Compléments sur les polynômes Formule de Taylor
Racines d'un polynôme. 2 Formule de Taylor pour un polynôme. Dérivées successives. Énoncé. Exemple. 3 Racines multiples et caractérisation. 4 Factorisation.
Chapitre 4 Formules de Taylor
un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en Exemples. a) La formule de Taylor-Young pour la fonction sin(x) `a ...
Corrigé (des exercices 1-8) du TD no 9 — Formules de Taylor
(a) Formule de Taylor-Young : supposons que f soit de classe Cn sur La partie principale de la série de Taylor de f en x0 à l'ordre n est le polynôme.
Chapitre 12 : Polynômes
7 févr. 2014 Les polynômes constituent en effet un excellent exemple d'objet ... comprendre ce que signifie la formule de Taylor d'un point de vue ...
Compléments sur les polynômes Formule de Taylor
Autrement dit A est divisible par B ssi il existe Q ? K[X] tel que A = BQ. 1. 1. Division euclidienne b) Algorithme. Algorithme de division (sur un exemple).
Deux preuves de la formule de Taylor
Première preuve. Preuve de 1) . On fait une récurrence sur k. Soit Hk la propriété : pour tout polynôme P. P(k)(0) = k!ak
Développements limités
Prenons l'exemple de la fonction exponentielle. Nous commencerons par la formule de Taylor avec reste intégral qui donne une expression exacte du reste.
Formule de Taylor développements limités
http://www.gm.univ-montp2.fr/spip/IMG/pdf/mathsTD4.pdf
Formules de Taylor. Applications. 1 Formule de Taylor avec reste
Exercice. Montrer qu'une fonction de classe C? sur IR est une fonction polynôme si et seule- ment si
Formules de Taylor
La formule de Taylor du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712
[PDF] Chapitre 4 Formules de Taylor
Exemples a) Considérons `a nouveau la fonction sin(x) La formule de Taylor-Lagrange `a l'ordre 3 au voisinage de 0 s'écrit sin(x) = x ?
[PDF] Compléments sur les polynômes Formule de Taylor
2 Formule de Taylor pour un polynôme Dérivées successives Énoncé Exemple 3 Racines multiples et caractérisation 4 Factorisation Factorisation sur C
[PDF] Taylor général
Le polynôme de Taylor `a l'ordre 3 de x ?? x4 en 1 est x ?? 1 + 4(x ? 1) + 6(x ? 1)2 + 4(x ? 1)3 Page 7 Exercice Exo 1 Calculer le polynôme de Taylor
[PDF] Formules de Taylor Applications
1 Formule de Taylor avec reste intégral 1 1 Théorème Théorème 1 1 Soit f: [a b] ? IR une fonction de classe Cn+¹ On a: n f(b) = f(a) + ? f(k) (a)
[PDF] Formules de Taylor Applications
Exercice Montrer qu'une fonction de classe C? sur IR est une fonction polynôme si et seule- ment si ses dérivées successives sont nulles `a partir d'un
[PDF] Chapitre 11 Formules de Taylor et développements limités - Unisciel
Exemple 1 : Montrons que : ?x ? R+ ex ? 1 + x + x2 2 On écrit la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 2 entre 0 et x pour la fonction
[PDF] Chapitre 4 LA FORMULE DE TAYLOR ET SES APPLICATIONS
LA FORMULE DE TAYLOR ET SES APPLICATIONS Nous avons vu dans le premier chapitre qu'un probl`eme important en analyse est le calcul de limites Par exemple
[PDF] Chapitre10 : Formules de Taylor - Melusine
Soit Tn le polynôme de degré ? n dont les dérivées successives jusqu'à la n-ième en Écrire une formule de Taylor pour f à l'ordre n en a c'est écrire :
[PDF] Deux preuves de la formule de Taylor - Ceremade
Première preuve Preuve de 1) On fait une récurrence sur k Soit Hk la propriété : pour tout polynôme P P(k)(0) = k!ak où ak est le coefficient de
[PDF] Formules de Taylor et développements limités
Exercice 4 3 (DL d'un polynôme ) Donner le développement limité `a l'ordre 7 en ?1 de la fonction f définie sur R par f(x) = x4 ?
Quel est la formule de Taylor ?
La formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712, permet l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point par un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.Comment utiliser la formule de Taylor ?
La formule de Taylor donne une réponse simple `a ces deux probl`emes. La rêgle de l'Hôpital* est un moyen simple de calculer certaines limites de la forme indéterminée 0/0 ou ?/?. On peut rendre l'argument plus rigoureux en utilisant la formule du chapitre 2 : f(a + ?x) = f(a) + f (a)?x + o(?x) .- g(n+1)(t) = fn+1(t). On peut alors appliquer le théor`eme de Taylor-Lagrange `a g, qui vérifie l'hypoth`ese restrictive sous laquelle il est déj`a connu. On obtient l'existence d'un c tel que : g(b) = g(a) + g(n+1)(c)(b ? a)n+1 (n + 1)
Chapitre 4Formules de Taylor
La formule de Taylor, du nom du math´ematicien Brook Taylor qui l"´etablit en 1715, permet l"approximation d"une fonction plusieurs fois d´erivable au voisinage d"un point parun polynˆome dont les coefficients d´ependent uniquement des d´eriv´ees de la fonction en ce
point. La premi`ere ´etape est la formule (0+) =(0) +(0) +() qui montre que, siest d´erivable, alorsest approch´ee par un polynˆome de degr´e 1 (une droite). Comment faire pour augmenter le degr´e?4.1 Les trois formules de Taylor
Notations 4.1.1.Soientun intervalle deR,0un point int´erieur `a, et:R une fonction. On fixe un entier naturel. On dit qu"une fonction est de classesursi elle estfois d´erivable sur, et si sa d´eriv´ee-i`eme est continue sur. Th´eor`eme 4.1.2(Taylor-Young).Supposons quesoit de classesur. Alors, pour toutRtel que0+appartienne `aon peut ´ecrire (0+) =(0) +(0) +22!(2)(0) ++!()(0) +()
=0 !()(0) +() o`u()est une fonction qui tend vers0quandtend vers0. 40D´efinition 4.1.3.La somme?
=0 !()(0) s"appelle le polynˆome de Taylor de`a l"ordreau point0. Par convention, 0! = 1! = 1. Remarque.Une autre fa¸con d"´ecrire un d´eveloppement de Taylor au point0consiste `a poser=0+. Le th´eor`eme de Taylor-Young s"´enonce alors de la fa¸con suivante : si est de classesur, alors pour touton peut ´ecrire =0(0) !()(0) + (0)(0) o`u(0) tend vers 0 quandtend vers0. Exemples.a) La formule de Taylor-Young pour la fonction sin() `a l"ordre 2+ 1 en 0 s"´ecrit sin() =33!+55!++ (1)2+1(2+ 1)!+2+1()
En effet, on doit calculer les d´eriv´ees successives de sin() en 0. Nous avons sin(0) = 0sin(0) = cos(0) = 1sin(0) =sin(0) = 0Plus g´en´eralement, pour toutNnous avons
sin (2)(0) = 0 et sin(2+1)(0) = (1)cos(0) = (1) d"o`u le r´esultat. b) La formule de Taylor-Young pour la fonction`a l"ordreen 0 s"´ecrit = 1 ++22+33!++!+()
En effet,est sa propre d´eriv´ee.
Par exemple, poursuffisamment petit, le polynˆome33!donne une valeur approch´ee
de sin(). On aimerait connaˆıtre la pr´ecision de cette approximation, c"est-`a-dire contrˆoler
la taille du reste3(). Nous allons d"abord exprimer le reste sous la forme de Lagrange,ce qui constitue une g´en´eralisation du th´eor`eme des accroissements finis. Th´eor`eme 4.1.4(Taylor-Lagrange).Supposons quesoit de classe+1sur. Alors, pour toutRtel que0+appartienne `a, il existe]01[tel que l"on ait (0+) =? =0 !()(0) ++1(+ 1)!(+1)(0+) (notons ici qued´epend de). 41Exemples.a) Consid´erons `a nouveau la fonction sin(). La formule de Taylor-Lagrange `a l"ordre 3 au voisinage de 0 s"´ecrit sin() =3
3!+44!cos()
avec]01[. Ainsi, on peut dire que33!constitue une valeur approch´ee de sin()
avec une erreur inf´erieure ou ´egale `a 4 4!. b) Consid´erons encore. La formule de Taylor-Lagrange `a l"ordre 4 au voisinage de 0 s"´ecrit = 1 ++22+33!+44!+55!
Comme la fonctionest croissante, on peut dire que. Ceci permet par exemple de donner une valeur approch´ee de. En effet, nous avons = 1 + 1 +12+16+124+1120
avec 3 donc, l"erreur est de l"ordre de3120=140.
c) Soitun polynˆome de degr´e au plus. Alorsest de classe+1et(+1)= 0. La formule de Taylor-Lagrange `a l"ordreau voisinage de 0 nous dit que, pour toutR =0 !()(0)En effet, le reste est nul! Ainsi, les coefficients desont donn´es par les d´eriv´ees successives
deen 0. Ce r´esultat peut aussi se d´emontrer par un calcul alg´ebrique (sans recourir `a l"analyse). D´emonstration de la formule de Taylor-Lagrange.Si= 0, c"est vrai. Fixons= 0, pour simplifier les notations, nous posons=0+. Nous cherchons donc `a montrer l"existence d"un r´eelstrictement compris entre0ettel que l"on ait =0(0) !()(0) +(0)+1(+ 1)!(+1)()On introduit la fonctiond´efinie par
=0() !()()()+1 o`uest un r´eel choisi de telle fa¸con que(0) = 0, c"est-`a-dire : =0(0) !()(0) +(0)+1 42Il est clair, vu la d´efinition de, que() = 0. Pour d´emontrer le th´eor`eme, il suffit de montrer queest de la forme(n+1)() (+1)!pour un certain. Vu les hypoth`eses, nous pouvons appliquer le th´eor`eme de Rolle pour trouver(stric- tement compris entre0et) tel que() = 0. Calculons. Par la formule de d´erivation d"un produit, nous avons =1()1 =0()!(+1)() +(+ 1)() 1? =0() !(+1)()? =0()!(+1)() +(+ 1)() d"o`u !(+1)() +(+ 1)() (+1)() !+(+ 1)?
L"´egalit´e() = 0 se traduit donc par :
=(+1)() (+ 1)! d"o`u le r´esultat. D´emonstration de la formule de Taylor-Young.On applique la formule de Taylor-Lagrange `a l"ordre1 pour la fonction. Il existe donc]01[ tel que l"on ait (0+) =1? =0 !()(0) +!()(0+)On pose alors
() =1 !?()(0+)()(0)? Le nombre, bien que d´ependant de, appartient `a ]01[. Nous avons donc lim0(0+) =0
Comme()est continue en0, on en d´eduit que
lim0() = 0
43Enfin, par d´efinition mˆeme de, nous avons
!()(0+) =!()(0) +() d"o`u le r´esultat, en injectant ceci dans la formule de d´epart. Il existe aussi une autre expression du reste, qui constitue une g´en´eralisation du th´eor`eme fondamental du calcul diff´erentiel et int´egral (voir le chapitre suivant). Th´eor`eme 4.1.5(Taylor avec reste int´egral).Supposons quesoit de classe+1sur . Alors, pour toutRtel que0+appartienne `aon a (0+) =? =0 !()(0) ++1!? 1 0 (1)(+1)(0+)dRemarque.Le reste int´egral admet une autre expression. Plus pr´ecis´ement, on a l"´egalit´e
+1 1 0 (1)(+1)(0+)d=? 0+0(0+)!(+1)()d
qui d´ecoule tout simplement d"un changement de variable0+. Remarque.Pour certaines fonctions, nous pouvons montrer que le reste tend vers z´eroquandtend vers l"infini; ces fonctions peuvent ˆetre d´evelopp´ees ens´erie de Taylordans
un voisinage du point0et sont appel´ees desfonction analytiques.4.2 Op´erations sur les polynˆomes de Taylor
Soientetdeux fonctions de classe. Comment obtenir le polynˆome de Taylor de +, de, de , et caetera, `a partir de ceux deet? Commen¸cons par d´emontrer l"unicit´e du polynˆome de Taylor d"une fonction donn´ee en un point donn´e. Lemme 4.2.1.Soitde classesur, et soit0. Supposons qu"il existe un polynˆomede degr´e au pluset une fonctionqui tend vers0en0, tels que l"on ait (0+) =() +() pour touttel que0+. Alorsest le polynˆome de Taylor de`a l"ordreau point0. 44D´emonstration.Commeest de classe, et queest un polynˆome, la fonction () est ´egalement de classe. De plus, lespremi`eres d´eriv´ees de() s"annulent en 0. On peut donc ´ecrire, pour tout 01, ()(0) =()(0) D"autre part, la formule de Taylor-Lagrange `a l"ordreen 0 pour le polynˆomenous dit que, pour toutR, =0 !()(0) (le reste ´etant nul comme on l"a vu plus haut). Ainsi =0 !()(0) ce qu"on voulait. Voici comment les op´erations alg´ebriques usuelles se traduisent au niveau des po- lynˆomes de Taylor. Th´eor`eme 4.2.2.Soientetdeux fonctions de classesur, et soit0. Soit (resp.) le polynˆome de Taylor de(resp.) `a l"ordreau point0. Alors (1)le polynˆome de Taylor de+`a l"ordreen0est+ (2)le polynˆome de Taylor de`a l"ordreen0esttronqu´e en degr´e (3)si(0)= 0, alors est de classeau voisinage de0et le polynˆome de Taylor de est le quotient deparselon les puissances croissantes `a l"ordre.
Quelques commentaires :
1)est un polynˆome de degr´e au plus 2, sontronqu´e en degr´eest le polynˆome
obtenu en supprimant tous les termes de degr´e strictement sup´erieur `a. Dans la pratique, ce ne sera mˆeme pas la peine de calculer ces termes...2) Ladivision selon les puissances croissantesdepar`a l"ordreest d´efinie comme
suit : si(0)= 0, alors il existe un unique couple () de polynˆomes tel que l"on ait () =()() ++1() avec deg() On dit queest le quotient deparselon les puissances croissantes `a l"ordre, et queest le reste. Cette division, contrairement `a la division euclidienne despolynˆomes (que l"on appelle aussi division selon les puissances d´ecroissantes), a pour effet d"augmenter le degr´e du reste, au lieu de le diminuer. Ainsi, il n"y a pas une seule divisionselon les puissances croissantes, il y en a une pour chaque ordre. Plusaugmente, plus le degr´e du quotient et du reste augmentent. 45Exemples.On ´ecrit Taylor-Young `a l"ordre 3 en 0 pour sin() sin() =3
6+31()
et pour ln(1 +) ln(1 +) =22+33+32()
d"o`u l"on d´eduit : a) Taylor-Young `a l"ordre 3 en 0 pour la diff´erence sin()ln(1 +) =2232+3()
b) Taylor-Young `a l"ordre 3 en 0 pour le produit sin()ln(1 +) = (36)(22+33) +3()
=23 2+3() D´emonstration.D"apr`es Taylor-Young, il existe des fonction1et2qui tendent vers 0 en 0 telles que, pour touttel que0+, (0+) =() +1() et (0+) =() +2() En additionnant ces deux expressions, et en appliquant le lemme, le point (1) en d´ecoule. (2) Nous avons ()(0+) = (() +1())(() +2()) =()() +(()2() +1()() +1()2()) =()() +3() o`u3() est une fonction qui tend vers 0 en 0. Il suffit alors d"´ecrire ()() =()() +4() o`u()() est le tronqu´e deen degr´e. Ainsi ()(0+) =()() +(() +3()) 46d"o`u le r´esultat (via le lemme). (3) Soit () =()() ++1() avec deg() le r´esultat de la division deparselon les puissances croissantes `a l"ordre. Nous avons alors, pour tout, ()()() =+1() d"o`u (0+)(0+)() = (() +1())(() +2())() =()()() +(1() +2()()) =+1() +() =3()
Ainsi, en divisant tout par(0+), nous obtenons
(0+) (0+)() =3()(0+) Quandtend vers 0,(0+) tend vers(0)= 0, donc la fonction3() (0+)tend vers 0.D"o`u le r´esultat.
On peut aussi composer les polynˆomes de Taylor. Th´eor`eme 4.2.3.Soient:Ret:Rdeux fonctions de classetelles que (), et soit0. Soitle polynˆome de Taylor de`a l"ordreau point0, et soitle polynˆome de Taylor de`a l"ordreau point(0). Alors le polynˆome de Taylor de`a l"ordreau point0est le polynˆome compos´etronqu´e en degr´e. D´emonstration.Mˆeme principe que pr´ec´edemment. Remarque.a) Si une fonction est paire (resp. impaire), alors son polynˆome de Taylor d"ordreen 0 ne contient que des puissances paires (resp. impaires) de. b) On peut d´eriver (ou int´egrer) les polynˆomes de Taylor.Plus pr´ecis´ement, siest de classealorsest de classe1, et le polynˆome de Taylor de`a l"ordre1 au point0s"obtient en d´erivant le polynˆome de Taylor de`a l"ordreen ce mˆeme point. Citons quelques applications des formules de Taylor : - Calcul de valeurs approch´ees de fonctions usuelles - Calcul de limites - Position du graphe d"une courbe par rapport `a sa tangente 47Exemple.Le dessin ci-dessous compare graphiquement la fonction sin() avec ses po- lynˆomes de Taylor d"ordres 3, 5 et 7 en 0. sin() 36
36+5120
36+512075040
48quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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