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Quelle est la relation entre la topographie et la géodésie ?
2La topographie est la sœur de la géodésie. Elle s'intéresse aux mêmes quantités, mais à une plus petite échelle, et elle rentre dans des détails de plus en plus fins pour établir des cartes à différentes échelles et suivre pas à pas les courbes de niveau.Quel est le but de la géodésie ?
1La géodésie s'occupe de la détermination mathématique de la forme de la Terre. Les observations géodésiques conduisent à des données numériques : forme et dimensions de la Terre, coordonnées géographiques des points, altitudes, déviations de la verticale, longueurs d'arcs de méridiens et de parallèles, etc.Quelle est la différence entre le géoïde et l'ellipsoïde ?
Pour résumer: l'ellipso? modélise la forme de notre globe. Elle ne modélise pas notre relief. Le géo? lui modélise une surface où tous les points subissent le même effet de la gravitation. C'est une surface équipotentielle.- Un dôme géodésique est une structure architecturale basée sur une forme sphérique, en fait la sphère est partielle puisque l'on a en réalité que les barres qui suivent les grands cercles géodésiques. Les triangles, unique composant de la géosphère sont réalisés par l'intersection des ces barres géodésiques.
Isométries et géodésiques dans les variétés de dimension 2 Ernest Specka
Mémoire d"initiation à la recherche
Sous la direction d"Amic Frouvelle
28 juin 2017
1Remerciements
Un grand merci à Amic Frouvelle pour le temps qu"il m"a consacré et la manière dont il m"a introduit
à un domaine superbe des Mathématiques.
2Table des matières
1 Une variété différentielle : le tore plat 4
1.1 Intuitions et premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.2 Le tore plat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61.2.2 Atlas en 4 ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61.2.3 Atlas en 2 ouverts (couronnes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82 Distances et isométries 9
2.1 Métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92.2 Isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112.3 Exemples principaux de variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142.3.1 La projection stéréographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142.3.2 Le disque de Poincaré :D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
3 Liens avec l"analyse complexe : calcul de géodésiques et d"isométries 16
3.1 Premiers résultats par l"analyse complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163.2 Le plan :R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
3.3 Le disque de Poincaré :D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
3.4 La projection stéréographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233
Introduction
Les questions de représentation de surfaces dans l"espace, de projections fidèles ou de géométrie sont un
moteur des mathématiques depuis toujours. Ces interrogations sur la représentation abstraite et mathé-
matique de formes, simples ou complexes, ont été considérées selon des angles variés à travers les siècles,
constituant un terreau fertile pour bon nombre de théories. Il s"agit donc ici de s"intéresser à un aspect
d"un des tournants majeurs de l"histoire de ces théories : l"apparition des géométries non-euclidiennes et
la formalisation par Riemann des notions de variété ou de métrique.La géométrie dite euclidienne est formalisée pour la première fois durant l"antiquité par les axiomes
d"Euclide qui définissent les comportements essentiels des objets de la géométrie (intersections de droites,
parallélisme...). Vue et revue, modernisée par de grands esprits, c"est auXIXesiècle que la géométrie
connaît une avancée énorme sous l"influence des idées de Gauss, Riemann, Lobatchevsky, Poincaré et de
nombreux autres. Elle s"ouvre d"un coup aux théories des géométries dites non-euclidiennes.Ces géométries découlent d"une question simple : peut-on démontrer le5eaxiome d"Euclide? Ce dernier
signifie la propriété :pour une droite A et un point M donnés, il existe une unique droite passant par le
point M qui soit parallèle à A. Il s"est avéré que les géométries émergées de la négation de cet axiome
étaient tout aussi cohérentes et fertiles que la géométrie euclidienne. En cessant de se placer dans un
plan, mais par exemple sur une sphère ou une selle, les objets doivent être redéfinis plus abstraitement,
apportant alors un recul nouveau sur les notions de géométrie.On définira d"abord ici les variétés, qui sont une sorte de généralisation des surfaces, afin d"en étudier
quelques exemples bidimensionnels et certains aspects. On s"intéressera ensuite à la notion de métrique
qui est une réinterprétation de la notion de distance afin de définir les isométries ou les géodésiques (plus
courts chemins) sur des variétés. Ceci nous permettra d"arriver à ce qui constitue le but de ce mémoire,
expliciter les isométries et les géodésiques dans le cadre de certaines variétés riemaniennes de dimension
deux : le plan, la sphère et le disque de Poincaré, ces variétés " représentant » respectivement les géométries
euclidienne, sphérique et hyperbolique.1 Une variété différentielle : le tore plat
1.1 Intuitions et premières définitions
On ne considérera dans ce mémoire pratiquement que des variétés de dimension 2. On peut, pour
mieux les appréhender dans le cadre d"une première approche, les voir comme des surfaces bidimensionelles
plongées dansR3. Pourtant elles ne sont pas plongées dans un espace de dimension supérieure. C"est la que
demeure l"enjeu de la définition de cette notion. Il s"agit de définir des espaces courbes qui ne nécessitent
pas d"être plongés dans un espace ambiant euclidien de dimension supérieure pour pouvoir être manipulés.
On considérera alors comme une variété de dimensionnun ensemble qui localement " ressemble » à
Rn. Il existe une notion de variété topologique, que nous n"aborderons pas ici, et qui formalise cette idée de
manière plus générale que ce que nous allons faire. Cette définition indique la nature de l"espace qu"est la
variété topologique, de manière à ce qu"il ne soit pas trop différent de ce que l"on manipule habituellement,
mais précise également cette notion de " ressemblance » àRn. En fait c"est un espace dont il existe un
recouvrement ouvert tel que pour chaque ouvertUdu recouvrement, il existe une bijection bicontinuedeUversRn. Sans rentrer dans les détails, nous procéderons d"une manière qui permet de contourner
cette notion, en définissant des bijections entre des sous ensembles de l"ensemble de base (qui sera ensuite
la variété) etRn, et l"idée est ensuite d"induire sur cet espace une topologie à partir de celle deRn.
Ainsi on partira plutôt d"une définition à partir des bijections. Pour ceci on définit d"abord les couples
voisinages-bijection afin de pouvoir " recouvrir » l"ensemble de départ (la future variété) tout entier par
ces voisinages. 4 Définition 1.SoitMun ensemble. Une carte deMest un couple(U;)tel queU Met tel que :U !(U)2Rnsoit une bijection, avec(U)un ouvert deRn.Les cartes sont fondamentales car c"est en ne passant plus que par celles-ci que l"on peut s"affranchir
de l"idée de la surface comme plongée dans un espace ambiant. Le but de ce rapprochement entre un
espace courbe etRnest l"étude de ces espaces courbes. En effet, on sait facilement manipuler des fonctions
entre espaces euclidiens (étude de continuité ou de dérivabilité par exemple). Ainsi, comme souvent en
mathématiques, on se ramène à quelque chose que l"on connaît pour définir des notions à propos d"objets
nouveaux. On définit ainsi les applications de changement de carte. Définition 2.Soit un ensemble de cartesA= ((Ui;i))id"un ensembleMtel queS iU i=M. Une application de changement de cartes de M est une application de la forme : i1j:j(Ui\ Uj)Rn!i(Ui\ Uj)Rn avec :f(Ui;i);(Uj;j)g AMaintenant que l"on a accès à des fonctions entre espaces euclidiens que l"on sait manipuler, on peut
définir une notion de différentiabilité de variété mais aussi de fonctions entre ces variétés. On définit donc
maintenant le " recouvrement » mentionné précédemment. Définition 3.Un atlas d"un ensemble M est un ensemble de cartes de M,((Ui;i))i, tel que : -S iU i=M -8(i;j);siUi\ Uj6=;; i(Ui\ Uj)etj(Ui\ Uj)sont des ouvertsL eschangements de c artessont C1
On ne s"intéressera par la suite qu"à la notion de variété différentielleC1, c"est pourquoi on définit un
atlas pour ce type de variétés. Il s"agit en effet de munir l"ensemble de départ (notéMjusque là) de son
atlas afin d"obtenir une variété. On parlera de variété différentielleCksi les changements de cartes sont
C k.Définition 4.Une variété différentielle (C1) est un ensembleMmuni d"un atlas comme défini précédem-
ment.En réalité une variété différentielle sera même un objet plus général (mais on ne le considérera pas
sous cet aspect ici). On, parle d"atlas compatibles, si, l"union des atlas demeure un atlas. Les propriétés
sont alors toutes conservées, et on peut définir la variété comme la classe d"équivalence de l"ensemble muni
d"atlas compatibles.Définition 5.SoientMetNdes variétés différentielles et leurs atlas respectifs :A= ((Ui;i))iet
B= ((Vi; i))i. Soitx2M.
On dira quef:M7!NestCkdans un voisinage dexssi :8(i;j)tels quex2 Uietf(x)2 Vj;9r >0tel queB=B(i(x);r)i(Ui); f(1i(B)) Vjet jf1iestCk(B; j(Vj)).
On dira quefestCk(M;N)si pour toutx2M,festCkdans un voisinage dex.La notion de variété différentielleCkrenvoie, comme pour les fonctions, à l"idée d"une quantification
de la régularité de la variété (" plus k est grand, plus la variété est lisse »).
On remarque d"ailleurs que dans le cas particulier de variétés différentiellesCk, on peut remplacer dans
la définition d"une fonction de variétésCkdans un voisinage dex2M: "8(i;j)tels quex2 Uietf(x)2
V j;9r >0tel queB=B(i(x);r)i(Ui); f(1i(B)) Vjet jf1iestCk(B; j(Vj))» par "9(i;j)tels quex2 Uietf(x)2 Vj;9r >0tel queB=B(i(x);r)i(Ui); f(1i(B)) Vjet j f1iestCk(B; j(Vj))». 5 En effet, il suffit que ce soit vrai pour un couple(i;j)pour que ce soit vrai pour tous. Supposons qu"il existe un tel couple(i;j). Soient maintenant :(Uk;k)2 Aet(Vl; l)2 B(avec les notations des définitions) tels queUk\ Ui6=;etVl\ Vj6=;. On a clairement : lf1 kjk(Uk\Ui)= l 1j jf1ii1 kjk(Uk\Ui) Or on se place dans un cadre ou les applications de changement de cartes sontCk. De plusk(Uk)\Ui)k(Uk)est ouvert, on a donc bien un voisinage dek(x)vérifiant les conditions souhaitées, ce qui conclut
la remarque.1.2 Le tore plat
Afin de mieux saisir ce qu"est une variété, nous allons dans un second temps étudier la variété qu"est
le tore plat, en proposer plusieurs atlas et leur donner un ancrage visuel.1.2.1 Définition
Le tore plat est une variété dont l"ensemble de base est[0;1[[0;1[. On présentera ici deux atlas du
tore plat (dont on repérera les points comme ceux de l"ensemble). Le premier est le plus naturel, composé
de quatre ouverts. Le second est une manière de se représenter le tore plat comme le tore plongé dansR3
en mettant en bijection le tore plat et une couronne ouverte deR2.Une manière de voir le tore plat dansR2est de le voir comme une variété telle que les cotés marqués
de flèches (cf. figure 1) sont identifiés. On parle de tore plat car si on "collait" les cotés opposés deux à
deux, on obtiendrait un tore de dimension 2 plongé dansR3(à homéomorphisme près). On notera par la suite le tore platT.Figure1 - Tore PlatT1.2.2 Atlas en 4 ouverts
On considère les 4 ensembles suivants sur le tore plat (ce sont ces ensembles qui seront ensuite mis en
bijection avec des ouverts deR2, on les appellera donc ouverts deT) : U0= [0;12
[[]12 ;1[]0;1[ U1=]0;1[[0;12
[[]12 ;1[ U2= [0;12
[[]12 ;1[[0;12 [[]12 ;1[ U3=]0;1[]0;1[
On indiquera dans la figure suivante certains points particuliers des ensembles, afin de mieux en rendre
compte. Les points n"appartenant pas à l"ensemble seront indiqués en noir (ou pointillés), tandis que ceux
appartenant à l"ensemble seront indiqués en rouge. 6 U 0 U 1 U 2 U3Figure2 - Ouverts
On leur associe respectivement les bijections :
0:U0!]12
;12 []0;1[R2 (x;y)7!( (x;y)six2[0;12 (x1;y)six2]12 ;1[1:U1!]0;1[]12
;12 [R2 (x;y)7!( (x;y)siy2[0;12 (x1;y)siy2]12 ;1[2:U2!]12
;12 []0;1[R2 (x;y)7!8 >>>:(x;y)si(x;y)2[0;12 [[0;12 (x1;y)six2]12 ;1[[0;12 (x;y1)si(x;y)2[0;12 []12 ;1[ (x1;y1)si(x;y)2]12 ;1[]12 ;1[3:U3!]0;1[]0;1[R2
(x;y)7!(x;y)Le choix de ces ensembles et de ces bijections n"est pas arbitraire. Les ensembles que l"on a défini
sont bien en bijection avec des ouverts deR2, par la topologie induite (qu"on a brièvement mentionnée
précédemment), on peut parler d"ouverts deT.On ne compte jamais deux fois des points deTdans un ouvert donné, et c"est pour éviter cela et permettre
l"existence des bijections que l"on doit faire 4 ouverts. Ainsi : -U3permet d"inclure]0;1[]0;1[. -U0permet d"incluref0g]0;1[. -U1permet d"inclure]0;1[f0g. -U2permet d"incluref0g f0g.On a donc bien :U0[ U1[ U2[ U3=T.
Le choix des bijections peut sembler naturel en ceci qu"il s"agit simplement de "déplacer" des portions
du tore plat, comme indiqué ci-dessous avec les exemples deU0etU3. Il faut tout de même avoir conscience
que ce n"est qu"une illustration de l"action de0qui va d"un sous ensemble deT(que l"on représente par
un sous ensemble deR2) versR2. 7 02Figure3 - Illustration de l"action de0surU0et de2surU2
L"ensemblef(Ui;i);i2J0;3Kgforme donc bien un atlas deT. On peut ensuite aisément calculer10;11;12et13, ainsi que les changements de cartes.
Donnons donc l"exemple du changement de carte :013. On sait que3(U0\U3) =]0;12 [[]12 ;1[]0;1[ et que1(U0\ U3) =]12 ;0[[]0;12 []0;1[.Ainsi :
013:3(U0\ U3)!1(U0\ U3)
(x;y)7!(quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] équation des géodésiques
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