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avec a ? R 1 Trouver la solution qui satisfait la condition initiale 2 Dessiner la courbe y en fonction de x • Exercice 2
Comment résoudre une équation différentielle ordinaire ?
Résoudre une équation différentielle revient à trouver les fonctions solution y. Par exemple, l'équation différentielle y" + y = 0 a une solution générale de la forme : y(x) = A cos x + B sin x, où A, B sont des constantes complexes (qu'on peut déterminer si on ajoute des conditions initiales).Comment résoudre une équation différentielle y '+ 2y 0 ?
Résolution de l'équation différentielle y? + 2y = 0 dont la solution f vérife f(0) = 1 : Les solutions sont du type f(x) = ke?2x où k est une constante réelle. f(0) = 1 ?? ke?2? = 1 ?? k = 1, D'où f(x) = e?2x. où A et B sont des constantes réelles. y = 0, on prend ? = 1 3 .Comment résoudre une équation différentielle de Bernoulli ?
z ? = ( 2 a ( t ) y 0 ( t ) + b ( t ) ) z + a ( t ) z 2 . On obtient donc une équation de Bernoulli, que l'on sait résoudre. Il s'agit des équations différentielles du type y=a(y?)t+b(y?). y = a ( y ? ) t + b ( y ? ) .- b) Equation avec second membre : Considérons l'équation ay" + by' + cy = d(x). Soit y0 solution de cette équation. On remarque alors que, comme dans le cas des équations du premier ordre : Page 9 - 9 - i) si z est solution de l'équation homogène associée, alors y0 + z est solution de l'équation complète.
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d"équations différentielles; méthode d"EulerExercice 1Objectif : programmer la méthode d"Euler pour résoudre l"équation différentielley0=ysur l"inter-
valle[0;4]avecy(0) = 1.1.def euler(a,b,y0,h,f):
x=a y=y0 liste_x=[a] liste_y=[y0] while x+h<=b: y+=h *f(x,y) liste_y.append(y) x+=h liste_x.append(x) return liste_x,liste_y def f(x,y): return y2. On complète le programme avecprint(euler(0,4,1,1,f)). Le résultat doit être :([0,
1, 2, 3, 4], [1, 2, 4, 8, 16]).
3.# calcul de l"erreur
e=0 h=0.1 x,y=euler(0,4,1,h,f) for i in range(len(x)): if abs(exp(x[i])-y[i])>e: e=abs(exp(x[i])-y[i]) print("Pour h = ",h,"l"erreur est ",e) # ou bien x,y=euler(0,4,1,h,f) print(x[-1],y[-1],exp(4)-y[-1]) # l"erreur max est sur le dernier termePour la dernière valeur des deux listes, il y a un problème d"arrondi, donc le x final n"est pas toujours
égal à 4. Pour remédier à ce problème, on peut modifier le test "while" dans la fonctioneuleren écrivant :
while round(x+h,6)<=b:.4. Afin que l"erreur maximale soit de l"ordre de102, on prendh= 0:0001.Serge Bays1Lycée Les Eucalyptus
http://mathematice.fr5. Représentations graphiques.import matplotlib.pyplot as plt
# écriture solution exacte x=[i *0.1 for i in range(41)] y=[exp(u) for u in x] plt.plot(x,y) # écriture sol approchée h=1 x,y=euler(0,4,1,1,f) plt.plot(x,y) # écriture sol approchée h=0.5 x,y=euler(0,4,1,0.5,f) plt.plot(x,y) # écriture sol approchée h=0.2 x,y=euler(0,4,1,0.2,f) plt.plot(x,y) # écriture sol approchée h=0.1 x,y=euler(0,4,1,0.1,f) plt.plot(x,y) plt.show()Exercice 2
On reprend le programme 1 avec les modifications nécessaires sur l"écriture de la fonction f, l"écriture
de la solution exacte et l"appel de la fonctioneuler.from math import exp,cos,sin import matplotlib.pyplot as plt def f(x,y): return cos(2 *x)-y # solution exacte def solex(x): return 3.8 *exp(-x)+0.2*cos(2*x)+0.4*sin(2*x) xex=[i *0.01 for i in range(1201)] yex=[solex(u) for u in xex] plt.plot(xex,yex,"r") # solution approchée h=0.1 x,y=euler(0,12,4,0.1,f) plt.plot(x,y) plt.show()Exercice 3
Objectif : résoudre l"équation différentielley0=yavecy(0) = 1sur l"intervalle[0;30].1. On reprend le programme de l"exercice 1. On modifie la fonctionf(x;y) =yet les appels de la
fonctioneuler.Serge Bays2Lycée Les Eucalyptus http://mathematice.fr import matplotlib.pyplot as plt def euler(a,y0,b,h,f): x=a y=y0 liste_x=[a] liste_y=[y0] while x+h<=b: y+=h *f(x,y) liste_y.append(y) x+=h liste_x.append(x) return liste_x,liste_y def f(x,y): return -y # solution approchée h=3 x,y=euler(0,1,30,3,f) plt.plot(x,y) # solution approchée h=2.5 x,y=euler(0,1,30,2.5,f) plt.plot(x,y) plt.show()2. Stabilité pourh2.# solution approchée h=1.5
x,y=euler(0,1,30,1.5,f) plt.plot(x,y) # solution approchée h=2 x,y=euler(0,1,30,2,f) plt.plot(x,y) plt.show()3. L"erreur de discrétisationeest inférieure à101pourh= 0:4. (On utilise le code de l"exercice 1
en modifiant la valeur exacte.# calcul de l"erreur e=0 h=0.4 x,y=euler(0,1,30,h,f) for i in range(len(x)): if abs(exp(-x[i])-y[i])>e: e=abs(exp(-x[i])-y[i]) print("Pour h = ",h,"l"erreur est ",e)Serge Bays3Lycée Les Eucalyptus http://mathematice.frExercice 4
Objectif : résoudre l"équation différentielle du second ordrey00+y= 0pourx2[0;10]avec les conditions initialesy(0) = 0ety0(0) = 1. On reprend les éléments du programme de l"exercice 1 avec quelques modifications.1. Modification de la fonctionf.def f(x,y): # y est un couple
return (y[1],-y[0])2. Modification de la fonctioneuler.def euler(a,b,y0,h,f):
x=a y=y0 liste_x=[a] liste_y=[y0] while x+h<=b: y=(y[0]+h *(f(x,y)[0]),y[1]+h*(f(x,y)[1])) # la difficulté liste_y.append(y) x+=h liste_x.append(x) return liste_x,liste_y3. L"appel de la fonction.# solution approchée h=0.01
x,y=euler(0,10,(0,1),0.01,f)4.from math import sin # pour la sol exacte
import matplotlib.pyplot as plt u=[y[i][0] for i in range(len(y))] plt.plot(x,u) # solution exacte y(x)=sin(x) x=[i *0.01 for i in range(1001)] y=[sin(u) for u in x] plt.plot(x,y) plt.show()Serge Bays4Lycée Les Eucalyptus http://mathematice.frExercice 5
La définition de la fonctioneulers"écrit comme dans l"exercice 1. On modifie la définition de la
fonctionfqui renvoie un objet de typearrayet l"appel de la fonctioneuler:# y""+y=0 soit (y,y")"=(y",-y)=F(y,y")
from math import sin from numpy import array def f(x,y): return array((y[1],-y[0])) # utilisation d"un array def euler(a,b,y0,h,f): x=a y=y0 liste_x=[a] liste_y=[y0] while x+h<=b: y=y+h *f(x,y) # plus aucun problème de calcul liste_y.append(y) x+=h liste_x.append(x) return (liste_x,liste_y) x,y=euler(0,10,array((0,1)),0.01,f) u=[y[i][0] for i in range(len(y))] plt.plot(x,u) plt.show()Exercice 6
Objectif : l"équation00=k1sink20.# y""= -k1 sin(y) - k2 y" pendule amorti (si k2=0, pendule simple)
# soit (y,y")"=(y",-k1 sin(y)- k2 y)=F(y,y") from math import sin,pi from numpy import array def f(x,y): return array((y[1],-5 *sin(y[0])-0.5*y[1])) # les valeurs de k1 et k2 def euler(a,b,y0,h,f): x=a y=y0 liste_x=[a] liste_y=[y0] while x+h<=b: y=y+h *f(x,y) liste_y.append(y) x+=hSerge Bays5Lycée Les Eucalyptus http://mathematice.fr liste_x.append(x) return (liste_x,liste_y) # solution approchée h=0.01 x,y=euler(0,20,array((pi/6,0)),0.01,f) for i in range(len(x)): u=[y[i][0] for i in range(len(y))] v=[y[i][1] for i in range(len(y))] plt.plot(x,u) plt.plot(u,v) plt.show()Exercice 7
Pour une équation du typex0(t) =f(x(t);t), on utilise la fonctionodeintde scipy.integrate.from math import sin, pi
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import scipy.integrate as integ def f(u,t): return [u[1],-5 *sin(u[0])-0.5*u[1]] t=np.linspace(0,20,num=400) sol=integ.odeint(f,[pi/6,0],t) plt.subplot(2,1,1) plt.grid() plt.plot(t,sol[:,0]) # angle fonction de t plt.subplot(2,1,2) plt.grid() plt.plot(sol[:,0],sol[:,1]) #diagramme de phase plt.show()Serge Bays6Lycée Les Eucalyptusquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] equations différentielles exercices corrigés pdf
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