Sujet détude : distance de Levenshtein
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Sujet d"étude : distance de Levenshtein
La distance de Levenshtein mesure le degré de similarité entre deux chaînes de caractères. Elle est
égale au nombre minimal de caractères qu"il faut supprimer, insérer ou remplacer pour passer d"une
chaîne à l"autre. C"est une distance au sens mathématique du terme, donc en particulier c"est un
nombre positif ou nul, et deux chaînes sont identiques si et seulement si leur distance est nulle. On a
aussi des propriétés de symétrie, et l"inégalité triangulairede la géométrie est ici aussi vérifiée.
Par exemple, pour passer de la chaîne NICHE à la chaîne CHIENS, il faut : supprimer les lettres N et I, insérer les lettres I, N et S. donc la distance de Levenshtein entre ces deux chaînes est au plus 5. On peut montrer1qu"elle est
en faitexactement5. Notons au passage que cette distance ne s"intéresse pas aux déplacements de
caractères.Une des applications de cette distance est la correction orthographique : lorsqu"une personne tape un
mot, on le compare à un dictionnaire. Si le mot est présent, on ne fait rien, sinon, on cherche parmi
les mots du dictionnaire ceux dont la distance de Levenshtein au mot tapé est inférieure à une limite
donnée. Les mots les plus proches sont suggérés comme remplacement en premier. La mesure de la distance de Levenshtein entre deux chaînesChaine1etChaine2, de longueurs re-spectivesn1etn2, consiste en la mise en oeuvre l"algorithme suivant :fonctionDistanceDeLevenshtein (Chaine1,Chaine2 : chaîne ) : entier ;
N e st u n e ntier r eprésentant l a l ongueur d e l a p lus g rande c haîne m anipulable variables: n1,n2 : entiers t ailles d es d eux c haînes L e t ableau p ermettant d e c alculer l a d istance e ntre l es d eux c haînes O n e n r emplira q ue l es n 1 +1 p remières l ignes e t l es n 2 +1 p remières c olonnes d : tableau [0..N,0..N] d" entiers ; i , j ,c : entiers c e st l e c oût d une s ubstitution n1Pour illustrer le fonctionnement de cet algorithme, observons son déroulement avecChaine1="SAMEDI"
etChaine2="VENDREDI". On commence par initialiser le tableau :VENDREDI012345678
S1 A2 M3 E4 D5 I6Ensuite on le remplit ligne par ligne, de la gauche vers la droite. Voici deux étapes intermédiaires :
VENDREDI
012345678
S112345678
A22234
M3 E4 D5I6VENDREDI
012345678
S112345678
A222345678
M333345678
E443 D5 I6Dans le tableau de gauche, la case au dessus de celle calculée contient 4, la cas à gauche 3, le
minimum est donc 3, auquel on ajoute 1. La case en diagonale contient 3, auquel il faut ajouter 1 parce que la lettre A de SAMEDI n"est pas la lettre D de VENDREDI. Le minimum des deux valeurs est4, c"est donc ce qu"on inscrit dans cette case.
Dans le tableau de droite, le principe est le même, mais la lettre E étant commune aux deux mots, on
n"ajoute rien à la case en diagonale, le minimum est donc 3. À la fin du remplissage, on obtient le tableau suivant :VENDREDI012345678
S112345678
A222345678
M333345678
E443445567
D554445656
I665555665
Le chemin en gras indique les opérations à exécuter pour passer du premier mot au second : un déplacement horizontal indique une insertion, un déplacement vertical indique une suppression, un déplacement en diagonal indique une substitution. Ainsi, la séquence permettant de passer deSAMEDIàVENDREDIest : SAMEDI -> VSAMEDI -> VESAMEDI -> VENAMEDI -> VENDMEDI -> VENDREDIsoit deux insertions et trois substitutions. D"autres solutions sont possibles : il suffit d"aller de case
en case en partant de la case inférieure droite, et en allant vers une case réalisant le minimum calculé
dans cette case. Dans l"exemple qui nous occupe, peu importe à quel moment on fait les insertions et
les substitutions. On aurait ainsi pu faire : SAMEDI -> VAMEDI -> VEMEDI -> VENEDI -> VENDEDI -> VENDREDILe but de ce sujet d"étude est d"étudier cet algorithme sur quelques exemples, et de réaliser quelques
programmes le mettant en oeuvre et illustrant son fonctionnement. 2ÉTUDE DE QUELQUES EXEMPLES
Pour bien comprendre comment fonctionne cet algorithme, étudions des exemples dans lesquels une seule opération est à réaliser. 1) Construir ela matrice issue du calcul de la distance entr ePAPAetPARA(exemple d"une unique substitution). 2) Construir ela matrice issue du calcul de la distance entr eFORTetFORET(exemple d"une unique insertion). 3) Construir ela matrice issue du calcul de la distance entr eLEONetLEO(exemple d"une unique suppression). 4) Construir ela matrice issue du calcul de la distance entr eNICHESetCHINE.Déduire de cette matrice tous les moyens de passer d"un mot à l"autre en effectuant à chaque
étape une seule opération.
MISE EN OEUVRE DE L"ALGORITHME
1) Écrir eune fonction P ASCALprenant en argument deux chaînes, et calculant la distance de Lev- enshtein entre elles. Insérer cette fonction dans un programme permettant de la tester sur quelques chaînes saisies par l"utilisateur. 2)Amélior erla fonction précédente de manièr eà lui fair eaf ficherla matrice calculée, ainsi qu"une
suite de transformations possibles permettant de passer d"une chaîne à l"autre. 3)Amélior erencor ela fonction précédente de manièr eà lui fair eaf fichertoutesles suites de trans-
formations possibles.UN EXEMPLE DE CORRECTION ORTHOGRAPHIQUE
On va étudier sur un exemple le mécanisme de suggestion de mots de substitutions lors d"une correc-
tion orthographique. 1) Écrir eune fonction pr enanten ar gumentune chaîne c, un entierket un tableautdeNchaînes, et renvoyant un tableaurde chaînes, ne contenant aucune chaîne si la chaînecest une deschaînes det, et contenant sinontoutes les chaînesdetdont la distance àCest inférieure àk.
2)T estervotr efonction à l"aide d"un pr ogrammedemandant à l"utilisateur de r emplirun dictionnair e
(le tableaut), puis lui demandant une chaîne (la chaînec) et une borne (l"entierk), et renvoyant
toutes les suggestions issues du dictionnaire si le mot tapé n"est pas dans le dictionnaire.On pourra ajouter une option permettant à l"utilisateur d"ajouter le mot tapé au dictionnaire !
RECHERCHES COMPLÉMENTAIRES
Se documenter sur les sujets connexes aux notions étudiées dans ce sujet d"étude : distance entre
deux mots, correction orthographique...Sources :
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