[PDF] cours-exo7-complement.pdf Cours et exercices de maths

View - Download cours-exo7-complement.pdf

Previous PDF

Next PDF

Cours de mathématiques

Première année

ComplémentsExo7

2

SommaireExo7

1Zéros des fonctions. ...............................................5

1

La dichotomie

5 2

La méthode de la sécante

10 3

La méthode de Newton

14

2Algorithmes et mathématiques. .................................19

1

P remierspas avec ??????.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2

Écriture des entiers

24
3

Calculs de sinus, cosinus, tangente

30
4

L esr éels

34
5

Arithmétique - Algorithmes r écursifs

39
6

P olynômes- Comple xitéd"un algorithme

45

3Cryptographie. ..................................................51

1

L echiffrement de César

51
2

L echiffrement de V igenère

56
3

La machine Enigma et les clés secr ètes

59
4

La cr yptographieà clé publique

65
5

L "arithmétiquepour RS A

68
6

L echiffrement RS A

72

4La chaînette. ....................................................79

1

L ecosinus hyperbolique

80
2

Équation de la chaînette

83
3

L ongueurd"une chaînette

88

5La règle et le compas. ...........................................95

1

Constructions et les tr oispr oblèmesgrecs

95
2 L esnombres constructibles à la r ègleet au compas 100
3

Éléments de théorie des corps

107
4

Corps et nombres constructibles

111
5

Applications aux pr oblèmesgrecs

115

6Leçons de choses. ..............................................119

1

T ravailleravec les vidéos

119
2

Alphabet grec

121
3

Écrire des mathématiques : L

ATEX en cinq minutes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4 F ormulesde trigonométrie : sinus, cosinus, tangente 124
5 F ormulaire: trigonométrie circulaire et hyperbolique 130
6

F ormulesde développements limités

133
7

F ormulaire: primitives

134 3

4SOMMAIRE

Cours et exercices de maths

1 Zéros des fonctionsExo7

?????ç?????? ?? ?? ??????? ?? ??????Dans ce chapitre nous allons appliquer toutes les notions précédentes sur les suites et les fonctions,

à la recherche des zéros des fonctions. Plus précisément, nous allons voir trois méthodes afin de

trouver des approximations des solutions d"une équation du type (f(x)AE0). 1.

La dichotomie

1.1.

Principe de la dichotomie

Le principe de dichotomie repose sur la version suivante duthéorème des valeurs intermé- diaires:Théorème 1 Soitf:[a,b]!Rune fonction continue sur un segment. Sif(a)¢f(b)É0, alors il existe`2[a,b] tel quef(`)AE0.

La conditionf(a)¢f(b)É0 signifie quef(a) etf(b) sont de signes opposés (ou que l"un des deux est

nul). L"hypothèse de continuité est essentielle!xy a f(a)Ç0bf(b)È0` xy af(a)È0b f(b)Ç0`

Ce théorème affirme qu"il existe au moins une solution de l"équation (f(x)AE0) dans l"intervalle

[a,b]. Pour le rendre effectif, et trouver une solution (approchée) de l"équation (f(x)AE0), il s"agit

maintenant de l"appliquer sur un intervalle suffisamment petit. On va voir que cela permet d"obte- nir un`solution de l"équation (f(x)AE0) comme la limite d"une suite.

6Zéros des fonctionsVoici comment construire une suite d"intervalles emboîtés, dont la longueur tend vers 0, et conte-

nant chacun une solution de l"équation (f(x)AE0). On part d"une fonctionf:[a,b]!Rcontinue, avecaÇb, etf(a)¢f(b)É0. Voici la première étape de la construction : on regarde le signe de la valeur de la fonctionf appliquée au point milieu aÅb2 -Sif(a)¢f(aÅb2 )É0, alors il existec2[a,aÅb2 ] tel quef(c)AE0. Sif(a)¢f(aÅb2)È0, cela implique quef(aÅb2)¢f(b)É0, et alors il existec2[aÅb2 ,b] tel que f(c)AE0.xy a baÅb2f(aÅb2 )È0xy a baÅb2 f(aÅb2 )Ç0 Nous avons obtenu un intervalle de longueur moitié dans lequel l"équation (f(x)AE0) admet une solution. On itère alors le procédé pour diviser de nouveau l"intervalle en deux.

Voici le processus complet :

Au rang 0 :

On posea0AEa,b0AEb. Il existe une solutionx0de l"équation (f(x)AE0) dans l"intervalle [a0,b0].

Au rang 1 :

-Sif(a0)¢f(a0Åb02 )É0, alors on posea1AEa0etb1AEa0Åb02 -sinon on posea1AEa0Åb02 etb1AEb. Dans les deux cas, il existe une solutionx1de l"équation (f(x)AE0) dans l"intervalle [a1,b1].

Au rang n:

supposons construit un intervalle [an,bn], de longueurb¡a2 n, et contenant une solutionxnde l"équation (f(x)AE0). Alors : -Sif(an)¢f(anÅbn2 )É0, alors on poseanÅ1AEanetbnÅ1AEanÅbn2 -sinon on poseanÅ1AEanÅbn2 etbnÅ1AEbn. Dans les deux cas, il existe une solutionxnÅ1de l"équation (f(x)AE0) dans l"intervalle [anÅ1,bnÅ1].

À chaque étape on a

a nÉxnÉbn. On arrête le processus dès quebn¡anAEb¡a2 nest inférieur à la précision souhaitée.

Comme (an) est par construction une suite croissante, (bn) une suite décroissante, et (bn¡an)!0

lorsquen!Å1, les suites (an) et (bn) sont adjacentes et donc elles admettent une même limite.

D"après le théorème des gendarmes, c"est aussi la limite disons`de la suite (xn). La continuité de

fmontre quef(`)AElimn!Å1f(xn)AElimn!Å10AE0. Donc les suites (an) et (bn) tendent toutes les deux vers`, qui est une solution de l"équation (f(x)AE0). 1.2.

Résultats numériques pour

p10 Nous allons calculer une approximation dep10. Soit la fonctionfdéfinie parf(x)AEx2¡10, c"est une fonction continue surRqui s"annule en§p10. De plusp10est l"unique solution positive de

Zéros des fonctions7l"équation (f(x)AE0). Nous pouvons restreindre la fonctionfà l"intervalle [3,4] : en effet 32AE9É10

donc 3Ép10et 42AE16Ê10 donc 4Êp10. En d"autre termesf(3)É0 etf(4)Ê0, donc l"équation

(f(x)AE0) admet une solution dans l"intervalle [3,4] d"après le théorème des valeurs intermédiaires,

et par unicité c"estp10, donc p102[3,4]. Notez que l"on ne choisit pas pourfla fonctionx7!x¡p10car on ne connaît pas la valeur dep10.

C"est ce que l"on cherche à calculer!xy

343.53.253.125Voici les toutes premières étapes :

1. On posea0AE3 etb0AE4, on a bienf(a0)É0 etf(b0)Ê0. On calculea0Åb02

AE3,5 puisf(a0Åb02) :

f(3,5)AE3,52¡10AE2,25Ê0. Doncp10est dans l"intervalle [3;3,5] et on posea1AEa0AE3 et b1AEa0Åb02

AE3,5.

2. On sait donc quef(a1)É0 etf(b1)Ê0. On calculef(a1Åb12)AEf(3,25)AE0,5625Ê0, on pose a2AE3 etb2AE3,25. 3. On calculef(a2Åb22)AEf(3,125)AE¡0,23...É0. Commef(b2)Ê0 alors cette foisfs"annule sur le second intervalle [a2Åb22 ,b2] et on posea3AEa2Åb22

AE3,125 etb3AEb2AE3,25.

À ce stade, on a prouvé : 3,125Ép10É3,25.

Voici la suite des étapes :

a

0AE3b0AE4

a

1AE3b1AE3,5

a

2AE3b2AE3,25

a

3AE3,125b3AE3,25

a

4AE3,125b4AE3,1875

a

5AE3,15625b5AE3,1875

a

6AE3,15625b6AE3,171875

a

7AE3,15625b7AE3,164062...

a

8AE3,16015...b8AE3,164062...

Donc en 8 étapes on obtient l"encadrement :

3,160Ép10É3,165

En particulier, on vient d"obtenir les deux premières décimales : p10AE3,16... 1.3.

Résultats numériques pour (1,10)1/12

Nous cherchons maintenant une approximation de (1,10)1/12. Soitf(x)AEx12¡1,10. On posea0AE1 etb0AE1,1. Alorsf(a0)AE¡0,10É0 etf(b0)AE2,038...Ê0.

8Zéros des fonctions

a

0AE1b0AE1,10

a

1AE1b1AE1,05

a

2AE1b2AE1,025

a

3AE1b3AE1,0125

quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

[PDF] algorithme de dichotomie seconde PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] algorithme de dichotomie terminale s PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] Algorithme de dichotomie, encadrement damplitude

[PDF] algorithme de dijkstra PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] algorithme de dijkstra exercice corrigé PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] algorithme de ford plus long chemin PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] Algorithme de héron Terminale Mathématiques

[PDF] Algorithme de mathématiques 2nde Mathématiques

[PDF] Algorithme de maths 1ère Mathématiques

[PDF] Algorithme de maths 2nde Mathématiques

[PDF] Algorithme de mesure d'angle 1ère Mathématiques

[PDF] Algorithme de niveau Seconde 2nde Mathématiques

[PDF] algorithme de parcours en largeur PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] algorithme de parcours en profondeur en c PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] ALGORITHME DE PILE OU FACE svp essayer de me faire comprendre cette algorithme 2nde Mathématiques