Chapitre 12 : Polynômes
7 févr. 2014 comprendre ce que signifie la formule de Taylor d'un point de vue analytique. ... bpXp deux polynômes dans K[X] leur produit est.
POLYNÔMES
Loi interne : Il s'agit de montrer que le produit de deux polynômes est bien un polynôme Théorème (Formule de Vandermonde) Pour tout n ? :.
POLYNOMES
Mais en développant P et Q par la formule du binôme on a aussi par (6) : Si nous nous intéressons au degré du produit de deux polynômes
Opérations sur les polynômes
Le produit de deux polynômes P et Q est défini ainsi ; ces quatre La formule générale appliquée à X0 contredit le fait que la dérivée d'un polynôme est ...
Cours de mathématiques - Exo7
Nous calculons successivement S1 S2
Multiplication rapide de polynômes et de matrices 1 Polynômes
9 avr. 2008 qui renvoie le produit de deux polynômes. 1.3 Algorithme de Karatsuba (1960). Le développement ci-dessus est trop naïf en termes de complexité.
Multiplication de polynômes
prend en entrée deux polynômes et calcule le keme coef- ficient du produit. mult coef : polynome ?> polynome ?> int ?> int = <fun>.
livre-algorithmes EXo7.pdf
La formule mathématique est simplement N = an10n + an?1 Écrire une fonction correspondant au produit de deux polynômes. Calculer la complexité de cet.
Compléments sur les polynômes Formule de Taylor
2 Formule de Taylor pour un polynôme Somme et produit des racines ... le théorème 1.1 assure l'existence et l'unicité a priori de deux polynômes.
Préparation à lagrégation interne de mathématiques Polynômes et
La somme la différence
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7 fév 2014 · Cette formule est complètement symétrique par rapport 2 Page 3 aux trois polynômes on obtiendra exactement la même pour (PQ)R ce qui prouve
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Les degrés de la somme et du produit de deux polynômes s'expriment en fonction des degrés des polynômes de départ Propriété 3 4 Soit P Q ? K[X] deux
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Soient P = an Xn +an?1Xn?1 +···+a1X +a0 et Q = bn Xn +bn?1Xn?1 +···+b1X +b0 deux polynômes à coefficients dans K P = Q ssi ai = bi pour tout i et on dit
[PDF] Opérations sur les polynômes
Ces notations signifie supp P ? [0n] et supp Q ? [0n] • Le produit de deux polynômes P et Q est défini ainsi ; ces quatre notations sont équivalentes :
[PDF] 1 Généralités degré opérations avec les polynômes
Réciproquement si P est un polynôme réel de degré 2 qui peut s'écrire comme produit de deux polynômes réels de degré 1 alors (?X ? ?)(?X ? ?) = ??X2 ? (?? +
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Mais en développant P et Q par la formule du binôme on a aussi par (6) : Si nous nous intéressons au degré du produit de deux polynômes
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Loi interne : Il s'agit de montrer que le produit de deux polynômes est bien un polynôme Théorème (Formule de Vandermonde) Pour tout n ? :
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bk Xk deux polynômes à coefficients dans K et ? ? K On définit les Démontrons la formule pour le produit Théorème I 6 (Formule de Leibniz)
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(2) : La multiplication : PQ = ?+? n=0(?n k=0 akbn?k)Xn = ?+? n=0(?p+q=n apbq)Xn appelée produit de Cauchy (3) : La loi dite externe : ?P = ?+? n=0(
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2 Pour quelles valeurs de a le polynôme Pa admet-il une racine double? Pour chacune de ces valeurs décomposer Pa en produit de facteurs irréductibles
Comment calculer le produit de deux polynômes ?
Le produit de deux polynômes est le polynôme obtenu en multipliant chaque terme de l'un par chaque terme de l'autre. Par exemple, (?x3+2x2+1)(3x?2)=?3x4+6x3+3x+2x3?4x2?2=?3x4+8x3?4x2+3x?2.Comment calculer la somme et le produit d'un polynôme ?
Si le trinôme ax2+bx+c admet deux racines distinctes ou confondues, alors leur somme S et leur produit P vérifient : S=a?b et P=ac.
1On utilise la propriété du cours. 2On résout l'équation.3Les solutions, si elles existent, sont les nombres recherchés.Comment montrer qu'un polynôme est constant ?
– Un polynôme de la forme P = a0 avec a0 ? K est appelé un polynôme constant. Si a0 = 0, son degré est 0.- On suppose que pour tout polynôme B tel que deg(B) < n (n ? N? fixé) et pour tout polynôme A non nul, il existe Q, R ? K[X] tels que B = AQ + R avec deg(R) < deg(A). Soit B un polynôme de degré n. Si deg(A) > n = deg(B) alors l'écriture B = A × 0 + B permet de conclure.
8x2K;A(x) =B(x)Q(x) +r?
? ?? ?B(?? ) =? ????r=A(?? ) =?? ?????R=?? ????2K??P2K[X]? ????P=X??X?X+?? k=?a kXk???P0=nX k=?ka kXk? ??? ??????? ?P(?)=P00=nX k=?k(k?)akXk??P(?)=P000=nX k=?k(k?)(k?)akXk?? ????P=nX k=?a kXk? ?? ? ???? ???? ??????k??? ????6k6n?P(k)(?) =k!ak? P=nX k=?P82K;P=nX
k=?P (k)()k!(X)k: ?????(P) =??P=P() +P0()(X)? ?????(P) =??P=P() +P0()(X) +P00()? (X)?? ?????(P) =??P=P() +P0()(X) +P00()? (X)?+P000()? ????2K? ???? ???? ??????k??? ??? ?6k6n? ?? ?(Xn)(k)() =n!(nk)!nk k=? n k nk(X)k: ????P=X?+?X?+??X+???P(?) =?P0(?) =?P00(?) =?P000(?) =?
P=?(X+?)?+?(X+?)?+?(X+?) +?:
X X ?+?X?+??X+??= (X?+?X+?)(X+?) +? =(X+?)(X+?) +?(X+?) +? = (X+?)(X+?)?+?(X+?) +? =?(X+?) +? (X+?)?+?(X+?) +? =?(X+?)?+?(X+?)?+?(X+?) +?: ????P2K[X]??2K? :P() =P0() ==P(?)() =? P ()()6=??P=A(X?)?(X?)?:::(Xp)p=ApY
k=? ????P=nP k=?a kXk????a?;:::;an2C??an6=?? ???????;:::;n???n??????? nX k=? k=an?a n??nY k=? k= (?)na?a n:??????? ??? ???? ??? ?????? ?? ? ?? ?? ???deg(P) =? ?P=aX?+bX+c=a(X?)(X?) ?+?=ba ????=ca ???deg(P) =? ?P=aX?+bX?+cX+d=a(X?)(X?)(X?) ?+?+?=ba ?????=da ???deg(P) =? ?P=aX?+bX?+cX?+dX+e=a(X?)(X?)(X?)(X?) ?+?+?+?=ba ??????=ea ?;?;:::;p?P=A(X?)?(X?)?:::(Xp)p
(X?+a?X+b?)?(X?+a?X+b?)?:::(X?+aqX+bq)q =ApY k=?(Xk)kqY k=?(X?+akX+bk)k =??????2R+??2[;[? ?? ????(?)=??????? ???? ?????=? ?? ?[mod?]? ????=p? ??2n? o ?=p?? =?+??=p?? ?=p?? =??=??=p??P= (X?)(X?)(X?)(X?):
f(b) = nX k=?f (k)(a)k!(ba)k! f(n+?)(c)(n+1)!(ba)n+? =f(a)+f0(a)(ba)+f00(a)2 ?L'hypothèse plus forte (et plus simple) Soitfune fonction(n+1)fois polynômes (théorème 2.5 ). La formule de Taylor est??????à l'ordrenpour ????? ?? ?????? ?? ????t2]0;1[??? ??? f(b) = nX k=?f (k)(a)k!(ba)k! (x2R)? ????? ?? ??????t2]0;1[??? ??? f(x) = nX k=?f (k)(0)k!xk! f(b)nX k=?f8x2R;8n2N;
exnX k=?x kk!6emax(x;?)jxjn+?(n+1)!:
En particulier pourx=1 etn=7, partant de e63, on ae8!638!610?et alors X k=?1k!=685252 est une approximation de e à 10?près. On trouve ainsi e2;7182:::On a8x2R;limn!+1x
nn!=0 et alors ex=+1X k=?x kk!où l'on a noté+1X k=?= limn!+1n X k=?.De manière similaire,8x2R;cosx=+1X
k=?(1)kx?k(2k)!etsinx=+1X k=?(1)kx?k+?(2k+1)!: Formellement, en remplaçantxpar ix, on obtient pour toutx2R: e ?x=+1X k=?(1)kx?k(2k)!+i+1X k=?(1)kx?k+?(2k+1)! et l'on retrouve la dénition de l'exponentielle complexe : e ?;f(x?). Sa surI, alorsfest???????(resp.???????) surI.La formule de Taylor-Lagrange donne
8x2I;9t2]0;1[;
f(x)=f(x?)+f0(x?)(xx?)+12 f00(x?+t(xx?))(xx?)? et l'on en déduit8x2I;f(x)>(resp.6)f(x?) +f0(x?)(xx?):
fx0f(x0)T
xf(x)C fx0f(x0)T
???f00>? ???f006?En particulier, sif0(x?) =0 (i.e.x?est un?????
???????)??????enx?.xf(x)C fx0f(x0)T
xf(x)C fx0f(x0)T
?;f(x?)? ?? ?? ?????? ?? ????? ??x??8x2I;9t2]?;?[;
f(x)=f(x?)+f0(x?)(xx?)+?? f000(x?+t(xx?))(xx?)? ?? ???? ?? ??????? ???? ???????f000>? ?8x2I;f(x)(
6f(x?) +f0(x?)(xx?)??x6x?
>f(x?) +f0(x?)(xx?)??x>x? C fx0f(x0)T
xf(x)C fx0f(x0)T
???f000>? ???f0006? fx0f(x0)T
xf(x)C fx0f(x0)T
?? ????? ?? ???? ? ???? ???P(x?) =y?;P(x?) =y?;P(x?) =y?: L L ?(x?)=?;L?(x?)=L?(x?)=? ??L?(x?)=?;L?(x?)=L?(x?)=?? ????QP=?? ????Q=P? 1y 1x 2y 2x 3y x ?=;x?=? ;x?=?;x?=? ;x?=: L ?=???(X+? )X(X? )(X) L ?=???(X+)X(X? )(X) L ?(X+)(X+? )(X? )(X) L ?=???(X+)(X+? )X(X) L ?=???(X+)(X+? )X(X? P=?X k=?f(xk)LkP=???X?+??X:xy
y=P(x)y=sin(x) -6-5-4-3-2-1123456 --/20/2xy y=sin(x)P(x) -5-4-3-2-112345 --/20/2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] division horizontale du travail mintzberg
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