[PDF] Baccalauréat ES spécialité Index des exercices avec des graphes

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?Baccalauréat ES spécialité? Index des exercices avec des graphes de 2006 à 2016

Tapuscrit : GUILLAUMESEGUIN

NoLieu et datechainenombrematricechaînegraphegraphesuiteétatautre

1Antilles juin 2016××××

2Asie 2016×××

3Pondichery 2016××système + algo à compléter

4Liban 2016××inéquation

5Polynésie juin 2016××××V/F + matrice

6Métropole juin 2016×××

7Centres étrangers 2016×××

8Amerique du nord 2016××2 algos + inéq

9Polynésie sept 2015×××

10Métropole sept 2015×××écrire algo

11Nouvelle Calédonie nov 2015××algo + limite

12Antilles sept 2015×algo (non commun)

13Amérique du Sud nov 2015×××algo

14Antilles 2015××

15Asie 2015×××

16Métropole 2015×××

17Polynésie 2015××résol. système

18Centres étrangers 2015×××

19Amérique du nord 2015×résol système

20Liban 2015×××algo

21Pondichery 2015××

22Nouvelle Calédonie mars 2015××××

23Nouvelle Calédonie nov 2014××résolution système

24Amérique du sud nov 2014×××algo

25Polynésie sept 2014×××

26Métropole sept 2014××3 sommets

27Antilles sept 2014×××

28Pondichery 2014××résol. système + algo

29Polynésie juin 2014××××

30Métropole 2014××algo

31Centres Etrangers 2014×××

32Asie juin 2014×××

33Antilles juin 2014××algo

34Liban mai 2014×××

35Amérique du Nord 2014

36Nouvelle Calédonie mars 2014××

37Nouvelle Calédonie nov 2013××résolution equat

38Amérique du sud nov 2013××××algorithme

39Métropole sept 2013××××

40Antilles sept 2013×××

41Pondichery avril 2013×××

42Polynésie juin 2013××résolution système

43Métropole juin 2013××

44Métropole dévoilé juin 2013×××algorithme

45Liban mai 2013×××

46Centres étrangers juin 2013×××

47Asie juin 2013×××

48Antilles juin 2013×××

49Amérique du Sud mai 2013×××limite

50Polynésie sept 2012××

51Nouvelle Caledonie nov 2012××

52Amerique du Sud nov 2012××

53Antilles sept 2012×××limite

54Polynésie juin 2012×××

55Métropole juin 2012××

56Liban mai 2012×××résolut équ puiss

57Etranger juin 2012×××

Baccalauréat ES spécialitéles graphes

NoLieu et datechaînenombrematricechaînegraphegraphesuiteétatautre

58Asie juin 2012×××

59Antilles juin 2012×××

60Amerique du Nord mai 2012×××

61Pondichery avril 2012××××

62Nouvelle Calédonie nov 2011×graphe à faire

63Amerique du Sud nov 2011×××limite

64Polynesie sept 2011×××

65Liban mai 2011×××limite

66Métropole juin 2011××matrice 3*3

67Asie juin 2011×××

68Polynésie juin 2011×××

69Amerique du Nord juin 2011×××××

70Pondichery avril 2011×××

71Amérique du Nord juin 2010××limite

72Antilles juin 2010×××limite

73La Réunion juin 2010××surface

74Polynésie juin 2010×××limite

75Liban mai 2010××résolut équ puiss

76Pondichéry avril 2010××

77Nouvelle Calédonie nov 2009×××limite

78Antilles sept 2009×××limite

79Polynésie sept 2009×××limite

80Amérique du Nord juin 2009×××

81Asie juin 2009××

82Centres Etrangers juin 2009×××limite

83Antilles juin 2009×××

84Métropole juin 2009×××

85Pondichéry avril 2009××

86Amérique du Sud nov 2008×××

87Nouvelle Calédonie 2008××××

88Métropole sept 2008××loi binomiale

89Antilles juin 2008××limite

90Métropole juin 2008×××

91La Réunion juin 2008×××limite

92Polynésie juin 2008×××

93Amérique du Nord mai 2008×matrice 3*3

94Nouvelle Calédonie nov 2007×××

95La Réunion sept 2007×××

96Asie juin 2007××

97Centres Etrangers juin 2007×××

98Amérique du Nord mai 2007××

99Liban mai 2007×××

100Nouvelle Calédonie mars 2007×××limite

101Amérique du Sud nov 2006×××

102Antilles sept 2006×××limite

103Nouvelle Calédonie nov 2006××

104Polynésie sept 2006×××limite

105Liban mai 2006××××

106Amérique du Nord juin 2004×××

107La Réunion juin 2004×××

108Métropole 2004××

109Asie 2003××××

110La Réunion 2003××××

111Centre Etrangers 2003××××

112sujet bac 1×

113Antilles juin 2003×××

114Métropole juin2003××

bac-graphes-ES-spe2Guillaume Seguin

Baccalauréat ES spécialitéles graphes

1. Antillesjuin 2016

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Des touristes sont logés dans un hôtel H.

Un guide souhaite faire visiter la région à ces touristes en empruntant les routes signalées comme d"intérêt touris- tique par l"office du tourisme. Les tronçons de route qu"il souhaite emprunter sont re- présentés sur le graphe ci-contre. Le long de chaque arête figure la distance en kilomètres des différents tronçons.? ?B GH C D E F 129
21
3 913
20 8 7 511

1. (a) Le guide peut-il emprunter tous les tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d"eux, en

partant de l"hôtel et en y revenant? Justifier la réponse.

(b) Le guide peut-il emprunter tous les tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d"eux, en

partant de l"hôtel mais sans forcément y revenir? Justifier la réponse.

2. Un musée est situé en E. Déterminer le plus court chemin menant de l"hôtel H au musée E. Justifier la réponse.

Partie B

L"office de tourisme évalue chaque année les hôtels de sa région et répertorie les meilleurs sur son site internet. On admet

que dans cette région, la création ou la disparition d"hôtels est négligeable. On constate que, chaque année :

•10% des hôtels répertoriés ne seront plus répertoriés l"année suivante;

•20% des hôtels non répertoriés sur le site seront répertoriés l"année suivante.

1. Réaliser un graphe décrivant cette situation (on noteraRl"évènement " l"hôtel est répertorié » et

Rson évènement

contraire).

2. Écrire la matrice de transition de ce graphe.

3. En 2015, 30% des hôtels de la région étaient répertoriés.

Quel pourcentage d"hôtels sera répertorié en 2016? en 2017?

4. Quel pourcentage d"hôtel serait répertorié à long terme?

retour au tableau bac-graphes-ES-spe3Guillaume Seguin

Baccalauréat ES spécialitéles graphes

2. Asie2016

PARTIEA

On considère le grapheGci-dessous

ACFIK BEH DGJ

1. En justifiant la réponse, dire si ce graphe admet une chaîneeulérienne.

Si oui, donner une telle chaîne.

2. On considère la matriceMci-après (a,b,cetdsont des nombres réels).

M=((((((((((((((((((((0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 0 0 0 0 01 0 0a1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 1b0 0 0 0

0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0

0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1

0 0 0 0c1 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1

0 0 0 0d0 0 1 1 1 0))))))))))))))))))))

(a) Déterminer les réelsa,b,cetdpour que la matriceMreprésente la matrice d"adjacence associée au grapheG,

les sommets étant pris dans l"ordre alphabétique. (b) On donne M

3=((((((((((((((((((((0 8 10 8 0 0 0 5 5 5 08 0 0 0 10 13 6 0 0 0 5

10 0 0 0 11 16 9 0 0 0 6

8 0 0 0 7 12 8 0 0 0 4

0 10 11 7 0 0 0 10 10 7 0

0 13 16 12 0 0 0 13 13 12 0

0 6 9 8 0 0 0 5 5 7 0

5 0 0 0 10 13 5 0 0 0 8

5 0 0 0 10 13 5 0 0 0 8

5 0 0 0 7 12 7 0 0 0 7

0 5 6 4 0 0 0 8 8 7 0))))))))))))))))))))

Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3reliantAàJ. Préciser ces chemins.

PARTIEB

On oriente et on pondère le grapheGci-dessus pour qu"il représente un réseau d"irrigation. bac-graphes-ES-spe4Guillaume Seguin

Baccalauréat ES spécialitéles graphes

ACFIK BEH DGJ 2 5 3 3 2 5 3 4 5 6 2 4 5 2 1 2 3 3 5

• Le sommetAcorrespond au départ d"eau, le sommetKau bassin d"infiltration et les autres sommets représententles

stations de régulation.

• Les arêtes représentent les canaux d"irrigation et les flèches, le sens du ruissellement.

• La pondération donne, en km, les distances entre les différentes stations du réseau.

Déterminer unchemin delongueur minimale entreledépartd"eauenAetlebassind"infiltration enKetdonner salongueur.

retour au tableau bac-graphes-ES-spe5Guillaume Seguin

Baccalauréat ES spécialitéles graphes

3. Pondichery 2016

Une étude statistique sur une population d"acheteurs a montré que :

•90% des personnes qui ont fait leur dernier achat en utilisant internet affirment vouloir continuer à utiliser internet

pour faire le suivant. Les autres personnes comptent faire leur prochain achat en magasin;

•60% des personnes qui ont fait leur dernier achat en magasin affirment vouloir continuer à effectuer le suivant en

magasin. Les autres comptent effectuer leur prochain achaten utilisant internet.

Danstoute lasuite del"exercice,ndésigne unentier naturelnonnul.Une personne estchoisie auhasardparmilesacheteurs.

On note :

•anla probabilité que cette personne fasse sonn-ième achat sur internet; •bnla probabilité que cette personne fasse sonn-ième achat en magasin.

On suppose de plus quea1=1 etb1=0.

On notePn=?anbn?l"état probabiliste correspondant aun-ième achat. AinsiP1=?1 0?.

On note :

•Al"état : "La personne effectue son achat sur internet»; •Bl"état : "La personne effectue son achat en magasin».

1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommetsAetB.

2. Écrire la matrice de transitionMassociée à ce graphe en prenant les sommets dans l"ordre alphabétique.

3. (a) Calculer la matriceM4.

(b) En déduire que la probabilité que la personne interrogéefasse son 5eachat sur internet est égale à 0,8125.

4. On noteP=(a b) l"état stable associé à ce graphe.

(a) Montrer que les nombresaetbsont solutions du système : ?0,1a-0,4b=0 a+b=1 (b) Résoudre le système précédent. (c) À long terme, quelle est la probabilité que cette personne fasse ses achats sur internet?

5. (a) Montrer que pour tout entier naturelnnon nul, on a :

a n+1=0,5an+0,4

(b) Recopier et compléter l"algorithme suivant afin qu"il affiche le plus petit entier naturelnnon nul tel quean?

0,801.

Variables:Nest un entier naturel

Aest un nombre réel

Initialisation:Affecter àNla valeur 1

Affecter à A la valeur 1

Traitement:Tant que ...

Affecter àAla valeur 0,5×A+0,4

Affecter àNla valeur ....

Fin Tant que

Sortie :AfficherN

(c) Quelle est la valeur affichée par l"algorithme en sortie? retour au tableau bac-graphes-ES-spe6Guillaume Seguin

Baccalauréat ES spécialitéles graphes

4. Liban mai 2016

L"entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d"entretien aux propriétaires de

piscines privées.

C"est la seule entreprise dans les environs. Aussi, les propriétaires de piscines n"ont que deux choix possibles : soit ils s"oc-

cupent eux-mêmes de l"entretien de leur piscine, soit ils souscrivent un contrat avec l"entreprise PiscinePlus.

On admet que le nombre de propriétaires de piscines est constant. Le patron de cette entreprise remarque que chaque année :

•12% des particuliers qui entretenaient eux-mêmes leur piscine décident de souscrire un contrat avec l"entreprise Pis-

cinePlus;

•20% de particuliers sous contrat avec l"entreprise PiscinePlus décident de le résilier pour entretenir eux-mêmes leur

piscine. Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommetsCetLoù : •Cest l"évènement "Le particulier est sous contrat avec l"entreprise PiscinePlus»; •Lest l"évènement "Le particulier effectue lui-même l"entretien de sa piscine».

Chaque année, on choisit au hasard un particulier possédantune piscine et on note pour tout entier natureln:

•cnla probabilité que ce particulier soit sous contrat avec l"entreprise PiscinePlus l"année 2015+n;

•lnla probabilité que ce particulier entretienne lui-même sa piscine l"année 2015+n. On notePn=?cnln?la matrice ligne de l"état probabiliste pour l"année 2015+n.

Dans cet exercice, on se propose de savoir si l"entreprise PiscinePlus atteindra l"objectif d"avoir au moins 35% des proprié-

taires de piscines comme clients sous contrat d"entretien.

Partie A

1. Dessiner le graphe probabiliste représentant cette situation et donner la matrice de transition associée au graphe dont

les sommets sont pris dans l"ordreCetL.

2. (a) Montrer que l"état stable de ce graphe estP=?0,375 0,625?.

(b) Déterminer, en justifiant, si l"entreprise PiscinePluspeut espérer atteindre son objectif.

Partie B

En 2015, on sait que 15% des propriétaires de piscines étaient sous contrat avec l"entreprise PiscinePlus. On a ainsiP0=?0,15 0,85?.

1. Montrer que, pour tout entier natureln, on acn+1=0,68cn+0,12.

2. À l"aide d"un algorithme, on cherche à connaître au bout decombien d"années l"entreprise PiscinePlus atteindra son

objectif :

L1Variables :nest un nombre entier naturel

L2Cest un nombre réel

L3Traitement :Affecter ànla valeur 0

L4Affecter àCla valeur 0,15

L5Tant queC<0,35 faire

L6nprend la valeurn+1

L7Cprend la valeur 0,68C+0,12

L8Fin Tant que

L9Sortie :Affichern

(a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la

réalisation de l"algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats au millième.

Valeur den0

Valeur deC0,15

bac-graphes-ES-spe7Guillaume Seguin

Baccalauréat ES spécialitéles graphes

(b) Donner la valeur affichée à la finde l"exécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contexte de

l"exercice.

3. On rappelle que, pour tout entier natureln, on acn+1=0,68cn+0,12 et quec0=0,15.

On pose, pour tout entier natureln,vn=cn-0,375.

(a) Montrer que la suite (vn)est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme. On admet que, pour tout entier natureln, on acn=-0,225×0,68n+0,375. (b) Résoudre dans l"ensemble des entiers naturels l"inéquationcn?0,35. (c) Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on? retour au tableau bac-graphes-ES-spe8Guillaume Seguin

Baccalauréat ES spécialitéles graphes

5. Polynésie juin 2016

Pour chacunedes cinq affirmations suivantes,indiquer sielle estvraieou fausseenjustifiant laréponse.Ilestattribué un point

par réponse exacte correctementjustifiée. Une réponse non justifiée n"est pas prise en compte. Une absence de réponse n"est pas

pénalisée.

Les questions1, 2 et 3sont indépendantes

1. On donne le graphe probabiliste suivant :

A B 0,6 0,3

0,40,7

AffirmationA :L"état stable associé à ce graphe est?2 313?

2. On donne le graphe pondéréGsuivant :

AB C D EF 23
1 1 412
4 2

AffirmationB :Il existe une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes de ce graphe.

AffirmationC :La plus courte chaîne entre les sommetsAetDest une chaîne de poids 5.

3. On considère la matrice

M=((((0 1 0 11 0 1 10 1 0 01 1 0 0))))

On suppose queMest la matrice d"adjacence d"un graphe à quatre sommetsA,B,C,Ddans cet ordre. AffirmationD :Il existe exactement 3 chaînes de longueur 4 reliant le sommetBau sommetD.

4. On considère les matricesA=?a0

0a? etB=?-1 0 0a? AffirmationE :Il existe un nombre réelapour lequelBest l"inverse deA. retour au tableau bac-graphes-ES-spe9Guillaume Seguin

Baccalauréat ES spécialitéles graphes

6. Métropole juin 2016

Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing à compter du 1erjanvier

2014. On admet que :

•Si Hugo court un jour donné, la probabilité qu"il ne coure pasle lendemain est de 0,2; •s"il ne court pas un jour donné, la probabilité qu"il ne courepas le lendemain est de 0,4.

On noteCl"état "Hugo court» etRl"état "Hugo ne court pas». Pour tout entier natureln, on note :

•cnla probabilité de l"évènement "Hugo court le (n+1)-ième jour»; •rnla probabilité de l"évènement "Hugo ne court pas le (n+1)-ième jour»; •Pnla matrice?cnrn?correspondant à l"état probabiliste le (n+1)-ième jour. Le 1 erjanvier 2014, motivé, le jeune homme court. On a donc :P0=?c0r0?=?1 0?.

1. Traduire les données de l"énoncé par un graphe probabiliste de sommetsCetR.

2. Écrire la matrice de transitionMde ce graphe en respectant l"ordre alphabétique des sommets.

3. On donneM6=?0,750016 0,2499840,749952 0,250048?

Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilitéc6qu"Hugo coure le 7ejour?

Déterminer une valeur approchée à 10

-2près dec6.

4. (a) ExprimerPn+1en fonction dePn.

(b) Montrer que, pour tout entier natureln,cn+1=0,2cn+0,6.

5. Pour tout entier natureln, on considère la suite(vn)définie parvn=cn-0,75.

(a) Montrer que la suite (vn)est une suite géométrique de raison 0,2. Préciser le premierterme. (b) Exprimervnen fonction den.

Déterminer la limite de la suite

(vn). (c) Justifier que, pour tout entier natureln,cn=0,75+0,25×0,2n. (d) Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu"Hugo coure le 29 décembre 2014? (e) Conjecturer alors l"état stable de ce graphe.

Comment valider votre conjecture?

retour au tableau bac-graphes-ES-spe10Guillaume Seguin

Baccalauréat ES spécialitéles graphes

7. Centres etrangers 2016

Une compagnie aérienne utilise huit aéroports que l"on nomme A, B, C, D, E, F, G et H. Entrecertainsdecesaéroports,lacompagnie proposedesvols dans les deux sens. Cette situation est représentée par le grapheΓci-contre, dans lequel :

•les sommets représentent les aéroports,

•les arêtes représentent les liaisons assurées dans lesdeux sens par la compagnie. A B C D E F G H

Partie A

1. (a) Déterminer, en justifiant, si le grapheΓest complet.

(b) Déterminer, en justifiant, si le grapheΓest connexe.

2. Déterminer, en justifiant, si le grapheΓadmet une chaîne eulérienne. Si oui, donner une telle chaîne.

3. Donner la matrice d"adjacenceMdu grapheΓen respectant l"ordre alphabétique des sommets du graphe.

4. Pour la suite de l"exercice, on donne les matrices suivantes :

M

2=(((((((((((((3 1 2 2 1 1 0 11 4 1 2 2 0 2 02 1 3 1 1 2 0 12 2 1 4 1 1 1 11 2 1 1 3 0 1 01 0 2 1 0 2 0 10 2 0 1 1 0 3 01 0 1 1 0 1 0 2)))))))))))))

etM3=(((((((((((((4 8 3 7 6 1 4 18 4 8 8 3 6 1 43 8 2 7 4 1 6 17 8 7 6 7 3 3 26 3 4 7 2 3 1 41 6 1 3 3 0 5 04 1 6 3 1 5 0 41 4 1 2 4 0 4 0)))))))))))))

Un voyageur souhaite aller de l"aéroport B à l"aéroport H.

(a) Déterminer le nombre minimal de vols qu"il doit prendre,Justifier les réponses à l"aide des matrices données

ci-dessus. (b) Donner tous les trajets possibles empruntant trois volssuccessifs.

Partie B

Les arêtes sont maintenant pondérées par le coût de chaque vol, exprimé en euros. Un voyageur partant del"aéroport A doit se rendreà l"aéroport G. En utilisant l"algorithme de Dijkstra, déterminer le trajet le moins cher. A B C D E F G H 40
100
45
110
50
120
60
50
40
55
80
90
retour au tableau bac-graphes-ES-spe11Guillaume Seguin

Baccalauréat ES spécialitéles graphes

8. Amerique du Nord 2016

Un groupe de presse édite un magazine qu"il propose en abonnement.

Jusqu"en 2010, ce magazineétait proposé uniquement sous forme papier. Depuis 2011, les abonnésdu magazineont le choix

entre la version numérique et la version papier.

Une étude a montré que, chaque année, certains abonnés changent d"avis : 10% des abonnés à la version papier passent à la

version numérique et 6% des abonnés à la version numérique passent à la version papier.

On admet que le nombre global d"abonnés reste constant dans le temps.

Pour tout nombre entier natureln, on note :

a nla probabilité qu"un abonné pris au hasard ait choisi la version papier l"année 2010+n; b nla probabilité qu"un abonné pris au hasard ait choisi la version numérique l"année

2010+n;

P n=?anbn?la matrice correspondant à l"état probabiliste de l"année 2010+n.

On a donca0=1,b0=0 etP0=?1 0?.

1. (a) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B où le sommet A représente l"état "abonné

à la version papier» et B l"état "abonné à la version numérique». (b) Déterminer la matrice de transitionMde ce graphe en respectant l"ordre A, B des sommets. (c) Montrer queP1=?0,9 0,1?.

2. On admet que, pour tout entier natureln, on aan+1=0,9an+0,06bnet

b n+1=0,1an+0,94bn.

Le directeur du groupe de presse souhaite visualiser l"évolution des deux types d"abonnements. Pour cela, on lui pro-

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