
Chapitre 2
Alignement dans le plan repere
I/ Objets geometriques en Python
1) Point
classP oint
def__init__(s elf,x,y):self.x=xself.y=ydef__str__(s elf) :return'('+str(s elf.x)+';'+str(s elf.y)+')'defvecteur(s elf,p):returnVecteur(p.x-self.x,p.y-self.y)
2) Vecteur
frommathimport*classV ecteur:def__init__(s elf,x,y):self.x=xself.y=ydef__str__(s elf) :return'('+str(s elf.x)+';'+str(s elf.y)+')'def__add__(s elf,p):returnVecteur(s elf.x+p.x,self.y+p.y)defnorme(s elf) :returnh ypot(s elf.x,self.y)def__rmul__(s elf,r):
56CHAPITRE 2. ALIGNEMENT DANS LE PLAN REPEREreturnVecteur(s elf.x*r,self.y*r)
a) Norme La distanceABs'appelle lanormedu vecteur!ABet se note !AB .Si le repere est orthonorme, on peut ajouter une methodenormegr^ace a l'import de l'objetmath(ci-dessus). Elle s'appelle par uVecteur(4,3)print( v.norme() )
3) Vecteurs colineaires
a) DeterminantLedeterminantde deux vecteurs~ux~u
y ~u et~vx~v y ~v est le nombre x ~uy~vx~vy~u. b) Colinearite Deux vecteurs sont colineaires si et seulement si leur determinant est nul. c) Methode defdeterminant(s elf,v):returns elf.x*v.y-self.y*v.xdefcolin(s elf,v):returns elf.determinant(v)==0II/ Droite du plan repere
1) Droite comme objet Python
classD roite
def__init__(s elf,A,B):self.A=Aself.B=BLa droite est denie par deux pointsAetB.
II/. DROITE DU PLAN REP
ERE72) Vecteur directeur
La vecteur
!ABest unvecteur directeurde la droite (AB). Tout vecteur non nul colineaire a!ABest aussi directeur de (AB). C'est une methode de l'objetdroite: defdirecteur(s elf) :returns elf.A.vecteur(s elf.B) 3)Equation cartesienne
En ecrivant que le pointM(xM;yM) est aligne avecAetB, on obtient successivement (parce que les vecteurs!AMet!AB(a;b) doivent pour cela ^etre colineaires) : a(yMyA)b(xMxA) = 0 bxM+ayM=ayAbxA bx+ay=c avec c=ayAbxACe qui donne une equation cartesienne de (AB) :
def__str__(s elf) :a=-self.directeur() .yb=self.directeur() .xc=-self.directeur() .y*self.A.xc+=self.directeur() .x*self.A.yeq='('+str(a)+')x+('+str(b)+')y='+str(c)returneq
8CHAPITRE 2. ALIGNEMENT DANS LE PLAN REPERE
Chapitre 3
Statistiques descriptives
I/ Simulation
1) Tableaux
Pour simuler 100 lancers d'un de equilibre, on peut mettre les resultats des 100 lancers dans un tableau : from r andom i mport*donnees=[randint( 1,6)f orninr ange( 100)] Le resultat du premier lancer est alors stocke dansdonnees[0].2) Tableaux tries
Une fois un tableau trie dans l'ordre croissant avecsort(), on repere les elements du tableau trie qui sont au quart, au milieu ou aux trois quarts :defmediane(tableau):tableau.sort() n=len( tableau)i fn%2==1:returntableau[int(n/2)]else:return( tableau[int(n/2-1)]+tableau[int(n/2)])/2defQ1(tableau):tableau.sort() n=len( tableau)returntableau[int(n/4)]9
10CHAPITRE 3. STATISTIQUES DESCRIPTIVESdefQ3(tableau):tableau.sort() n=len( tableau)returntableau[int(3*n/4)]
3) Bo^tes a moustaches
II/ Moyenne
Pour eviter d'avoir un quotient euclidien, on ajoute le reel zero a la lon- gueur du tableau, ce qui a pour eet de la convertir en reel : defmoyenne(tableau):returnsum(tableau)/len( tableau) On peut maintenant calculer la moyenne de n'importe quel tableau : III/Ecart-type
1) Variance
La variance est la moyenne des carres des ecarts a la moyenne. 2)Ecart-type
L'ecart-type est la racine carree de la variance : frommathimport*defecartype(tableau):returns qrt( variance(tableau)) print( variance(donnees))Chapitre 4
Nombre derive
I/ Denition
1) Nombre derive
Lorsque le quotient
f(x+h)f(x)h se rapproche d'une limitealorsque htend vers 0, on dit quefestderivableena. Dans ce cas, la limite est appeleenombre derivedefenaet notef0(a)2) Tangente
Le nombre derive defenaest le coecient directeur de la tangente en (a;f(a)) a la representation graphique def.II/ Fonction derivee
1) Algorithme
On peut implementer une valeur approchee du nombre derive comme ceci : defNDer(f,a):h=1e-10 return ( f(a+h)-f(a)) /h Pour conna^tre le nombre derive dex7!x22 en 3, on peut faire deff(x):returnx**2-2 1112CHAPITRE 4. NOMBRE DERIVEprint( NDer(f,3))
Ceci denit une fonction :
2) Denition
La fonctionf0qui, aa, associe le nombre derive defena, est une fonction ne dependant que def, appeleefonction derivee def.3) Exemples
1:La derivee d'une fonction ane est son soecient directeur;
2:La derivee dex7!pxestx7!12
px3:La derivee dex7!1x
estx7! 1x 2;4:La derivee dex7!xnestx7!nxn1(sin2?)
4) Proprietes
a) Somme La derivee d'une somme est la somme des derivees : (u+v)0=u0+v0. b) Produit (uv)0=u0v+uv0 c) Quotient uv0=u0vuv0v
2III/ Variations
1) Signe de la derivee
Une fonctionfderivable est croissante si et seulement si sa deriveef0est positive, et decroissante si et seulement si sa derivee est negative. On peut donc etablir le tableau de variations defa partir du tableau de signes de sa derivee.III/. VARIATIONS13
2) Extrema
Une fonction derivablefpasse par un maximum ou par un minimum en un nombreatel quef0(a) = 0.14CHAPITRE 4. NOMBRE DERIVE
Chapitre 5
Second degre
I/ Denitions
1) Polyn^omes
a) Mon^omes Unmon^omeest le produit d'une constante par une puissance dex.quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] algorithme algobox exemple PDF Cours,Exercices ,Examens
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