Métriques et géométries
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Le flot géodésique des variétés riemanniennes à courbure négative
fonction - la norme des vecteurs - invariante par X. Le flot géodésique est tangent aux surfaces de niveau - les fibrés en sphères et on considérera.
Titre principal
C'est la distance comptée sur une ligne géodésique ou orthodromie elle-même définie comme la Les grands cercles sont des géodésiques de la sphère.
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- Un grand cercle est un cercle tracé r la surface d'une sphère qui a le même diamètre qu'elle et qui la divise en deux hémisphères égaux. - Ou encore un grand
Surfaces courbes
sur la géodésie et sur les géométries non euclidiennes pose les prémices de la géométrie Les géodésiques d'une sphère sont des portions des.
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Champs d'hyperplans totalement géodésiques sur les sphères. Theodor HANGAN et Robert LUTZ. La structure de contact standard Gq de la sphère S joui t de la
Isométries et géodésiques dans les variétés de dimension 2
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SUR LES LIGNES GEODÉSIQUES DES SURFACES CONVEXES*
Géodésiques d'un sphéroïde. Cherchons les géodésiques d'une surface très peu différente d'une sphère ; nous n'aurons pour cela qu'à
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où V ?(r) désigne le volume d'une boule géodésique de rayon r de l'espace com- plet simplement con-nexe de courbure sectionnelle constante égale à ? En
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Montrer que si une courbe dans une variété pseudo-riemannienne est le lieu des points fixes d'une isométrie alors elle est l'image d'une géodésique Exercice 4
Quelle est la relation entre la topographie et la géodésie ?
2La topographie est la sœur de la géodésie. Elle s'intéresse aux mêmes quantités, mais à une plus petite échelle, et elle rentre dans des détails de plus en plus fins pour établir des cartes à différentes échelles et suivre pas à pas les courbes de niveau.Quel est le but de la géodésie ?
1La géodésie s'occupe de la détermination mathématique de la forme de la Terre. Les observations géodésiques conduisent à des données numériques : forme et dimensions de la Terre, coordonnées géographiques des points, altitudes, déviations de la verticale, longueurs d'arcs de méridiens et de parallèles, etc.Quelle est la différence entre le géoïde et l'ellipsoïde ?
Pour résumer: l'ellipso? modélise la forme de notre globe. Elle ne modélise pas notre relief. Le géo? lui modélise une surface où tous les points subissent le même effet de la gravitation. C'est une surface équipotentielle.- Un dôme géodésique est une structure architecturale basée sur une forme sphérique, en fait la sphère est partielle puisque l'on a en réalité que les barres qui suivent les grands cercles géodésiques. Les triangles, unique composant de la géosphère sont réalisés par l'intersection des ces barres géodésiques.
Astérisque
PIERREPANSU
àcourburenégative
Astérisque, tome 201-202-203 (1991), Séminaire Bourbaki, exp. n o738, p. 269-298 © Société mathématique de France, 1991, tous droits réservés. L"accès aux archives de la collection " Astérisque » (http://smf4.emath.fr/ Publications/Asterisque/) implique l"accord avec les conditions générales d"uti- lisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copieou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 269LE FLOT
GÉODÉSIQUE
DES VARIÉTÉS RIEMANNIENNES
À COURBURE NÉGATIVE
parPierre PANSU1
Séminaire BOURBAKI Février 1991
43ème
année, 1990-91, n° 7381. INTRODUCTION
Sur une
variété riemannienne V, la distance entre deux points est, par définition, la borne inférieure des longueurs des courbes qui les relient. Pour deux points assez proches, cette borne inférieure est atteinte pour une unique courbe. On appelle géodésique une courbe paramétrée qui réalise ce minimum entre deux quelconques de ses points (assez proches), et qui est parcourueà vitesse constante. Les
géodésiques sont les solutions d'uneéquation
différentielle du second ordre. Autrement dit, ce sont les projections des orbites d'un champ de vecteurs X sur le fibré tangent TV. On dit que V est complète si ce champ est complet, i.e., s'il s'intègre en un groupeà un
paramètre de difféomorphismes de TV, défini pourtout temps.Ainsi,
les géodésiques peuventêtre vues sous deux
angles. Le point de vue variationnel - la géodésique est solution d'un problème deDirichlet
a joué un rôle essentiel dans le développement interne de la géométrie rie- mannienne. Le point de vue dynamique - la géodésique est solution d'un problème deCauchy -
a donné naissance à une branche particulièrement riche en interactions avec les disciplines voisines.L'auteur est
partiellement soutenu par le contratCEE GADGET
n°SC1-0105-C.
S.M.F.
Astérisque
201-202 - 203
(1991)Dans cet
exposé, on rappellera quelques-unes des propriétés globales du flot lorsque la courbure est négative. La plus saisissante est sans doute le fait que les géodésiques, au comportement apparemment irrégulier, s'organisent collectivement suivant une loi codée dans le groupe fonda- mental (stabilité structurelle). L'apport de la théorie ergodique, notam- ment la notion d'entropie, soulève de nombreux problèmes de rigidité du genre : telle propriété est caractéristique de tel exemple. On présentera notamment trois résultats récents qui vont dans ce sens : . caractérisation du flot géodésique des espaces localement symétriques par la différentiabilité du feuilletage stable ; . caractérisation des espaces localement symétriques comme minima de l'entropie normalisée par la courbure ; . détermination d'une surface par son spectre marqué des longueurs.Je tiens à remercier Patrick Foulon et les
participants du séminaire de GéométrieErgodique
de l'EcolePolytechnique qui
m'ont initié aux mystères du flot géodésique.2. INSTABILITE INFINITESIMALE
2.1. Un flot hamiltonien. Une
géodésique parcourueà vitesse constante
est un point critique de l'énergieDepuis Hamilton,
on sait que le champ de vecteurs X, dont les orbites se projettent sur les géodésiques, vit plus naturellement sur le fibre cotan- gent que sur le fibré tangent. La métrique définit une fonction H - la moitié du carré de la norme des covecteurs - sur le cotangent.Or celui-ci
porte une 1-forme canonique a, dont la différentielle extérieure da est symplectique.La relation
définit le champ de vecteurs hamiltonien Y, dont le flot préserve cx. La métrique définit aussi un difféomorphisme (linéaire sur les fibres) de TV sur T*V. Ce difféomorphisme applique le champ hamiltonien Y sur le flot géodésique X, la forme Of sur une 1-forme A et la fonction H en une fonction - la norme des vecteurs - invariante parX. Le flot
géodésique est tangent aux surfaces de niveau - les fibrés en sphères, et on considérera désormais sa restriction au fibré unitaire TI V.La restriction de A au fibré
unitaire est une forme de contact, qui détermine entièrement le champ X, via les relationsOn dit
queX est le
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