Compléments sur les polynômes Formule de Taylor
Racines d'un polynôme. 2 Formule de Taylor pour un polynôme. Dérivées successives. Énoncé. Exemple. 3 Racines multiples et caractérisation. 4 Factorisation.
Chapitre 4 Formules de Taylor
un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en Exemples. a) La formule de Taylor-Young pour la fonction sin(x) `a ...
Corrigé (des exercices 1-8) du TD no 9 — Formules de Taylor
(a) Formule de Taylor-Young : supposons que f soit de classe Cn sur La partie principale de la série de Taylor de f en x0 à l'ordre n est le polynôme.
Chapitre 12 : Polynômes
7 févr. 2014 Les polynômes constituent en effet un excellent exemple d'objet ... comprendre ce que signifie la formule de Taylor d'un point de vue ...
Compléments sur les polynômes Formule de Taylor
Autrement dit A est divisible par B ssi il existe Q ? K[X] tel que A = BQ. 1. 1. Division euclidienne b) Algorithme. Algorithme de division (sur un exemple).
Deux preuves de la formule de Taylor
Première preuve. Preuve de 1) . On fait une récurrence sur k. Soit Hk la propriété : pour tout polynôme P. P(k)(0) = k!ak
Développements limités
Prenons l'exemple de la fonction exponentielle. Nous commencerons par la formule de Taylor avec reste intégral qui donne une expression exacte du reste.
Formule de Taylor développements limités
http://www.gm.univ-montp2.fr/spip/IMG/pdf/mathsTD4.pdf
Formules de Taylor. Applications. 1 Formule de Taylor avec reste
Exercice. Montrer qu'une fonction de classe C? sur IR est une fonction polynôme si et seule- ment si
Formules de Taylor
La formule de Taylor du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712
[PDF] Chapitre 4 Formules de Taylor
Exemples a) Considérons `a nouveau la fonction sin(x) La formule de Taylor-Lagrange `a l'ordre 3 au voisinage de 0 s'écrit sin(x) = x ?
[PDF] Compléments sur les polynômes Formule de Taylor
2 Formule de Taylor pour un polynôme Dérivées successives Énoncé Exemple 3 Racines multiples et caractérisation 4 Factorisation Factorisation sur C
[PDF] Taylor général
Le polynôme de Taylor `a l'ordre 3 de x ?? x4 en 1 est x ?? 1 + 4(x ? 1) + 6(x ? 1)2 + 4(x ? 1)3 Page 7 Exercice Exo 1 Calculer le polynôme de Taylor
[PDF] Formules de Taylor Applications
1 Formule de Taylor avec reste intégral 1 1 Théorème Théorème 1 1 Soit f: [a b] ? IR une fonction de classe Cn+¹ On a: n f(b) = f(a) + ? f(k) (a)
[PDF] Formules de Taylor Applications
Exercice Montrer qu'une fonction de classe C? sur IR est une fonction polynôme si et seule- ment si ses dérivées successives sont nulles `a partir d'un
[PDF] Chapitre 11 Formules de Taylor et développements limités - Unisciel
Exemple 1 : Montrons que : ?x ? R+ ex ? 1 + x + x2 2 On écrit la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 2 entre 0 et x pour la fonction
[PDF] Chapitre 4 LA FORMULE DE TAYLOR ET SES APPLICATIONS
LA FORMULE DE TAYLOR ET SES APPLICATIONS Nous avons vu dans le premier chapitre qu'un probl`eme important en analyse est le calcul de limites Par exemple
[PDF] Chapitre10 : Formules de Taylor - Melusine
Soit Tn le polynôme de degré ? n dont les dérivées successives jusqu'à la n-ième en Écrire une formule de Taylor pour f à l'ordre n en a c'est écrire :
[PDF] Deux preuves de la formule de Taylor - Ceremade
Première preuve Preuve de 1) On fait une récurrence sur k Soit Hk la propriété : pour tout polynôme P P(k)(0) = k!ak où ak est le coefficient de
[PDF] Formules de Taylor et développements limités
Exercice 4 3 (DL d'un polynôme ) Donner le développement limité `a l'ordre 7 en ?1 de la fonction f définie sur R par f(x) = x4 ?
Quel est la formule de Taylor ?
La formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712, permet l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point par un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.Comment utiliser la formule de Taylor ?
La formule de Taylor donne une réponse simple `a ces deux probl`emes. La rêgle de l'Hôpital* est un moyen simple de calculer certaines limites de la forme indéterminée 0/0 ou ?/?. On peut rendre l'argument plus rigoureux en utilisant la formule du chapitre 2 : f(a + ?x) = f(a) + f (a)?x + o(?x) .- g(n+1)(t) = fn+1(t). On peut alors appliquer le théor`eme de Taylor-Lagrange `a g, qui vérifie l'hypoth`ese restrictive sous laquelle il est déj`a connu. On obtient l'existence d'un c tel que : g(b) = g(a) + g(n+1)(c)(b ? a)n+1 (n + 1)
Deux preuves de la formule de Taylor
Proposition.Soitnun entier naturel. SoitP(X) =anXn+an-1Xn-1+...+a1X+a0?K[X] un polynôme de degré au plusn. Soita?K. Pourk > n, on poseak= 0. On a :1) Pour tout entier naturelk,P(k)(0) =k!ak
2)P(X) =n?
k=0P (k)(0) k!Xk3)P(X) =n?
k=0P (k)(a) k!(X-a)kPremière preuve
Preuve de 1). On fait une récurrence surk. SoitHkla propriété : pour tout polynômeP, P (k)(0) =k!ak, oùakest le coefficient de degrékdeP. Initialisation : soitPun polynôme quelconque. Pourk= 0, on aP(0)(0) =P(0) =a0= 0!a0(on rappelle que par convention0! = 1). DoncH0est vraie.Hérédité : supposonsHkvraie. Notonsbkle coefficient de degrékdu polynôme dérivéP?. Par
définition deP?,bk= (k+ 1)!ak+1etP?(k)=P(k+1). Mais par hypothèse de récurrence appliquée à
P ?,P?(k)(0) =k!bk. DoncP(k+1)(0) =k!(k+ 1)ak+1= (k+ 1)!ak+1. DoncHk+1est vraie. Par récurrence,Hkest donc vraie pour tout entier naturelk. Preuve de 2).D"après le 1), le coefficient de degrékdePestP(k)(0) k!. Ceci implique 2). Preuve de 3).SoitQ=P(X+a)(polynôme composé, ce n"est pas un produit! ). On a donc aussiP=Q(X-a). De plus, d"après la formule sur la dérivée d"un polynôme composé, on a Q ?=P?(X+a)×1 =P?(X+a), d"où l"on déduit, par une récurrence que je saute, que pour tout entier naturelk,Q(k)=P(k)(X+a), doncQ(k)(0) =P(k)(a). En appliquant la formule du 2) au polynômeQ, on obtientQ=?nk=0Q (k)(0) k!XkdoncQ(X-a) =?nk=0Q (k)(0)k!(X-a)k. En remplaçant Q(X-a)parPetQ(k)(0)parP(k)(a), on obtient exactement l"égalité du 3).Seconde preuve(explications brèves)
On commence par prouver 3). Pour cela, on fait une récurrencesurn. SoitHnla propriété : la formule du 3) est vraie pour tous les polynômes de degré au plusn.Initialisation :H0est vraie car pour un polynôme de degré au plus0(c"est à dire pour un polynôme
constant), on a bienP=P(0).Hérédité : supposonsHnvraie. SoitPun polynôme de degrén+ 1. En appliquant la formule à
P ?(qui est bien de degré au plusn), puis en intégrant (c"est à dire en exprimant queP?=Q?ssi P-Qest constant), on obtient qu"il existe une constanteCtelle queP=?n+1 k=1P (k)(a) k!(X-a)k+C. En prenant la valeur au pointa, on montre queC=P(a), d"oùP(X) =?n+1 k=0P (k)(a) k!(X-a)k. Donc H n+1est vraie. DoncHnest vraie pour tout entier natureln.On a donc montré le 3). On en déduit le 2) en considérant le cas particuliera= 0. Enfin, puisque
deux polynômes sont égaux ssi leurs coefficients sont les mêmes, on déduit du 2) queP(k)(0) =k!ak
Ce qu"il faut retenir: la formule bien sûr, mais aussi l"idée defaire une récurrence sur le degré du polynôme en appliquant l"hypothèse de récurrence au polynôme dérivé.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] division verticale du travail mintzberg
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