Chapitre 12 : Polynômes
7 févr. 2014 comprendre ce que signifie la formule de Taylor d'un point de vue analytique. ... bpXp deux polynômes dans K[X] leur produit est.
POLYNÔMES
Loi interne : Il s'agit de montrer que le produit de deux polynômes est bien un polynôme Théorème (Formule de Vandermonde) Pour tout n ? :.
POLYNOMES
Mais en développant P et Q par la formule du binôme on a aussi par (6) : Si nous nous intéressons au degré du produit de deux polynômes
Opérations sur les polynômes
Le produit de deux polynômes P et Q est défini ainsi ; ces quatre La formule générale appliquée à X0 contredit le fait que la dérivée d'un polynôme est ...
Cours de mathématiques - Exo7
Nous calculons successivement S1 S2
Multiplication rapide de polynômes et de matrices 1 Polynômes
9 avr. 2008 qui renvoie le produit de deux polynômes. 1.3 Algorithme de Karatsuba (1960). Le développement ci-dessus est trop naïf en termes de complexité.
Multiplication de polynômes
prend en entrée deux polynômes et calcule le keme coef- ficient du produit. mult coef : polynome ?> polynome ?> int ?> int = <fun>.
livre-algorithmes EXo7.pdf
La formule mathématique est simplement N = an10n + an?1 Écrire une fonction correspondant au produit de deux polynômes. Calculer la complexité de cet.
Compléments sur les polynômes Formule de Taylor
2 Formule de Taylor pour un polynôme Somme et produit des racines ... le théorème 1.1 assure l'existence et l'unicité a priori de deux polynômes.
Préparation à lagrégation interne de mathématiques Polynômes et
La somme la différence
[PDF] Chapitre 12 : Polynômes - Normale Sup
7 fév 2014 · Cette formule est complètement symétrique par rapport 2 Page 3 aux trois polynômes on obtiendra exactement la même pour (PQ)R ce qui prouve
[PDF] Chapitre 3 Les polynômes - Institut de Mathématiques de Toulouse
Les degrés de la somme et du produit de deux polynômes s'expriment en fonction des degrés des polynômes de départ Propriété 3 4 Soit P Q ? K[X] deux
[PDF] [PDF] Cours de mathématiques - Exo7
Soient P = an Xn +an?1Xn?1 +···+a1X +a0 et Q = bn Xn +bn?1Xn?1 +···+b1X +b0 deux polynômes à coefficients dans K P = Q ssi ai = bi pour tout i et on dit
[PDF] Opérations sur les polynômes
Ces notations signifie supp P ? [0n] et supp Q ? [0n] • Le produit de deux polynômes P et Q est défini ainsi ; ces quatre notations sont équivalentes :
[PDF] 1 Généralités degré opérations avec les polynômes
Réciproquement si P est un polynôme réel de degré 2 qui peut s'écrire comme produit de deux polynômes réels de degré 1 alors (?X ? ?)(?X ? ?) = ??X2 ? (?? +
[PDF] POLYNOMES - Toutes les Maths
Mais en développant P et Q par la formule du binôme on a aussi par (6) : Si nous nous intéressons au degré du produit de deux polynômes
[PDF] POLYNÔMES - Christophe Bertault
Loi interne : Il s'agit de montrer que le produit de deux polynômes est bien un polynôme Théorème (Formule de Vandermonde) Pour tout n ? :
[PDF] Chapitre 11 : Polynômes I K[X] - Lycée Jean Perrin
bk Xk deux polynômes à coefficients dans K et ? ? K On définit les Démontrons la formule pour le produit Théorème I 6 (Formule de Leibniz)
[PDF] Algèbre des polynômes
(2) : La multiplication : PQ = ?+? n=0(?n k=0 akbn?k)Xn = ?+? n=0(?p+q=n apbq)Xn appelée produit de Cauchy (3) : La loi dite externe : ?P = ?+? n=0(
[PDF] Feuille 9 : Polynômes
2 Pour quelles valeurs de a le polynôme Pa admet-il une racine double? Pour chacune de ces valeurs décomposer Pa en produit de facteurs irréductibles
Comment calculer le produit de deux polynômes ?
Le produit de deux polynômes est le polynôme obtenu en multipliant chaque terme de l'un par chaque terme de l'autre. Par exemple, (?x3+2x2+1)(3x?2)=?3x4+6x3+3x+2x3?4x2?2=?3x4+8x3?4x2+3x?2.Comment calculer la somme et le produit d'un polynôme ?
Si le trinôme ax2+bx+c admet deux racines distinctes ou confondues, alors leur somme S et leur produit P vérifient : S=a?b et P=ac.
1On utilise la propriété du cours. 2On résout l'équation.3Les solutions, si elles existent, sont les nombres recherchés.Comment montrer qu'un polynôme est constant ?
– Un polynôme de la forme P = a0 avec a0 ? K est appelé un polynôme constant. Si a0 = 0, son degré est 0.- On suppose que pour tout polynôme B tel que deg(B) < n (n ? N? fixé) et pour tout polynôme A non nul, il existe Q, R ? K[X] tels que B = AQ + R avec deg(R) < deg(A). Soit B un polynôme de degré n. Si deg(A) > n = deg(B) alors l'écriture B = A × 0 + B permet de conclure.
1 Les polynômes
Dans toute la suite,Kdésignera un corps (commutatif). Penser à ?R,C,Qde caractéristique0:k×1 = 0?k= 0 Z/pZde caractéristiquep(ppremier) :k×1 = 0?k?pZUne liste de définitions/vocabulaires :
1. UnpolynômePà coefficients dansKest une " suite(an)n?Nindexée surNd"éléments deK
tous nuls sauf un nombre fini » (lescoefficientsdeP). Plus habituellement, on note P=d? k=0a kXk=adXd+...+a1X+a0.2. SiPn"est pas nul, sondegrédeg(P)est le plus grand entierdtel quead?= 0.
On convient quedeg(0) =-∞.
3. Unmonômeest un polynôme dont au plus un des coefficients est non nul.
4. Un polynôme estunitairesi son coefficientadeg(P)de plus haut degré est égal à1.
5. La somme, la différence, le produit de deux polynômes, le produit d"un polynôme par un
élément deKont un sens naturel et possèdent les propriétés requises (commutativité, associa-
tivité, distributivité, ...) pour que l"ensembleK[X]des polynômes soit muni d"une structure d"anneau, deK-espace vectoriel et deK-algèbre.6. La composition de deux polynômes a également un sens et n"est pas commutative.
Propriété 1.1(du degré).Pour tous polynômesPetQ(si nul(s) : arithmétique dansZ?{-∞}) :
1.deg(P±Q)?max(deg(P);deg(Q))(avec égalité sideg(P)?=deg(Q))
2.deg(PQ) =deg(P) +deg(Q)(doncdeg(λP) =deg(P)siλ?K?)
3. Conséquence : siP|Qalorsdeg(P)?deg(Q)
4. Conséquence : les polynômes inversibles deK[X]sont les polynômes constants non nuls
Définition 1.1.Un polynôme deK[X]estirréductible(oupremier) surKsi les seuls diviseurs de Psont les constantes (les inversibles) ou lesλP,λ?K?. Tout commeZ, l"anneauK[X]est muni d"une division euclidienne : Théorème 1(division euclidienne dans l"anneau des polynômes surK). Pour tous polynômesAetB,Bnon nul, il existe un unique couple(Q;R)de polynômes vérifiant :A=BQ+Retdeg(R)< deg(B).
Les notions dePGCD,PPCM(polynômesunitaires), de décomposition en facteurs irréduc- tibles, les théorèmes de Bézout, de Gauss sont encore valables surK[X]. Définition 1.2(dérivation).Lepolynôme dérivédeP=d? k=0a kXk=adXd+...+a1X+a0est le polynômeP?=d? k=1ka kXk-1=dadXd-1+...+a1. On définit par récurrence le polynôme dérivéP(n)=?P(n-1)??. 1 Propriété 1.2.1.deg(P?)?deg(P)-1siP?= 0(avec égalité sideg(P)?= 0dansK)3. Formule de Leibniz :(PQ)(k)=k?
i=O? k i? P (i)Q(k-i)2 Fonctions polynomiales et racines
SiPappartient àK[X], on peut l"évalueren tout nombrexdeK. On associe àPlafonction polynomiale˜P:P:K-→K:x?-→d?
k=0a kxk=adxd+...+a1x+a0 Théorème 2(racine et multiplicité).SoientPappartenant àK[X]etaun élément deK.1.racine:
P(a) = 0??X-a|P(dansK[X])
2.racine de multiplicitéα?1:
P= (X-a)αQet˜Q(a)?= 0??(X-a)α|Pet(X-a)α+1?P(dansK[X])3. (avec Gauss)a1,...,ar(appartenant àK) sontrracines distinctes de multiplicité respective
1,...,αrsi et seulement si(X-a1)α1...(X-ar)αrdivisePdansK[X].
La troisième équivalence permet de majorer le nombre de racines (comptées avec multiplicités)
par le degré :α1+...+αr?deg(P). Attention : siP=Xp-XdansZ/pZ[X], alors la fonction associée est identiquement nulle surZ/pZ(c"est le petit théorème de Fermat).
On peut identifier polynôme et fonction polynomiale surK=Q,R,Cen vertu de laPropriété 2.1.L"applicationK[X]-→KK:P?-→˜Pest injective si et seulement siKest infini.
Propriété 2.2.Le corpsKest ici supposé decaractéristique nulle(donc infini).SoientPappartenant àK[X]et un élementadeK.
1.Formule de Taylor :
P=deg(P)?
k=0P (k)(a)(X-a)k k!.2. Le nombreaest racine dePde multiplicitéαsi et seulement si
P(a) =...=P(α-1)(a) = 0etP(α)(a)?= 0.
Propriété 2.3.SurRet/ouC:
1. (d"Alembert-Gauss) Tout polynôme deC[X]de degré au moins1admet une racine dansC.
2. Les polynômes irréductibles deC[X]sont les polynômes de degré1.
3. SiPetQappartiennent àC[X], alorsPdiviseQsi et seulement si toute racine dePde
multiplicitékest racine deQde multiplicité au moinsk.4. Tout polynôme deR[X]de degré impair admet une racine dansR.
5. Les polynômes irréductibles deR[X]sont les polynômes de degré1et les polynômes de degré2
sans racine réelle. Définition 2.1.Lesfonctions symétriques élémentairesen lesnvariablesx1,...,xnsont lesn expressions (" somme des produits dekvariables distinctes ») k=?1?i1<... i1...xik=x1x2...xk+...+xn-k+1...xnpourk= 1,...,n. 1=x1+...+xn;σ2=?
1?i1 2 Propriété 2.4(relations entre coefficients et racines).SoitPun polynôme de degréndansK[X],
supposé scindé surK, de racinesx1,...,xn(comptées avec multiplicité) : P=n? k=0a kXk=ann k=1(X-xk). Alors :
1=-an-1
an;...;σk= (-1)kan-kan;...;σn= (-1)na0an. 3 Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples
L"ensembleK(X)desfractions rationnellesest défini à partir deK[X]de manière analogue àQà
partir deZ: il s"agit ducorps des fractions. Une fraction rationnelle est donc (la classe d"équivalence
d") un élément de la forme P QavecPetQdansK[X]etQnon nul.
1. L"addition et le produit (usuels) de fractions munissentK(X)d"une structure de corps com-
mutatif infini (quel que soitK). 2. Le degrédeg?P
Q? =deg(P)-deg(Q)de la fraction rationnelle ne dépend pas du représentant. 3. Tout élémentFdeK(X)admet unreprésentant irréductibleP
Q,PetQpremiers entre eux.
Un tel couple(P;Q)est unique à un multiple (scalaire) non nul près. 4. La dérivation des polynômes s"étend aux fractions rationnelles avec les formules usuelles.
5. On adeg(F?)?deg(F)-1mais l"inégalité peut être stricte même en caractéristiquenulle
comme pour l"exempleF=X X+1. Définition 3.1(zéros et pôles).SoitF=P
Qun représentant irréductible.
1. Unzéro(d"ordrek) deFest une racine (d"ordrek) du numérateurP.
2. Unpôle(d"ordrek) deFest une racine (d"ordrek) du numérateurQ.
Zéros et pôles ne dépendent pas du représentant irréductible choisi (mais bien sûr du corpsK).
Zéros et pôles forment des ensembles finis (siP?= 0) et disjoints carPetQn"ont aucun facteur commun. À toute fraction rationnelleF, on peut associer lafonction rationnelle˜F:K\P -→Kdéfinie
sur le corpsKprivé de l"ensemblePdes pôles deF. Théorème 3(décomposition en éléments simples).SoientF=A Bun représentant irréductible d"une
fraction rationnelleFsurKetB=λBα11...Bαrrla décomposition deBen produit de polynômes irréductibles, premiers entre eux et unitaires (λ?K?,Biirréductible unitaire,PGCD(Bi;Bj) = 1
sii?=jetαi?N?). Alors, il existe une unique famille de polynômes notéeE,Ciktelle que : F=A λBα11...Bαrr=E+r?
i=1? αi?
k=1C ik(Bi)k? etdeg(Cik)< deg(Bi). Le polynômeEest appelépartie entière, le resteF-Eest appelépartie polaire. Sur les corpsCetR, la connaissance des polynômes irréductibles (deg(Bi) = 1, éven- tuellement2) permet de préciser ce résultat. Théorème 4.SoientF=A/Bun représentant irréductible d"une fraction rationnelleFsurK 1. SurC: siz1,...,zrsont les racines deux à deux distinctes de multiplicité respectiveα1,...,αr
du dénominateurB, on a (avec unicité) : F=A λ(X-z1)α1...(X-zr)αr=E+r?
i=1? αi?
k=1a ik(X-zi)k? oùEappartient àC[X]et lesaiksont des nombres complexes. 3 2. SurR: siB=λr?
i=1(X-xi)αis? j=1(X2+pjX+qj)βjest la décomposition deBsurR, alors on a (avec unicité) : F=E+r?
i=1? αi?
k=1a ik (X-xi)k? +s? j=1(( j? l=1b jlX+cjl(X2+pjX+qj)l)) oùEappartient àR[X]et lesaik,bjletcjlsont des nombres réels. Références
[Gou94] Xavier Gourdon.Algèbre. Les maths en tête. Ellipses, Paris, 1994. [Mon06] Jean-Marie Monier.Algèbre MPSI, Cours, méthodes et exercices corrigés, 4eédition. J"in-
tègre. Dunod, Paris, 2006. 4quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
1=x1+...+xn;σ2=?
1?i1 2 Propriété 2.4(relations entre coefficients et racines).SoitPun polynôme de degréndansK[X],
supposé scindé surK, de racinesx1,...,xn(comptées avec multiplicité) : P=n? k=0a kXk=ann k=1(X-xk). Alors :
1=-an-1
an;...;σk= (-1)kan-kan;...;σn= (-1)na0an. 3 Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples
L"ensembleK(X)desfractions rationnellesest défini à partir deK[X]de manière analogue àQà
partir deZ: il s"agit ducorps des fractions. Une fraction rationnelle est donc (la classe d"équivalence
d") un élément de la forme P QavecPetQdansK[X]etQnon nul.
1. L"addition et le produit (usuels) de fractions munissentK(X)d"une structure de corps com-
mutatif infini (quel que soitK). 2. Le degrédeg?P
Q? =deg(P)-deg(Q)de la fraction rationnelle ne dépend pas du représentant. 3. Tout élémentFdeK(X)admet unreprésentant irréductibleP
Q,PetQpremiers entre eux.
Un tel couple(P;Q)est unique à un multiple (scalaire) non nul près. 4. La dérivation des polynômes s"étend aux fractions rationnelles avec les formules usuelles.
5. On adeg(F?)?deg(F)-1mais l"inégalité peut être stricte même en caractéristiquenulle
comme pour l"exempleF=X X+1. Définition 3.1(zéros et pôles).SoitF=P
Qun représentant irréductible.
1. Unzéro(d"ordrek) deFest une racine (d"ordrek) du numérateurP.
2. Unpôle(d"ordrek) deFest une racine (d"ordrek) du numérateurQ.
Zéros et pôles ne dépendent pas du représentant irréductible choisi (mais bien sûr du corpsK).
Zéros et pôles forment des ensembles finis (siP?= 0) et disjoints carPetQn"ont aucun facteur commun. À toute fraction rationnelleF, on peut associer lafonction rationnelle˜F:K\P -→Kdéfinie
sur le corpsKprivé de l"ensemblePdes pôles deF. Théorème 3(décomposition en éléments simples).SoientF=A Bun représentant irréductible d"une
fraction rationnelleFsurKetB=λBα11...Bαrrla décomposition deBen produit de polynômes irréductibles, premiers entre eux et unitaires (λ?K?,Biirréductible unitaire,PGCD(Bi;Bj) = 1
sii?=jetαi?N?). Alors, il existe une unique famille de polynômes notéeE,Ciktelle que : F=A λBα11...Bαrr=E+r?
i=1? αi?
k=1C ik(Bi)k? etdeg(Cik)< deg(Bi). Le polynômeEest appelépartie entière, le resteF-Eest appelépartie polaire. Sur les corpsCetR, la connaissance des polynômes irréductibles (deg(Bi) = 1, éven- tuellement2) permet de préciser ce résultat. Théorème 4.SoientF=A/Bun représentant irréductible d"une fraction rationnelleFsurK 1. SurC: siz1,...,zrsont les racines deux à deux distinctes de multiplicité respectiveα1,...,αr
du dénominateurB, on a (avec unicité) : F=A λ(X-z1)α1...(X-zr)αr=E+r?
i=1? αi?
k=1a ik(X-zi)k? oùEappartient àC[X]et lesaiksont des nombres complexes. 3 2. SurR: siB=λr?
i=1(X-xi)αis? j=1(X2+pjX+qj)βjest la décomposition deBsurR, alors on a (avec unicité) : F=E+r?
i=1? αi?
k=1a ik (X-xi)k? +s? j=1(( j? l=1b jlX+cjl(X2+pjX+qj)l)) oùEappartient àR[X]et lesaik,bjletcjlsont des nombres réels. Références
[Gou94] Xavier Gourdon.Algèbre. Les maths en tête. Ellipses, Paris, 1994. [Mon06] Jean-Marie Monier.Algèbre MPSI, Cours, méthodes et exercices corrigés, 4eédition. J"in-
tègre. Dunod, Paris, 2006. 4quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
Propriété 2.4(relations entre coefficients et racines).SoitPun polynôme de degréndansK[X],
supposé scindé surK, de racinesx1,...,xn(comptées avec multiplicité) : P=n? k=0a kXk=ann k=1(X-xk).Alors :
1=-an-1
an;...;σk= (-1)kan-kan;...;σn= (-1)na0an.3 Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples
L"ensembleK(X)desfractions rationnellesest défini à partir deK[X]de manière analogue àQà
partir deZ: il s"agit ducorps des fractions. Une fraction rationnelle est donc (la classe d"équivalence
d") un élément de la forme PQavecPetQdansK[X]etQnon nul.
1. L"addition et le produit (usuels) de fractions munissentK(X)d"une structure de corps com-
mutatif infini (quel que soitK).2. Le degrédeg?P
Q? =deg(P)-deg(Q)de la fraction rationnelle ne dépend pas du représentant.3. Tout élémentFdeK(X)admet unreprésentant irréductibleP
Q,PetQpremiers entre eux.
Un tel couple(P;Q)est unique à un multiple (scalaire) non nul près.4. La dérivation des polynômes s"étend aux fractions rationnelles avec les formules usuelles.
5. On adeg(F?)?deg(F)-1mais l"inégalité peut être stricte même en caractéristiquenulle
comme pour l"exempleF=X X+1.Définition 3.1(zéros et pôles).SoitF=P
Qun représentant irréductible.
1. Unzéro(d"ordrek) deFest une racine (d"ordrek) du numérateurP.
2. Unpôle(d"ordrek) deFest une racine (d"ordrek) du numérateurQ.
Zéros et pôles ne dépendent pas du représentant irréductible choisi (mais bien sûr du corpsK).
Zéros et pôles forment des ensembles finis (siP?= 0) et disjoints carPetQn"ont aucun facteur commun.À toute fraction rationnelleF, on peut associer lafonction rationnelle˜F:K\P -→Kdéfinie
sur le corpsKprivé de l"ensemblePdes pôles deF. Théorème 3(décomposition en éléments simples).SoientF=ABun représentant irréductible d"une
fraction rationnelleFsurKetB=λBα11...Bαrrla décomposition deBen produit de polynômesirréductibles, premiers entre eux et unitaires (λ?K?,Biirréductible unitaire,PGCD(Bi;Bj) = 1
sii?=jetαi?N?). Alors, il existe une unique famille de polynômes notéeE,Ciktelle que : F=AλBα11...Bαrr=E+r?
i=1?αi?
k=1C ik(Bi)k? etdeg(Cik)< deg(Bi). Le polynômeEest appelépartie entière, le resteF-Eest appelépartie polaire. Sur les corpsCetR, la connaissance des polynômes irréductibles (deg(Bi) = 1, éven- tuellement2) permet de préciser ce résultat. Théorème 4.SoientF=A/Bun représentant irréductible d"une fraction rationnelleFsurK1. SurC: siz1,...,zrsont les racines deux à deux distinctes de multiplicité respectiveα1,...,αr
du dénominateurB, on a (avec unicité) : F=Aλ(X-z1)α1...(X-zr)αr=E+r?
i=1?αi?
k=1a ik(X-zi)k? oùEappartient àC[X]et lesaiksont des nombres complexes. 32. SurR: siB=λr?
i=1(X-xi)αis? j=1(X2+pjX+qj)βjest la décomposition deBsurR, alors on a (avec unicité) :F=E+r?
i=1?αi?
k=1a ik (X-xi)k? +s? j=1(( j? l=1b jlX+cjl(X2+pjX+qj)l)) oùEappartient àR[X]et lesaik,bjletcjlsont des nombres réels.Références
[Gou94] Xavier Gourdon.Algèbre. Les maths en tête. Ellipses, Paris, 1994.[Mon06] Jean-Marie Monier.Algèbre MPSI, Cours, méthodes et exercices corrigés, 4eédition. J"in-
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