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Livret dexercices Théorie des Graphes et Recherche Opérationnelle
Cette série s'étoffera au cours du temps. Elle contient aussi les exercices donnés lors des contrôles des années précédentes. 1 Environnement des graphes.
TDn° 2-Terminal eES Spé-LesGraphes
TDn °2-Termin ale ESSpé
LesGraph es
Lesexer cicesidentifiésparlesymbole(c)sontintégralementcorrigésenfindeTD,pourlesautres,unlienve rslapageducorrigé
estprop osésurlesitewww.math9 3.com.Troisièmepartie
Graphespondérésetal gorithmedeDijkstra
Exercice1.Antillesjuin2 016(c )
Destour istessontlogésdansunhôtelH .
Ungu idesouhaitefair evisiterlarégionàcestou ristesen empruntantlesroutessignalées commed 'intérêttouris- tiqueparl'o fficedutouri sme. Lestron çonsderoutequ'ilsouhaite emprun tersontre- présentéssurlegrapheci-con tre. Lelo ngdechaquear êtefigu reladistanceen kilomètres desdiffé rentstronçons. B G H C D E F 12 9 213 9 13 20 8 7 5 11 1.
1.a. Legu idepeut-ilempru ntertouslestronçonsd erouteenpassantunee tuneseule foissu rchacund' eux,enpartantde
l'hôteletenyrevenan t?Just ifierl aré ponse.1.b. Legu idepeut-ilempru ntertouslestronçonsd erouteenpassantunee tuneseule foissu rchacund' eux,enpartantde
l'hôtelmaissansforc émentyreven ir?Justifierl aréponse.2.Unmu séeestsituéenE. Détermin erlepluscourtch eminme nantdel'hôtelHaumuséeE.Justifierlaréponse.
Exercice2.Asie2016-partie3( c)
Onor ienteetonpondèrele graphe Gci-dessuspourqu'ilreprés enteunréseau d'irrigation. ACFIK BEH DGJ 2 5 3 3 2 5 3 4 5 6 2 4 5 2 1 2 3 3 5•LesommetAcorrespondaudépartd'eau,les ommetKaubas sind'infiltration etlesautressommetsreprésententles
stationsderégulatio n. •Lesarêtesreprésententlescanauxd'irrigationetlesflèches,lesens duruis sellement. •Lapondérationdonne,enkm,lesdistancesentrelesdifférentessta tionsduréseau. www.math93.com/M.Duffaud1/6TDn° 2-Terminal eES Spé-LesGraphes
Exercice3.Centresétrangers2 016
Unecomp agnieaérienneutilisehuitaé roportsquel'onnommeA,B,C,D,E,F,GetH. Entrecertai nsdecesaéroports,lac ompag nieprop osedesvolsda nslesdeuxsens. Cettesituatio nestreprésentéeparlegraphe Γci-contre,danslequel: •lessomme tsreprésententlesaér oports, •lesarête sreprésententlesliaiso nsassuréesdanslesdeuxsensparla compagnie . Lesarêt essontpondéréespar lecoûtdechaq uevol,exprimé eneuro s. Unvo yageurpartantdel'aéropo rtAdoitserendreàl'aér oport G. Enutili santl'algorithme deDijkstra,déterminerletrajetle moinscher. A B C D E F G H 40100
45
110
50
120
60
50
40
55
80
90
Réponses
Lech eminlemoinscheres tde195 e:A
45-→E 40
-→D 60
-→C 50
-→G Voirlacor rectio ndétailléesurwww.math93.com
Exercice4.PolynésieSeptembre 2015(c)
Unr éseaudenavettesgra tuites estmisenplace
entredespa rkingssitués auxabordsdelavilleet lesprinc ipauxsitesdelaville.Legr apheci-contreind iquelesvoiesetlestemps
desliai sons,enminutes,entrecesdiff érents sites. A B C D E F GP 5579
68
354
9 6 4 8 5 7 10
1.Peut-onenvisagerun itinérairequirelieraitlepa rkingP àlaga reGendesservant uneet uneseulefo istouslessites?
2.Peut-onenvisagerun itinérairequiemprunteraitu neetun eseulefois touteslesvoies?
3.Détermineruntrajetdeduréemin imale pourserendredupark ingPàla ga reG .
www.math93.com/M.Duffaud2/6TDn° 2-Terminal eES Spé-LesGraphes
Exercice5.Métropole2015(Parti e3)
Uncl ubalpinsouha iteproposeràse smembresdesrandonnéesdepl usieursjoursdanslesAlpes.Àc eteffet,hui trefuges
notésA,B, C,D,E,F ,GetHont étésélectionnés .Leg rapheGdela partie Apermetdevisualise rle sdifférentsitinérai respo ssibles,lessommetsreprésentantlesref ugesetles
arêtesschématisant touslessentiersderandonnéebalis éslesrelia nt. Leg rapheGestcomp létéci-dessousparlalongueur enkilomètresdechacundes sentiers. A B C D E F G H 12 14 16 11 219 11 16 10 10 13 10 Lecl ubalpindésir eaussiproposer àsesmembresl'itiné rairel eplusc ourtreliantAà H. Déterminercetitinéraireeten préciserl alongueurenkilomètres.
Réponses
Lech eminlepluscourtes tde32k ilomètres:A
12 -→B 9 -→F 11 -→H.Voirlacor rectio nsurwww.math93.com
Exercice6.Asie2015(Partie3)
Laco opérativeLAFRUITIEREcollectelela itde7exploitationsdemon tagne. Lasituationgéographiquees trepré sentéepar
legr apheci-dessous,notéG L .LacoopérativeestsituéeausommetA,lesautressommetsB,C,D, E,F,Get Hreprésen tentles différentesexploitations;lesar êtesreprésententleréseauroutierr eliantcesexplo itations.Lesarêt essontpondéréespar lesdistance sentrelesexploitations,expriméesenkilo mètres.Lacoopérativedo itc ollecterdu
laitprovena ntdel'exploitationD;quele stleplusco urtparcourspourserendre deAàD?Justi fier. AB C D E F G H 19 6 10 13 20 7 7 6 2515 13 5 14 12 8
Réponses
Lech eminlepluscourtes tdelon gueur31km:A
10 -→F 8 -→H 13 -→D Voirlacorr ection détailléesurwww.math93.com www.math93.com/M.Duffaud3/6TDn° 2-Terminal eES Spé-LesGraphes
Correction
CorrectionGraphespondéréset algorithmedeDijkstraCorrectiondel'exercice1:Antilles2016
Destour istessontlogésdansunhôtelH .Unguidesouh aitefairevisite rla régionàcestouriste sen emprunt antlesroutessignaléesco mmed' intérêt touristiqueparl'officedutourisme .Lestron çonsderoutequ'ilsouha iteem- pruntersontreprése ntéssurlegra pheci-contre.Lelongdechaquearêtefi- gureladist anceen kilomètresdesdifférents tronço ns. B G H C D E F 12 9 213 9 13 20 8 7 5 11
1.1.a .Le guidep eut-il empruntertousl estronçonsderouteenpa ssantuneetuneseulefois surchacun d'eu x,enpar-
tantdel'hôteleten yrevenant?Justifi erlaréponse .Rechercheruncheminquipartd' unsomm et,quipassepartou tesles arêtesuneseul efoisetquirev ientau sommetde
départ,c'estcherche runcycleeulérie ndanslegraphe.D'aprèslethéo rèmed' EULER,ungrapheconnexepossèdeuncycle
eulériensietseulem entsitousl esso mmetssontdedegr éspairs.•LegrapheestconnexecarlachaîneBGEFCDHparexemplecontienttous lessommetsdugr aphe(n onorienté).
•Oncherchelesdegrésdessommets:SommetsHBCDEFG
Degrés3243244
Ilya deux som metsdedegré simpairs,donciln'yapa sdec ycleeulériendansceg raphe. d'eux,enpartantd el'hôt eletenyrevenant.1.b. Leguid epeut-ilempruntertou slestronçonsderouteenpassantuneetuneseulefoissur chacund'eux,en partant
del' hôtelmaissansforcém entyrevenir ?Justifierlaréponse.Leg uidesouhaitepart irdel'hôteletparcouri rtouslestronçonsderoute sansforc émentreveniràl' hôtel;il s'agitalorsde
trouverunechaîneeuléri enneda nscegraphe.D'aprèslethéorèmed' EULER,ungrapheconnexecontientunechaîneeulériennesietseulementsiexa ctementzéro ou
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