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Travaux dirig´es de physique statistique

PA 102

Concepts classiques ...

Correction

Exercice 1Calculons le nombre de complexions distinctes (fa¸con de r´epartir les particules dans

les boites) sous les diverses hypoth`eses statistiques :

1. Equilibre de particules discernables dans des niveaux d"´energie quelconques et d´eg´en´er´es.

On consid`ere que la boiteicontenant les particules d"´energieεiest d´ecompos´ee engicompar-

timents pouvant contenir chacun un nombre quelconque de particules. Pour trouver le nombre de complexions correspondant, Dans le niveaui, il y agicompartiments disponibles pour la premi`ere particule, toujoursgipour la deuxi`eme, car rien ne l"interdit en m´ecanique classique,

etc... il y a doncgniipossibilit´es offertes par la d´eg´en´erescence de chaque niveau. Par ailleurs

les particules ´etant discernables chaque permutation desNparticules donnera une nouvelle complexion. Enfin, les permutations desniparticules ne donnent pas un nouvel ´etat, final le nombre total de complewion est donn´e par W 1=N! ini!×? ig nii

2. Equilibre de particules indiscernables dans des niveauxd"´energie quelconques et d´eg´en´er´es. Si

les particules sont indiscernables rien n"est chang´e lorsque l"on permute deux particules d"une boite `a l"autre. Le facteur de permutationN!/?? in i!? est donc ramen´e `a 1 ... Dans une boite

donn´ee il n"y a plusgniir´epartitions distinctes maiswi=Cgi-1+nini, comme dans la r´epartition

qui conduit `a la distribution de Bose-Einstein. On comprend tr`es facilement ce calcul, il y a en

toutni+gi-1 ´el´ements `a permuter : lesgi-1 parois des cellules et lesniparticules, les parois

sont indiscernables comme les particules, leurs permutations ne doivent pas ˆetre comptabilis´ees,

finalement on a bien w i=(gi-1 +ni)! (gi-1)!ni!=Cgi-1+nini=Cgi-1+nig i-1 en explicitant on trouve w i=gi×(gi+ 1)× ··· ×(gi-1 +ni) ni! (gi+ 0)×(gi+ 1)× ··· ×(gi+ni-1) ni! gnii ni!?

1 +0gi?

1 +1gi?

1 +ni-1gi?

Si l"on peut faire l"hypoth`ese de faible d´eg´en´erescence n i gi?1 tous les termes du produit sont ´egaux `a 1 hormis le premier et l"on obtient w i=gnii ni!et doncW2=? ig niini! 1

On peut `a pr´esent se"lancer»dans les calculs de r´epartition d"´equilibre, d"´energieet d"entropie.

1. Equilibre avec d´eg´en´erescence particules discernables

W 1=N!? ig nii ni! d´eterminons la distribution d"´equilibre, c"est comme dans le poly... dlnW1=? i? dn ilngi ni+nidnini? i? ln gini+ 1? dn i= 0 dU=? idn iεi= 0 dN=? idn i= 0 avec trois multiplicateurs non nuls, on trouve a i? lngi ni+ 1? dn i+b? idn iεi+c? idn i= 0 i? alngi ni+a+c+bεi? dn i= 0 les variationsdni´etant ind´ependantes, en posantβ=-b/aetλ= exp?a+c a?, il vient n o i=λgie-βεi La contrainte sur le nombre de particules permet d"avoir N=? in o i=? iλg ie-βεisoitλ=N ig ie-βεi en introduisant la fonction de partition Z=? ig ie-βεi on obtient finalement n o i=N

Zgie-βεi

On admet queZ=V h-3(2πm/β)3/2. Ce r´esultat est ind´ependant du reste du propos, il provient

d"un passage `a la limite compl`etement justifi´e et d"un r´esultat de m´ecanique quantique, il sera

d´emontr´e en cours un peu plus tard! Par d´efinitionS1=klnW1, l"expression deW1permet donc d"´ecrire S

1=kNlnN+k?

in ilngi ni `a l"´equilibre nous avons n o i gi=NZe-βεidonc lnginoi= lnZN+βεi 2 et pour l"entropie d"´equilibre S

1=kNlnN+k?

in o i? lnZ

N+βεi?

=kNlnN+klnZ N? in o i+kβ? in iεi =kNlnN+kNlnZ

N+kβU

=kNlnZ+kβU en utilisant l"expression deZgracieusement fournie par les gentils organisateurs, on trouve S 1=kN? lnV+3

2ln?2πmh2β?

+βUN? on peut mˆeme aller plus loin en ´ecrivant l"´energie interne `a l"´equilibre U=? in o iεi=? iN ig ie-βεi on reconnaˆıt la fonction de partition et l"on a U=-N Z? ∂Z∂β? V =-N?∂lnZ∂β? V avec l"expression deZon trouve, l"´equipartition de l"´energie U=3

2Nβ

et l"entropie se simplifie en S 1=3

2kN?23lnV+ ln?2πmh2β?

+ 1? On a doncS1=S1(N,V,β) En r´eunissant deux syst`emes identiques `a la mˆeme temp´erature,

le nombre de particule et le volume sont doubl´es (param`etres extensifs) comme devrait l"ˆetre

l"entropie or S

1(2N,2V,β)?= 2S1

Il y a un probl`eme car l"entropie n"est pas extensive dans cemod`ele!

2. Equilibre avec d´eg´en´erescence faible et indiscernabilit´e des particules.

Si les particules sont indiscernables, il suffit de tout refaire une troisi`eme fois avec la nouvelle

expression du nombre complexions distinctes W 2=? ig nii ni! C"est le nombre de complexions pris en compte dans la statistique de Maxwell-Boltzmann

Corrig´ee. On constate que

W

1=N!×W2

3 mais le raisonnement qui permet de le comprendre n"est pas aussi simple que cela ... Le reste n"est plus qu"un calcul que nous avons d´ej`a fait 3 fois : la distribution d"´equilibre est toujours celle de Maxwell-Boltzmann card(lnW1) =d(lnW2), il en va donc de mˆeme de l"´energie interneU=? iniεi. Par contre, l"entropie (et tous les potentiels qui en sont construits `a partir de l"entropieF=U-TS,G=H-TSpar exemple) sont modifi´es. Pour l"entropie le calcul donne `a l"´equilibre S

2=klnW2=kN+k?

in ilngi ni =kN+k? in i? lnZ

N+βεi?

=kN+klnZ N? in i+kβ? in iεi =kN?

1 + lnZ

N+βUN?

la mˆeme expression de la fonction de partitionZpermet toujours d"´ecrireU=-N? ∂lnZ V on a donc S 2=kN?

1 + lnZ

N-β?∂lnZ∂β?

V? avec toujoursZ=V h-3(2πm/β)3/2on a maintenant S 2=3

2kN?53+23ln?VN?

+ ln?2πmh2β?? On a toujoursS2=S2(N,V,β) mais maintenant le rapport des deux grandeurs extensivesV etNpermet d"´ecrire S

2(2N,2V,β) = 2S2(N,V,β)

L"entropie est bien extensive conform´ement `a l"exp´erience et surtout `a sa d´efinition ...

Le paradoxe de Gibbs est donc le suivant : Pour retrouver une expression correcte de l"entropie

`a partir de consid´erations statistiques il estn´ecessairede consid´erer que les particules classiques

sont indiscernables. Cette propri´et´e est pourtant l"apanage de la th´eorie quantique. Historiquement,

Gibbs s"´etait appercu d`es la deuxi`eme moiti´e du XIX esi`ecle que le calcul de l"entropie en utilisant la formule de Boltzmann posait des probl`emes avec la statistique de Maxwell-Boltzmann. La correction

apport´ee en retirant le facteurN! n"allait venir que bien plus tard lorsque la m´ecanique quantique

viendra imposer l"indiscernabilit´e des particules. On parle alors de statistique de Maxwell-Boltzmann

corrig´ee.

Exercice 2

Les phonons ´etant des bosons le nombre de complexions r´ealisables par leur r´epartition dans les

divers ´etats d"´energie est donn´e par W p=? iCnpi+gp i-1 n p i=? i(npi+gp i-1)! npi!(gp i-1)!. 4 Les ´electrons ´etant des fermions, ce mˆeme nombre est maintenant donn´e par W e=? jCgej nej=? jg ej! nej!?gej-nej?! Le nombre de complexions r´ealisables par le m´elange est leproduitW=WpWe. Sous l"hypoth`ese de Boltzmann, l"´equilibre correspond aux r´epartitionsnp

αetneβqui rendent maximalWou, ce qui

est ´equivalent, lnW. En outre chaque r´epartition doit satisfaire les contraintes

U=Ue+Up=?

jn e jεej+? in p iεpi=csteetNe=? jn e j=cste

Nous verrons que les phonons correspondent `a des modes de vibration, ils sont sans cesse ´emis et

absorb´es, leur nombre total n"est pas conserv´e. L"´etat d"´equilibre correspond `a la solution du probl`eme d"optimisation suivant : max npi, nejln(WpWe) avec? jn e jεej+? in p iεpi=csteet? jn e j=cste L"extremum est atteint lorsque l"on a simultan´ement dln(WpWe) =? i∂ ∂npiln?(npi+gp i-1)!npi!(gp i-1)!? dn p i+? j∂∂nejln?gej!nej!?gej-nej?!? dn e j= 0 dU=? jdn e jεej+? idn p iεpi= 0 dN e=? jdn e j= 0

Si les quantit´esnpi,nej,gp

ietgejsont toutes tr`es grandes devant 1, on peut utiliser la formule de

Stirling et l"on a

ln ?(npi+gp i-1)! npi!(gp i-1)!? = ln[(npi+gp i-1)!]-ln[npi!]-ln[(gp i-1)!] ?(npi+gp i-1)ln(npi+gp i-1)-(npi+gp i-1)-npiln(npi) +npi -(gp i-1)ln(gp i-1) + (gp i-1) =npiln?npi+gp i-1 npi? + (gp i-1)ln?npi+gp i-1gp i-1? ?npiln?npi+gp i npi? +gp iln?npi+gp igp i? ainsi ∂npiln?(npi+gp i-1)!npi!(gp i-1)!? = ln?npi+gp inpi? -gp inpi+gpquotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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