[PDF] Equations différentielles non linéaires

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 erfévrier 2013 Enoncés1Equations différentielles non linéaires

Etude qualitative

Exercice 1[ 00430 ][correction]

Soit

E:y?=x2+y2

a) Justifier l"existence d"une unique solution maximaleydeEvérifianty(0) = 0. b) Montrer queyest une fonction impaire. c) Etudier la monotonie et la concavité dey. d) Montrer queyest définie sur un intervalle borné deR. e) Dresser le tableau de variation dey.

Exercice 2[ 00431 ][correction]

a) Montrer que le problème de Cauchy ?y ?=11 +xy y(0) = 0 possède une solution maximale unique. b) Montrer que celle-ci est impaire et strictement croissante. c) Etablir enfin qu"elle est définie surR. d) Déterminer la limite en+∞de cette solution. e) On note?la bijection réciproque de cette solution. Exprimer?à l"aide d"une intégrale en formant une équation différentielle vérifiée par cette fonction.

Exercice 3[ 00432 ][correction]

On considère le problème différentiel :

?y?= cos(xy) y(0) =y0 a) Justifier l"existence d"une unique solution maximaley. b) En observant y(x) =y0+? x 0 cos(ty(t))dt montrer queyest définie surR.Exercice 4[ 00434 ][correction] Justifier qu"il existe une solution maximale à l"équation différentielle y ?=x+y2 vérifianty(0) = 0et que celle-ci est développable en série entière au voisinage de 0.

Exercice 5[ 00435 ][correction]

On considère l"équation

E:y?=x+y2

a) Quel est le lieu des points où les solutions de(E)présentent une tangente horizontale? b) Décrire le lieu des points d"inflexion?

Exercice 6[ 00437 ][correction]

On considère l"équation différentielle

E:xy?=x+y2sur]0,+∞[

a) Montrer que les solutions sont définies sur des intervalles bornés deR+?. b) Etudier le comportement d"une solution maximale aux bornes de son intervalle de définition.

Exercice 7Centrale MP[ 02456 ][correction]

On notefla solution maximale de

dydx= e-xy telle quef(0) = 0. a) Montrer quefest impaire. b) Montrer quefest définie surR. c) Montrer quefpossède une limite finieaen+∞. d) Montrer quea >1. e) Montrer qu"en+∞: f(x) =a-1a e-ax+o?e-ax? Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 erfévrier 2013 Enoncés2Exercice 8Centrale MP[ 02457 ][correction] Soitλ?]-1,1[. On s"intéresse à l"équation différentielle avec retard : (E) :f?(x) =f(x) +f(λx) L"inconnue est une fonction dérivable deRdansR. a) Soitfune solution de(E); montrer quefest de classeC∞puis développable en série entière surR. b) Expliciter les solutions de(E). c) Montrer que n? k=0(1 +λk)tend vers une limite finie, non nulle, notéeK(λ) quandntend vers∞. d) Montrer que,fétant une solution non nulle de(E), f(x)≂x→+∞K(λ)f(0)ex

Exercice 9Centrale MP[ 02458 ][correction]

Soita?R. Pourα?R, on notePαle problème

x ?= cos(x2+ sin(2πt))-aetx(0) =α a) Soitα?R. Montrer l"existence d"une solution maximalexαdePα. b) Que dire des intervalles de définition des solutions maximales? c) Pour|a|>1, donner les variations et les limites aux bornes des solutions.

On suppose|a|<1.

d) Montrer que, pour toutA >0, il existeM(A)>0tel que pour tout

α?[-A,A]et toutt?[0,1],|xα(t)|6M(A).

e) Montrer que, pour tout(α,β)?[-A,A]2et toutt?[0,1]: |xα(t)-xβ(t)|6|α-β|+ 2M(A)? t 0 |xα(u)-xβ(u)|du f) En déduire :

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02899 ][correction]

Soit une fonction?de classeC1surR2et bornée.

Soityune solution maximale de l"équation différentielle y ?=?(x,y) Montrer queyest définie surR.Exercice 11X MP[ 02979 ][correction]

On considère l"équation

y ?=x+y2 Soityune solution maximale définie sur un intervalleI. a) Montrer queIest majoré. On poseb= supI. b) Montrer queyest croissante au voisinage deb. Quelle est la limite deyenb? c) Trouver un équivalent deyau voisinage deb.

Exercice 12[ 03344 ][correction]

On étudie l"équation différentielle

(E) :y?=x3+y3 Soityune solution maximale de l"équation différentielle(E)définie en 0 et vérifianty(0)>0. a) Justifier queyest définie sur un intervalle ouvert]α,β[. b) Montrer queyest croissante sur[0,β[. c) Etablir queβest réel. d) Déterminer la limite deyenβ-.

Exercice 13[ 03503 ][correction]

Soitfla solution maximale sur]α,β[du problème de Cauchy y ?=x+1y avecy(0) =a >0

Montrer queβ= +∞.

Résolution d"équations non linéaires

Exercice 14[ 00438 ][correction]

Déterminer les solutions ne s"annulant pas de l"équation différentielle y ?+ 2y-(x+ 1)⎷y= 0 On pourra réaliser le changement de fonction inconnuez=⎷y. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 erfévrier 2013 Enoncés3Exercice 15[ 00439 ][correction] Résoudre sur tout intervalleInon vide l"équation xy ?=y(1 + lny-lnx)

Exercice 16[ 00440 ][correction]

a) Résoudre sur tout intervalle y ?+ex-y= 0 b) Préciser les solutions maximales.

Exercice 17[ 00441 ][correction]

a) Résoudre sur tout intervalle xy ?-(y2+ 1) = 0 b) Préciser les solutions maximales.

Exercice 18[ 00442 ][correction]

a) Résoudre sur tout intervalleInon vide l"équation

E:y?= 2x(1 +y2)

b) Préciser les solutions maximales

Exercice 19[ 00443 ][correction]

a) Résoudre sur tout intervalleInon vide l"équation yy ?-y?= ex b) Préciser les solutions maximales.

Exercice 20[ 00444 ][correction]

Résoudre sur tout intervalleInon vide l"équation yy ?=xExercice 21Mines-Ponts MP[ 02898 ][correction]

Déterminer les solutions de

yy ??= 1 +y?2

Exercice 22X MP[ 03069 ][correction]

Résoudre l"équation différentielle

xy ?=?x

2+y2+y

Exercice 23X MP[ 03085 ][correction]

Résoudre, poury? C2(R,R)l"équation différentielle ??????y ?y??y y ??y y? y y ?y??? ?????= 0

Equations autonomes

Exercice 24[ 00445 ][correction]

Résoudre l"équation différentielle

y ?= 1 +y2

Exercice 25[ 00446 ][correction]

Résoudre l"équation différentielle

y ?=y2

Exercice 26[ 00447 ][correction]

Résoudre l"équation différentielle

y ?=y(y-1)

Exercice 27[ 00448 ][correction]

Résoudre sur tout intervalle

y ?+ ey= 0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 erfévrier 2013 Enoncés4Exercice 28[ 00449 ][correction]

Résoudre sur tout intervalle

y ?siny=-1

Exercice 29[ 00450 ][correction]

Résoudre surRl"équation différentielle

y ?=|y|

Exercice 30Centrale MP[ 03055 ][correction]

On considère l"équation différentielle

E:y?=y2+y+ 1

a) Existe-t-il des solutions deEsurR? b) RésoudreE, trouver ses solutions maximales et montrer qu"elles sont définies sur un intervalle borné dont on déterminera la longueur.

Exercice 31[ 00451 ][correction]

Soientf:R→Rune fonction continue strictement positive etx0?R. a) SoitFla primitive de1/fs"annulant enx0. Montrer queFréalise une bijection deRsur un certain intervalle ouvertI. b) Etablir queF-1est solution surIde l"équation différentiellex?=f(x) vérifiant la condition initialex(0) =x0. c) Justifier que cette solution est maximale.

Exercice 32[ 00452 ][correction]

Déterminer les solutions au problème de Cauchy ?y??= 2y+ 2y3 y(0) = 0,y?(0) = 1

Exercice 33[ 00453 ][correction]

On souhaite résoudre le problème de Cauchy formé par l"équation différentielle y ??+|y|= 0et les conditions initialesy(0) =aety?(0) = 0(aveca?R). On admet que ce problème de Cauchy admet une solution unique définie surR. a) Montrer que pour tout réelx, y(x)6a b) Déterminerylorsquea?R-.

On suppose désormaisa >0.

c) Montrer queys"annule en exactement deux pointsb-<0etb+>0dont on précisera les valeurs. d) Achever la résolution du problème de Cauchy.

Exercice 34Centrale MP[ 03452 ][correction]

a) Avec Maple, trouver la solution maximale du problème x ?(t) =ax(t)2,x(0) = 1 poura?R. Vérifier et justifier le résultat obtenu, donner l"intervalle de définition.

PourA? Mn(R)

(E):X?(t) =X(t)AX(t),X(0) =In pour d"inconnuet?→X(t)? Mn(R). b) On suppose qu"il existek?Ntel queAk=Oet que pour touttdans l"intervalle de définition d"une solutionX,X(t)commute avecA.

CalculerX. Que vautX(t)-1?

c) On suppose que pour touttdans l"intervalle de définition d"une solutionX, X(t)est inversible. L"applicationt?→X(t)-1est-elle dérivable? Quels sont ses coefficients? ExprimerX(t)

Exercice 35[ 03500 ][correction]

Déterminer les solutions surRde l"équation

y ?=?|y|

Exercice 36Mines-Ponts MP[ 02917 ][correction]

Trouver l"image du cercle unité parf:C\?j,j2?→Cdéfinie par f:z→11 +z+z2 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 erfévrier 2013 Enoncés5Exercice 37[ 03507 ][correction] Déterminer les fonctionsyde classeC2vérifiant y ??= sin(y),y(0) =π/2ety?(0) =⎷2 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 erfévrier 2013 Corrections6Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

a) La fonctionf: (x,y)?→x2+y2est de classeC1sur l"ouvertU=R2. Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l"existence d"une solution maximale unique au problème de Cauchy posé, solution définie sur un intervalle ouvertIcontenant 0. plot(rhs(%),x=-1.5..1.5);La solution dey?=x2+y2vérifianty(0) = 0 b) Soitz:x?→ -y(-x)définie surI?symétrique deIpar rapport à0. zest dérivable et est encore solution du problème de Cauchy précédent.

DoncI??Iet?x?I?,z(x) =y(x).

Or puisqueI?est le symétrique deI, on observeI?=Ipuisz=y. c)y?(x)>0doncyest croissante, négative surR-et positive surR+. yest deux fois dérivable ety??(x) = 2x+ 2y?(x)y(x) = 2x+ 2(x2+y2(x))y(x). y ??est négative surR-et positive surR+d"où la concavité dey. d) Par l"absurde, siyn"est pas définie sur un intervalle borné deR, c"est qu"elle est définie surR(car elle est impaire). Mais alors?x>1,y?(x)>1 +y2(x)donc en intégrant, il existeC?Rtel que pour toutx>1,arctany(x)>x+C. Ceci est absurde.

e)yest définie, impaire, croissante surI= ]-a,a[aveca?R.Reste à étudierlimx→a-y(x). Cette limite existe compte tenu de la monotonie de

y(x)et soit réelle, soit+∞. Silimx→a-y(x) =??Ralors posonsy(a) =?.yest alors continue sur]-a,a]. De plusy?(x)→a2+?2?Rdonc ce prolongement estC1sur]-a,a]et vérifie l"équation différentielle ena.

Ceci est absurde caryest solution maximale.

Par suitelimx→a-y(x) = +∞.

Exercice 2 :[énoncé]

a)f(x,y) =11+xyest une fonction de classeC1sur l"ouvertR2\{(x,y)/xy=-1}. Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l"existence d"une solution maximale unique au problème de Cauchy posé. De plus celle-ci est définie sur un intervalle ouvert]α,β[avecα,β?¯R,α <0< β. b) Considéronsz(x) =-y(-x)définie sur]-β,-α[. Aisément on observe quez est solution du problème de Cauchy posé et est donc restriction de la solution maximaley. On en déduit]-β,-α[?]α,β[doncα=-βety(-x) =-y(x)pour toutx?]-β,β[.

Montrons queyest strictement croissante.

La fonctionyest de classeC1ety?=11+xyne s"annule pas doncyest strictement monotone. Puisquey(0) = 0, on ay?(0) = 1et doncyest strictement croissante. c) De ce qui précède découle queyest positive surR+. Montrons queβ= +∞.

Par l"absurde supposonsβ?R+?.

Pour toutx?[0,β[,

y(x) =? x 0 y?(t)dt=? x

0dt1 +ty(t)6?

x 0 dt6β donc la fonctionyest croissante et majorée, elle admet par conséquent une limite finie enβ. Ceci permet de prolongeryen une solution sur]-β,β]ce qui contredit la maximalité dey. On conclut queβ= +∞. d) Puisque la solutionyest croissante, elle admet une limite?en+∞avec ??R+?? {+∞}.

Par l"absurde supposons??R+?.

On a y(x) =? x

0dt1 +ty(t)

Quandt→+∞11 +ty(t)≂1?t

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1

erfévrier 2013 Corrections7Par comparaison de fonctions positives, on peut affirmer la divergence de

l"intégrale? [0,+∞[dt1 +ty(t) puis, par intégration d"une fonction positive non intégrable y(x) =? x

0dt1 +ty(t)-----→x→+∞+∞

e) Par ce qui précède, on peut affirmer queyest bijection deRversRde classeC1 dont la dérivée ne s"annule pas. Sa bijection réciproque?est donc de classeC1et sa dérivée vérifie ?(x) =1y ?◦?(x)= 1 +?(x)x Après résolution de cette équation différentielle linéaire avec la condition initiale ?(0) = 0, on obtient ?(x) = ex2/2? x 0 e-t2/2dt

Exercice 3 :[énoncé]

a)y?=f(x,y)avecf(x,y) = cos(xy)de classeC1surR2. Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l"existence d"une solution maximale unique définie sur un intervalle ouvertI= ]a,b[contenant 0. b)y(x)-y0=y(x)-y(0) =?x

0y?(t)dt=?x

0cos(ty(t))dt.

Supposonsb <+∞.?

[0,b[cos(ty(t))dtest définie en tant qu"intégrale d"une fonction bornée sur un intervalle borné.

Quandx→b-, on ay(x)→y0+?b

0cos(ty(t))dt=?.

Posonsy(b) =?de sorte de prolongerypar continuité. Quandx→b-,y?(x)→cos(bx)?Rdoncy?(b) = cos(b?) = cos(by(b)). On obtient alors une solution de l"équation différentielle définie sur]a,b].

Cela contredit la maximalité dey. Absurde.

Ainsib= +∞et de mêmea=-∞.

Exercice 4 :[énoncé]

L"équation différentielle est de la formey?=f(x,y)avecf(x,y) =x+y2fonction de classeC1surR2. Le Théorème de Cauchy-Lipschitz assure l"existence et l"unicité d"une solution maximale au problème de Cauchy posé.Supposons que ?anxnest une série entière de rayon de convergenceR >0et de somme solution du problème de Cauchy posé. On aa0= 0et sur]-R,R[, n=0(n+ 1)an+1xn=x++∞? n=0? n? k=0a kan-k? x n. Par unicité des coefficients d"une série entière de rayon de convergence>0: a

0=a1= 0,a2= 1/2puis?n>2,an+1=1n+1n

k=0a kan-k. Ces relations déterminent une suite(an)unique et de plus on observe|an|61de sorte que la série entière?anxndéfinie par la suite(an)est de rayon de convergenceR>1et ainsi les calculs qui précèdent assurent que sa somme est effectivement solution du problème de Cauchy posé.

Exercice 5 :[énoncé]

a) Si une solution deEprésente une tangente horizontal en un point d"abscissex alorsy?(x) = 0et doncx+y2(x) = 0. Un tel point figure sur la courbe d"équation x+y2= 0. Inversement, pour un point de cette courbe, le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l"existence d"une solution passant par ce point, solution qui présentera évidemment une tangente horizontale en celui-ci. b) Par récurrence, une solution deEest une fonctions de classeC∞vérifiant y ??= 1 + 2yy?= 1 + 2y(x+y2). Un point d"inflexion d"une solution deEfigure alors obligatoirement sur la courbe d"équation1 + 2y(x+y2) = 0. Inversement, pour un point de cette courbe il existe une unique solution deEpassant par ce point et cette solution y vérifiey??(x) = 0ainsi que y (3)(x) = 2(x+y2)2+ 2y(1 + 2y(x+y2)) = 2(x+y2)2?= 0. La courbe présente donc une inflexion en ce point.

Exercice 6 :[énoncé]

a) Soityune solution maximale deEdéfinie sur un intervalleI?]0,+∞[.

Soita?I, pourx>a,y?(x)a+y2(x)>1x

donc1⎷a arctany(x)⎷a >lnx+CsurI. Puisque la fonctionarctanest bornée, l"intervalleIl"est aussi. b) Notonsα < βles extrémités deI.I= ]α,β[.

La fonctionyest croissante surI.

La fonctionyne peut converger enβ-car sinon on pourrait prolongeryen une solution deEsur]α,β]ce qui contredirait la maximalité dey. Par suiteycroît vers+∞enβ-. Siα >0, pour les mêmes raisons que ci-dessus,yne peut converger enα+et donc ytend vers-∞enα+.

Siα= 0. Puisquey?y

2=1y 2+1x ,1y(x)-1y(a)=?a xdty

2(t)+ lnax

Par la monotonie dey, nous sommes assurés de l"existence d"une limite en0+. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 erfévrier 2013 Corrections8Siyne tend pas vers 0 en0+alors? ]0,a]dty

2(t)converge et l"identité précédente

donne une absurdité quandx→0+.

Ainsiyconverge vers 0 en0+.

Exercice 7 :[énoncé]

a) On introduitg:x?→ -f(-x)et on observe quegest solution du problème de Cauchy caractérisant la solution maximalef,gest donc une restriction defet cela permet d"affirmer l"imparité def. b) Supposonsfdéfinie sur]-b,b[avecb?R+? f ?(x)>0,fest croissante donc positive sur[0,b[. f(x) =? x 0 f?(t)dt=? x 0 e-tf(t)dt Ort?→e-tf(t)est bornée donc intégrable sur[0,b[.fadmet donc une limite finie enbet cela permet de prolongerfen une solution sur[0,b]ce qui contredit la maximalité def. c) f(x) =? x 0 f?(t)dt=? x 0 e-tf(t)dt avect2e-tf(t)----→t→+∞0carfest strictement croissante et positive. Par suitef converge en+∞vers a=? 0 e-tf(t)dt d) Par croissance,f(x)6adonca>?+∞

0e-atdtce qui donnea2>1puisa>1.

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