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exemple un plan). Autrement dit on cherche à définir k nouvelles variables combinaisons linéaires des p variables initiales qui feront.



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1 2 Exemple illustratif pour l'A C P ceux fournis par la plupart des logiciels de statistique (en particulier SPSS S-plus ou R) Le tableau initial

  • Comment faire l'ACP sur SPSS ?

    Sélectionner les variables numériques choisies pour l'ACP (minimum : 2 variables) parmi celles figurant dans la liste source en les transférant dans la liste des Variables à l'aide du bouton. Il suffit alors de cliquer sur le bouton OK pour effectuer une analyse factorielle avec les paramètres prévus par défaut.

  • Comment faire l'analyse ACP ?

    Elle prend des valeurs entre 0 (pas corrélé du tout) et 1 (fortement corrélé). Si cette valeur est proche de 1, alors le point est bien représenté sur l'axe. Les points situés près du centre sont donc généralement mal représentés par le plan factoriel. Leur interprétation ne peut donc pas être effectuée avec confiance.

  • Comment calculer l'ACP ?

    Représente la qualité de représentation des variables sur le graphique de l'ACP. Il est calculé comme étant les coordonnées au carré: var. cos2 = var. coord * var.
  • 1 L'analyse en composantes principales (ACP) est un outil extrêmement puissant de compression et de synthèse de l'information, très utile lorsque l'on est en présence d'une somme importante de données quantitatives à traiter et interpréter.

Publicationsde

l'InstitutdeMath ematiques deToulouse (pourlesnuls) (versiondemai2010)

AlainBaccini

2

Tabledesmatieres

1AnalyseenComposantesPrincipales5

2AnalyseFactorielledesCorrespondances15

3AnalysedesCorrespondancesMultiple27

3

4TABLEDESMATIERES

Avant-propos

grandeslignesdecestechniques.

Chapitre1

AnalyseenComposantes

Principales

lysesdesCorrespondances). tion). 5

Ongeneraliseennal'A.C.M.

1.2Exempleillustratifpourl'A.C.P.

parlesfacteurs). laplusobjectivepossible. disciplines.

1.2.1Presentation

physique,francais,anglais):

MATHPHYSFRANANGL

jean6.006.005.005.50 alan8.008.008.008.00 anni6.007.0011.009.50 moni14.5014.5015.5015.00 didi14.0014.0012.0012.50 andr11.0010.005.507.00 pier5.507.0014.0011.50 brig13.0012.508.509.50 evel9.009.5012.5012.00

1.2.EXEMPLEILLUSTRATIFPOURL'A.C.P.7

coupd'ilduphotographe...

1.2.2Resultatspreliminaires

Statistiqueselementaires

VariableMoyenneEcart-typeMinimumMaximum

MATH9.673.375.5014.50

PHYS9.832.996.0014.50

FRAN10.223.475.0015.50

ANGL10.062.815.5015.00

unpremierpasversl'analysemultivariee.

Coefficientsdecorrelation

MATHPHYSFRANANGL

MATH1.000.980.230.51

PHYS0.981.000.400.65

FRAN0.230.401.000.95

ANGL0.510.650.951.00

1.2.3Resultatsgeneraux

d'unevariablequantitative).

Matricedesvariances-covariances

MATHPHYSFRANANGL

MATH11.399.922.664.82

PHYS9.928.944.125.48

FRAN2.664.1212.069.29

ANGL4.825.489.297.91

Valeurspropres;variancesexpliquees

FACTEURVAL.PR.PCT.VAR.PCT.CUM.

128.230.700.70

212.030.301.00

30.030.001.00

40.010.001.00

40.301.00

Interpretation

1.2.4Resultatssurlesvariables

Correlationsvariables-facteurs

FACTEURS-->F1F2F3F4

MATH0.81-0.580.01-0.02

PHYS0.90-0.43-0.030.02

FRAN0.750.66-0.02-0.01

ANGL0.910.400.050.01

desvariablesdonneparlaFig.1.1. auxaxesdesgraphiques).

1.2.EXEMPLEILLUSTRATIFPOURL'A.C.P.9

A x e 2 -1.0-0.50.00.51.0

Axe 1-1.0-0.50.00.51.0

Fig.1.1{Representationdesvariables

dimensionspourinterpreterl'analyse.

Interpretation

lespresentonsmaintenant.

1.2.5Resultatssurlesindividus

jean0.11-8.61-1.4120.9929.191.830.970.03 alan0.11-3.88-0.504.225.920.230.980.02 anni0.11-3.213.476.174.0611.110.460.54 moni0.119.850.6026.8638.190.331.000.00 didi0.116.41-2.0512.4816.153.870.910.09 andr0.11-3.03-4.929.223.6222.370.280.72 pier0.11-1.036.3811.510.4137.560.030.97 brig0.111.95-4.205.931.5016.290.180.82 evel0.111.552.632.630.956.410.250.73 A x e 2 -5-4-3-2-101234567

Axe 1-10-8-6-4-20246810

Fig.1.2{Representationdesindividus

loin.

Interpretation

Var(C1)=1

99
X i=1(c1 i)2

1=8:61;sacontributionestdonc:

1

9(8:61)2

28:23100=29:19%:

1.3.PRESENTATIONGENERALEDELAMETHODE11

individuslesonta100%.

1.3Presentationgeneraledelamethode

noussemblenecessaire. appropries(q1.3.1Lesprincipes

Lesdonneesaanalyser

noteexj

X1XjXp

1x1 1xj 1xp 1. ix1 ixj ixp i. nx1 nxj nxp n

Leproblemeatraiter

Lecritereutilise

convenablementlesfacteurs.

Lamethode

C 1=a1

1X1+a2

1X2++ap

1Xp C 2=a1

2X1+a2

2X2++ap

2Xp tellesque: C doitrajouterlacontraintePp j=1(aj

1)2=1.

contenuedansC1).

1.3.PRESENTATIONGENERALEDELAMETHODE13

Etainsidesuite:::

facilesalireetainterpreter.

Centrageoureductiondesdonnees?

propresorthonormesdelamatriceR.

Commentaires

1.3.2Lesresultats

Resultatsgeneraux

variables.

Resultatssurlesvariables

interpretation. q=3.

Resultatssurlesindividus

commelesautressontassociesauxfacteurs. 1).

Chapitre2

AnalyseFactorielledes

Correspondances

descriptive.

2.1Principegeneraldel'A.F.C.

2.1.1Lesdonnees

toirementtouslem^emepoids1 15 y1yhycsommes x1n11n1hn1cn1+ x`n`1n`hn`cn`+ xrnr1nrhnrcnr+ sommesn+1n+hn+cn (lesn`+etlesn+h).

2.1.2Leprobleme

liaison. du`iemeprol-ligne f n`1 n`+;:::;n`hn`+;:::;n`cn`+g; etcelleduhiemeprol-colonne f n1h n+h;:::;n`hn+h;:::;nrhn+hg: particulieres.

2.1.3Lamethode

danslecascontraire. etcellesdeY. methode.

2.2.EXEMPLEILLUSTRATIF17

2.2Exempleillustratif

arrondisaladizainepres).

2.2.1Lesdonnees

Ellessontreproduitesci-dessous.

mentetlaS.A.U.(en1993).

INF05S0510S1020S2035S3550SUP50

ARIE870330730680470890

AVER82012602460333021702960

H.G.229010701420183012602330

GERS16508901350254020903230

LOT19401130175016607701140

H.P.2110117016401500550430

TARN17708201260201016802090

T.G.1740920156022109901240

encolonnes,6classes).

SUP50=plusde50hectares.

d'uneautre,retrouvee.

Letableauinitial

ContingencyTable

|INF05S0510S1020S2035S3550SUP50|Sum

ARIE|870330730680470890|3970

AVER|82012602460333021702960|13000

H.G.|229010701420183012602330|10200

GERS|16508901350254020903230|11750

LOT|19401130175016607701140|8390

H.P.|2110117016401500550430|7400

TARN|17708201260201016802090|9630

T.G.|1740920156022109901240|8660

Sum|1319075901217015760998014310|73000

Lescontributionsaukhi-deux

(n`hn`+n+h n)2n`+n+h n (voirlechapitre3ducoursSDE). |INF05S0510S1020S2035S3550SUP50|Sum

ARIE|32.5016.607.0236.599.7516.05|118.51

[870(397013190)=73000]2 (397013190)=73000'32:50: [820(1300013190)=73000]2 (1300013190)=73000'995:17:

2.2.EXEMPLEILLUSTRATIF19

Lestableauxdeprols

RowProfiles

|INF05S0510S1020S2035S3550SUP50

ColumnProfiles

|INF05S0510S1020S2035S3550SUP50

TOTAL|111111

Lanotiond'inertieenA.F.C.

tique. dernieralinea. tousdepartementsconfondus.

S.A.U.

cellesdeslignes(dansIRr). conserveseulementdeuxoutroisdimensions.

InertiaandChi-SquareDecomposition

SingularPrincipalChi-

ValuesInertiasSquaresPercents1530456075

0.122100.014911088.2920.25*******

0.048940.00239174.833.25*

0.027920.0007856.901.06

0.023280.0005439.550.74

0.073645375.49

restitueaussilemaximum;etainsidesuite. importantepourl'axe1etainsidesuite.

2.2.EXEMPLEILLUSTRATIF21

peuttoujourssededuiredesprecedents.

Lescoordonneesdeslignesetdescolonnes

principequ'enA.C.P. 1.

RowCoordinates

|Dim1Dim2

ARIE|0.037168-.109849

AVER|-.2366840.206059

H.G.|0.023759-.157132

GERS|-.261525-.089482

LOT|0.2551870.032261

H.P.|0.4782280.052226

TARN|-.102814-.087061

T.G.|0.1235680.068447

ColumnCoordinates

|Dim1Dim2

INF05|0.322690-.183979

S0510|0.2156880.069874

S1020|0.1470200.149383

S2035|-.0476930.106435

S3550|-.257888-.011834

SUP50|-.304488-.103492

Lescontributionsal'inertieselonchaqueaxe

ARIEAVER

H.G.GERSLOTH.P.

TARNT.G.

inf05s0510s1020 s2035 s3550 sup50

Dim. 2

-0.25-0.15-0.050.050.150.25

Dim. 1-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.20.30.40.5

|Dim1Dim2

ARIE|0.0013660.044019

AVER|0.1813410.507201

H.G.|0.0014340.231410

GERS|0.2001150.086450

LOT|0.1360490.008024

H.P.|0.4214210.018546

TARN|0.0253480.067070

T.G.|0.0329270.037281

|11 |Dim1Dim2

INF05|0.3420030.410237

S0510|0.0879250.034051

S1020|0.0655030.249544

S2035|0.0089260.164051

S3550|0.1652760.001284

SUP50|0.3303670.140833

|11 `lacoordonneedudepartement I k=rX `=1n n(ck `)2:

Lapartdudepartement`vautdonc:n`+

n(ck `)2Ik: I

1=0:05501.Celuidescoordonneesfournit:c1

2=0:236684.Enn,latabledecontingence

initialepermetd'ecrire:n2+

2.2.EXEMPLEILLUSTRATIF23

nuagedesdepartementsselonl'axe1vaut: 13

73(0:236684)2

0:05501'0:1813;

valeurdonneedansletableauci-dessus. interpreterlesaxesdesgraphiques. desassezgrandes(S3550).

Lescosinuscarres

estmauvaise. (proprietegeometriqueclassique).

SquaredCosinesfortheRowPoints

|Dim1Dim2

ARIE|0.0462790.404245

AVER|0.5637390.427291

H.G.|0.0201860.882916

GERS|0.8898350.104173

LOT|0.9512230.015203

H.P.|0.9817010.011708

TARN|0.4388470.314675

T.G.|0.5364120.164587

SquaredCosinesfortheColumnPoints

|Dim1Dim2

INF05|0.7517250.244357

S0510|0.8194880.086004

S1020|0.4475110.462010

S2035|0.1280510.637744

S3550|0.9195240.001936

SUP50|0.8683030.100310

SAUinf05s0510s1020s2035s3550sup50

0102030405060708090100

Fig.2.2{Prols-lignesdesdepartements

Prenonsdeuxexemples.

degres(plusdelamoitied'unangledroit). quiconcernel'Ariege.

2.2.3Interpretationdesresultats

marquantssontceuxrevelesparladimension1.

2.2.EXEMPLEILLUSTRATIF25

Chapitre3

AnalysedesCorrespondances

Multiple

variablesqualitatives.

3.1RappelssurletableaudeBurt

pitre3ducoursSDE.

3.1.1Lesdonneesconsiderees

n.Lesvariables c=Pp 27

3.1.2DenitiondutableaudeBurt

3.1.3Illustration

correspondantestdonneci-dessous. bacCbacD<1818ans19ans>192ans3ans4ans bacC58301083231143832419267 bacD021425976824768256 <1810825133000843514

18ans3239704200022413759

19ans11468001820737534

>19382400062192716

2ans3247684224731940000

3ans1928235137752702740

4ans67561459341600123

3.2Principesdel'A.C.M.

3.2.1Leprobleme

seradem^emenaturequ'enA.F.C.

3.2.2Lamethode

estdoncbienunegeneralisationdel'A.F.C.

3.3.UNEXEMPLEILLUSTRATIF29

doncunegrandepratiquedecettemethode.

3.3Unexempleillustratif

suivisjusqu'en1996.

3.3.1Lesdonnees

sontlessuivantes: {lesexe,a2modalites:lle,gars; 14322
14322
21311
13322
15352
12222
necessaireavantdemettreenuvreuneA.C.M.

3.3.2L'A.C.M.desdonnees

LetableaudeBurt

seulementdeuxvariables.

ContingencyTable

fillegarsautbacbacAbacBbacCouDbacG fille101403236633992185 gars06211912625894124 autbac3219510000 bacA3661260492000 bacB3392580059700 bacCouD92940001860 bacG1851240000309 .18.508221625531411737 .19.321210916719054111 .20.18519036709315161 art+com10661256621532 autcsp232119201079124109 empl995444769627 inter156986701202137 ouvr14374105778963 prolib278215915517711141

NON5503904528726570273

OUI464231620533211636

Sum50703105255246029859301545

.18..19..20.art+comautcspemplinter fille50832118510623299156 gars221210190611195498 autbac693622046 bacA25516770561074770 bacB31419093629169120 bacCouD11754151524621 bacG37111161321092737 .18.729006312561132 .19.05310651156374 .20.00375391112948 art+com636539167000 autcsp125115111035100 empl616329001530 inter1327448000254quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
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