Programme de mathématiques de première générale
Dans tous les cas on peut s'intéresser au passage d'un mode de génération à un autre
ACTIVITÉS SUR GEOGEBRA : LA DROITE DEULER
ACTIVITÉS SUR GEOGEBRA : LA DROITE D'EULER. Peu familiarisé(e) avec l'usage de Géogébra un(e) membre de Py-Math s'est jeté(e) à l'eau et.
1S Devoir n° 13 maison mardi 8 mars 2016 Exercice 1: Dans le plan
8 mars 2016 Remarque : Cette dernière droite s'appelle la droite d'Euler du triangle ABC. Exercice 2: Léo hésite entre deux jeux :.
Droite et cercle dEuler dun triangle. Application à un exercice des
30 mai 2016 H l'orthocentre du triangle ABC. • A1 B1
Le concours des hauteurs dun triangle
Figure 5 – La droite d'Euler en prime. On consid`ere les hauteurs issues de b et c qui se coupent en h. Il s'agit de montrer que (ah) est perpendiculaire `a
Trigonométrie circulaire
K soit à droite ou à gauche de l'axe des ordonnées). Formules d'Euler ... Les formules d'addition pour sinus et cosinus sont démontrées en 1ère S.
Méthode dEuler
Taux d'accroissement à droite de ti rence?) la formule de Taylor–Young suggère qu'il s'agit d'une approximation de bonne qualité
Euler et le centre dune similitude Un problème de géométrie
5) Mener la droite d qui passe par A et B. 6) Abaisser de 1 la perpendiculaire sur d. Cette perpendiculaire coupe d au point M cherché. Voilà comment l'
Corrigés des exercices du livret 2nde / 1ère S – STI2D – STL
Droite d'Euler. Page 21. 1. Montrer que G H et O sont alignés de deux manières différentes. — Soient ?(GH) = yG?yH.
Cours de Dimensionnement des Structures Résistance des Matériaux
Une poutre est un solide engendré par une surface plane (S) dont le centre d'inertie géométrique G décrit une courbe G0G1 le plan de (S) restant normal à
[PDF] Droite dEuler - Université de Lille
Droite d'Euler Théor`eme Dans un triangle quelconque le centre O du cercle circonscrit le centre de gravité G et l'horthocentre H sont alignés
[PDF] Droite et cercle dEuler dun triangle Application à un exercice des
30 mai 2016 · Démontrer que le K du cercle ?' est situé sur la droite d'Euler du triangle ABC Préciser sa position par rapport aux points O G H 3
[PDF] Corrigé du devoir maison : Droite dEuler
d'où : (AH) // (OA') Propriété : Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre Donc : (AH) ? (BC)
[PDF] Fragments de géométrie du triangle
Ce texte rassemble divers résultats de géométrie du triangle en les regroupant en fonction des outils utilisés Cette introduction a surtout pour but de
La droite dEuler - maths et tiques
La droite d'Euler La figure ci-dessous présente les 4 types de droites remarquables étudiées au collège (voir définitions des droites et des points de
[PDF] UPS-IUFM Problème Préparé N°5 MPCE mathématiques 11
11 oct 2010 · 1 4 Démontrer que le quadrangle (ABCD) est orthocentrique 2 Le cercle et la droite d'Euler d'un triangle
[PDF] droite et cercle dEuler dun triangle
Nous allons prouver les trois théorèmes suivants : (1 et 2 sont dus à Euler 3 est cadeau !) Dans tout triangle ABC (non équilatéral) on note O le centre du
[PDF] Leonhard Euler - Accromath
Il est l'un des fondateurs du calcul des variations qui consiste à expliquer les lois de la physique à l'aide de principes d'optimisation A C Droite d'Euler
[PDF] Exercices corrigés - AlloSchool
Exercice 20 : droite d'Euler Cours de 1ere S Le produit scalaire d'un vecteur ?? par un vecteur ? est le nombre réel noté ?? ? défini par :
Trigonométrie circulaire
On rappelle ici et on complète les résultats énoncés au lycée. L"objectif à viser est la technicité. Pour cela, il faut :
Àconnaître par coeur les différentes formules de trigonométrie,Ásavoir à quel moment s"en servir.
En ce qui concerne le premier point (À), au cours de l"année de mathématiques supérieures, on doitapprendre quatre
formulaires : 1. un formulaire de trigonométrie circulaire, 2. un formulaire de dérivées, 3. un formulaire de primitives, 4.
un formulaire de développements limités.Il est clair que l"on n"utilise pas en permanence une formulede trigonométrie ou une formule de dérivée. Cela se produit
dans certaines périodes uniquement. Dans ces moments-là, on doit alors être capable de mobiliser la formule exacte, et en
particulier on doit l"avoir mémorisée. On peut donner sur lesujet deux conseils. Premièrement, chaque fois au cours de
l"année, que vous vous retrouverez face à une formule de trigonométrie (ou de dérivée, ...) que vous ignorez (à la suite
d"une colle, d"un devoir, ...), profitez-en pour prendre immédiatement dix minutes de votre temps pourréapprendre la
totalité du formulaire. Deuxièmement,affichez vos formulairessur vos murs, et ceci en plusieurs exemplaires dans
des endroits stratégiques de votre habitation. Si vous suivez ces deux conseils, vous sortirez de mathématiques supérieures
en connaîssant vos formules, ce qui est un objectif essentiel à atteindre.En ce qui concerne le deuxième point (Á), vous trouverez dans un certain nombre d"exercices de ce chapitre des raisons
qui poussent à utiliser telle ou telle formule de trigonométrie plutôt que telle autre.Plan du chapitre
1Mesures en radians d"un angle orienté.................................................................page 2
2Les lignes trigonométriques...............................................................................page 3
2.1Définition des lignes trigonométriques ................................................................... page 4
2.2Valeurs usuelles .......................................................................................... page 5
2.3La notationeix.......................................................................................... page 63Formulaire de trigonométrie circulaire.................................................................page 7
3.1Comparaison de lignes trigonométriques ................................................................. page 7
3.2Formules d"addition et de duplication ....................................................................page 9
3.3Résolution d"équations trigonométriques ................................................................page 11
3.4Formules de linéarisation ...............................................................................page 13
3.5Formules de factorisation ...............................................................................page 14
3.6Expressions de cos(x), sin(x)et tan(x)en fonction det=tan?x
2? ......................................page 153.7Transformation deacos(x) +bsin(x)...................................................................page 16
3.8Le nombrej............................................................................................page 174Erreurs classiques à ne pas commettre................................................................page 17
c ?Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.1 http ://www.maths-france.fr1 Mesures en radian d"un angle orienté
XY 12π2πx
M x?? Le plan est rapporté à un repère orthormé direct(O,-→I ,-→J)ou encore(OXY). Au lycée, vous avez appris à " enrouler » l"axe réel sur le cercle trigonométrique, c"est-à-dire le cercle de centreOet de rayon1, orienté dans le sens direct. A chaque réelxcorrespond un et un seul point du cercle trigonométrique. Sixest positif, le pointMassocié àxest le point du cercle obtenu en parcourant une longueurxsur ce cercle, dans le sens direct, à partir du point de coordonnées (1,0). Sixest négatif, on parcourt sur le cercle une longueur|x|= -xdans le sens indirect. Ainsi, tout réel est associé à un et un seul angle et siMest le point associé au réelxalorsxs"appelleUNE mesureen radian de l"angle orienté(-→I ,--→OM). Ici, l"unité de mesure est la longueur du rayon du cercle trigonométrique, à savoir1 et|x|est le nombre de rayons qui constituent l"arc de cercle qui vadeOàM, d"où le motradian. Inversement, puisque le tour complet a une longueur égale à2π, deux réels mesurent un même angle si et seulement si leur différence est un multiple entier (relatif) de2π. Tout angle admet donc une infinité de mesures et siαest une mesure de l"angle orienté(-→I ,--→OM), l"ensemble des mesures de l"angle(-→I ,--→OM) est l"ensemble des nombres de la formeα+2kπ,k?Z.Cet ensemble se noteα+2πZ.
α+2πZ={α+2kπ, k?Z}.
Ainsi, des réels différents peuvent mesurer un même angle. Par exemple, les réelsπ2et5π2sont des réels différents(π2=1,57...et5π2=7,85...) mais
ces deux réels sont deux mesures distintes d"un même angle. Dit autrement, le réelπ2n"est pas un angle mais le réelπ2est une mesure parmi tant d"autres d"un
certain angle orienté, le quart de tour direct. L"ensemble des mesures de cet angle estπ2+2πZ={π2+2kπ, k?Z}={...,-7π2,-3π2,π2,5π2,9π2,...}.
Théorème 1.Tout angle orienté admet une et une seule mesure dans l"intervalle[0,2π[, appeléemesure principalede
l"angle orienté.Parmi toutes les mesures d"un angle orienté, il en est une et une seule qui appartient à[0,2π[. Cette mesure est la
mesure principalede cet angle orienté. Quand on dispose d"une mesure d"un angle orienté, on peut trouver sa mesure
principale de manière systématique grâce à la fonction " partie entière » (voir le chapitre " fonctions de référence »). Pour
l"instant, contentons nous de " bricolages ». Exercice 1.Trouver la mesure principale d"un angle de mesure1)71π4,2)-17π3. Solution. 1)71π4-8×2π=71π4-8×8π4=71π4-64π4=7π4??0,8π4?
= [0,2π[. La mesure principale d"un angle de mesure71π
4est7π4.
2)-17π
3+3×2π= -17π3+3×6π3= -17π3+3×18π3=π3??
0,6π3?
= [0,2π[. La mesure principale d"un angle de mesure-17π3estπ3.
c?Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.2 http ://www.maths-france.frþCommentaire.
?L"existence et l"unicité de la mesure pricipale d"un angle de mesurexpeut se comprendre sur le schéma suivant :
0 2πx
On part dexet on se dirige vers l"intervalle[0,2π[en faisant des pas de longueur2π. Quand on arrive juste en dessous de0(ou
juste au-dessus de2πsi on est parti d"unx≥2π), le pas suivant est suffisament long pour nous faire dépasser0, mais trop court
pour nous faire dépasser2πet on tombe donc dans l"intervalle[0,2π[. Puis, si on effectue encore un pas, on ressort forcément de
cet intervalle. ?Pour trouver la mesure principale d"un angle de mesure71π4, nous avons cherché un nombre de tours à retrancher à71π4pour
tomber dans l"intervalle]0,2π[(71π4n"étant clairement pas un nombre entier de tours). Puisqueπ4est un huitième de tours ou
encore, puisque2π=8×π4, nous avons cherché " le plus grand multiple de8qui rentrait dans71». En clair, nous avons effectué
la division euclidienne de71par8:71=64+7=8×8+7, et en retranchant8tours à71π4, la mesure obtenue est dans]0,2π[.
Pour trouver la mesure principale d"un angle de mesure-17π3, nous avons cherché un nombre de tours à rajouter à-17π3pour tomber
dans l"intervalle]0,2π[. Puisqueπ3est un sixième de tours, nous avons effectué la division euclidienne de17par6:17=2×6+5,
et donc, en rajoutant2tours à-17π3, la mesure obtenue est dans] -2π,0[. En rajoutant un troisième tour, on tombe dans]0,2π[.
?Les considérations précédentes montrent que le travail à effectuer nécessite des connaissances en arithmétique (ou desconnais-
sances sur la partie entière d"un réel) et nous attendrons donc de les avoir pour mettre ce travail définitivement au point.
?La notion de mesure principale est subjective. Il n"y a à priori aucune raison de distinguer telle mesure plutôt que telleautre.
Nous avons choisi de privilégier la mesure élément de[0,2π[, parce que cette mesure donne systématiquement la longueurde l"arc
de cercle correspondant. Nous aurions tout aussi bien pu choisir comme mesure principale, celle des mesures qui est dans] -π,π],
en ayant cette fois-ci en ligne de mire la parité des fonctions sinus et cosinus.2 Les lignes trigonométriques
Pour mesurer un angle, on a mesuré une longueur sur un cercle.Mesurer des " longueurs courbes » est difficile, et on
préfère de loin mesurer des lignes droites, les différenteslignes trigonométriques: lesinus, lecosinus, latangenteet la
cotangente.Le motsinuspeut prêter à confusion. Nous avons effectivement dans la partie supérieure de notre nez deux sinus.
Ce sinus là vient du latin et a la même étymologie que le motseinpar exemple. Il signifie " pli (d"un vêtement) » ou
" renflement » ou " courbure » ou " bosse »...Cesinusest apparu au moyen-âge peu de temps avant le mot sinus de la
trigonométrie.Le motsinusde la trigonométrie a une longue histoire. Il s"est appeléjivaen sanscrit (en 500 ap.JC environ), ce qui
signifiecorde d"arc. Il est passé à l"arabe sous la formejîba, mot qui n"a pas d"autre signification en arabe, et ceci grâceau
mathématicienAl-Fazzari(8ème siècle). Mais quandGérard de Crémone(1114-1187) traduitAl-Fazzarien latin,
celui-ci commet une erreur de transcription et donc de traduction en transformant le motjîbaenjaîb, mot qui cette
fois-ci veut dire " pli (d"un vêtement) » ou " renflement »...Il traduit donc ce mot parsinus. C"est enfinRegiomontanus
(1436-1476) qui systématise l"emploi du mot au sens où nous le connaissons aujourd"hui et entérine ainsi l"erreur de
traduction.d"Alembert(1717-1783) dans son encyclopédie donne la définition suivante du mot sinus : " ligne droite tirée
d"une extrémité d"un arc perpendiculairement au rayon qui passe par l"autre extrémité ». Le sinus de la trigonométrie n"a
donc aucun rapport avec les sinus qui se trouvent dans la partie supérieure de notre nez.Pour construire le motcosinus, on a apposé au mot sinus le préfixecoqui vient de la préposition latinecumsignifiant
avec. Le cosinus est donc une ligne trigonométrique qui va avec lesinus ou encore qui est associée au sinus.
Signalons enfin l"étymologie du mottrigonométrie: du grectria(trois)gonia(angles)metron(mesure) ou encore
mesure des trois angles(d"un triangle). c ?Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.3 http ://www.maths-france.fr2.1 Définition des lignes trigonométriques
A1B xM HK cos(x)sin(x) tan(x)cotan(x) cos(x) =abscisse deM sin(x) =ordonnée deM tan(x) = AH cotan(x) = BK Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct?O,-→i ,-→j?
. On appellecercle trigonométriquele cercle de centreOet de rayon1orienté dans le sens direct.
On se donne un réelx. On noteMle point du cercle trigonométrique tel quexsoit une mesure en radians de l"angle
orienté?-→i ,--→OM? Lecosinusdu réelxest l"abscisse du pointMet lesinusdu réelxest l"ordonnée du pointM.Ensuite, on note(T)(resp.(T?)) la tangente au cercle de centreOet de rayon1au pointA(1,0)(resp.(0,1)). Six
n"est pas de la formeπ2+kπ,k?Z, (resp.kπ,k?Z), la droite(OM)n"est pas parallèle à(T)(resp.(T?)). Elle coupe
donc(T)(resp.(T?)) en un pointH(resp.K). Par définition, latangente(resp. lacotangente) du réelxest la mesure
algébriqueAH(resp.BK) c"est-à-dire la longueurAH(resp. la longueurBK) affectée d"un signe+ou-suivant queH
soit au-dessus ou au-dessous de l"axe des abscisses (resp.Ksoit à droite ou à gauche de l"axe des ordonnées).
Le théorème deThalesmontre immédiatement queThéorème 2.
?x /??π2+πZ? ,tan(x) =sin(x)cos(x) ?x /?πZ,cotan(x) =cos(x) sin(x) ?x /?π2Z,cotan(x) =1tan(x)
Ensuite, d"après le théorème dePythagore, Théorème 3.Pour tout réelx, cos2(x) +sin2(x) =1.þCommentaire. Ce théorème fondamental permet en particulier de calculerl"une des deux lignes trigonométriques quand on
connaît son signe et la valeur de l"autre ligne :cos(x) =±p1-sin2(x)ousin(x) =±p1-cos2(x).
Corollaire 2.Soientaetbdeux réels.(?θ?R/ a=cos(θ)etb=sin(θ))?a2+b2=1.Démonstration.Soientaetbdeux réels. S"il existeθtel que cos(θ) =aet sin(θ) =b, le théorème 3 montre quea2+b2=1.
Réciproquement, sia2+b2=1, le pointM(a,b)est un point du cercle trigonométrique. Soitθ="-→i ,-→M"
(le plan étant rapportéà un repère orthonormé direct"
O,-→i ,-→j"
). On sait que le pointMa pour coordonnées(cos(θ),sin(θ))et donc quea=cos(θ)et b=sin(θ).oCorollaire 3.
ÊPour tout réelxn"appartenant pas àπ
2+πZ,1cos2(x)=1+tan2(x).
ËPour tout réelxn"appartenant pas àπZ,1 sin2(x)=1+cotan2(x). Démonstration.1cos2(x)=cos2(x) +sin2(x)cos2(x)=cos2(x)cos2(x)+sin2(x)cos2(x)=1+tan2(x). c ?Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.4 http ://www.maths-france.fr 1 sin2(x)=sin2(x) +cos2(x)sin2(x)=sin2(x)sin2(x)+cos2(x)sin2(x)=1+cotan2(x).oþCommentaire. Ces égalités jointes aux théorèmes 2 et 3 et permettent de calculer les quatre lignes trigonométriques d"un angle
quand on connaît leurs signes et l"une de ces quatre lignes. Par exemple, on sait maintenant exprimercos(x)en fonction desin(x)
(±p1-sin2(x)), ou en fonction detan(x)(±1⎷
1+tan2(x)), ou en fonction decotan(x)(±p1-sin2(x) =±q1-11+cotan2(x)=...).
Exercice 2.
1)On suppose quexest un réel élément de?π
2,π?
tel que cos(x) = -45. Calculer sin(x), tan(x)et cotan(x).2)On suppose quexest un réel élément de?
π,3π
2? tel que tan(x) =13. Calculer cos(x), sin(x)et cotan(x).Solution.
1)Puisquex??π
2,π?
, sin(x)?0, tan(x)?0et cotan(x)?0.Puisque sin(x)?0, sin(x) =?
1-cos2(x) =?1-1625=?
925=35.
Puis tan(x) =sin(x)
cos(x)= -34et cotan(x) =1tan(x)= -43.2)Puisquex??
π,3π
2? , cos(x)?0, sin(x)?0et cotan(x)?0.Puisque cos(x)?0, cos(x) = -1
?1+tan2(x)= -1?1+19= -
3 ⎷10.Puis sin(x) =tan(x)cos(x) = -1
⎷10et cotan(x) =1tan(x)=3.2.2 Valeurs usuelles
angle en radian0π 6 4 3 2 angle en degré030456090 sinus01 21⎷2=⎷
2 2 ⎷3 21cosinus1 ⎷3 2
1⎷2=⎷
2 2 1 20 tangente01⎷3=⎷ 331⎷3∞
cotangente∞⎷311⎷3=⎷ 3 30On note que la ligne des sinus s"écrit
02,⎷
12,⎷
22,⎷
32et⎷
4 2.Les autres lignes s"en déduisent.
D"autre part, il est important d"avoir en tête les valeurs numériques usuelles. Un formulaire complet des valeurs
numériques usuelles à connaître a déjà été fourni. Ici, on doit savoir que :1⎷2=⎷
22=0,707...,⎷2=1,414...,⎷3
2=0,866...,⎷3=1,732..., et1⎷3=⎷
33=0,577...
Rappelons le calcul de cos(π4)et sin(π4). Ces nombres sont positifs et égaux. Donc,1=cos2(π4)+sin2(π4) =2cos2(π4).
Puis, cos
4? =1⎷2=sin?π4?. Notons que l"emploi de la valeur1⎷2est très fréquemment meilleur (sans l"être systé-
matiquement) que l"emploi de la valeur 22, car la première expression est simplifiée (par exemple, le carré de1⎷2est12
alors que le carré de⎷ 22est24).
c ?Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.5 http ://www.maths-france.frRappelons aussi le calcul de cos?π3?
et sin?π3? . Dans ce cas, le triangle(OAM)de la page 4 est équilatéral et la hauteur issue deMest encore la médiatrice du segment[O,A]. L"abscisse deM, à savoir cos?π 3? , est donc12. Ensuite, sin 3? =?1-cos2?π3? 34=⎷
3 2.Ce résultat est utile pour découper une pizza en six parties égales. On visualise lemilieud"un rayon et on remonte
perpendiculairement à ce rayon au bord de la pizza, c"est-à-dire à la croûte...(nous verrons plus tard comment découper
une pizza en5)Profitons-en enfin pour rappeler les liens entre hauteurs et côtés dans un triangle isocèle rectangle (ou encore un demi
carré) et un triangle équilatéral. Triangle isocèle rectangle Triangle équilatéral haha h=a ⎷2eta=h⎷2 h=a⎷3 2Ainsi, la diagonale d"un carré est⎷2fois son côté, et inversement le côté d"un carré est sa diagonale divisée par⎷2.
2.3 La notationeix
Pour tout réelx, on pose
eix=cos(x) +isin(x)(oùiest le nombre complexe tel quei2= -1).eixn"est autre que l"affixe du pointMdu cercle trigonométrique
de coordonnées(cos(x),sin(x))(le plan étant toujours rapporté à un repère orthonormé direct). Cet objet va devenir
rapidementl"outil fondamental de la trigonométrie. On doit déjà en connaître des valeurs usuelles :
e0=1,eiπ/2=i,eiπ= -1,e-iπ/2= -i,⎷2eiπ/4=1+i. On doit ensuite en connaître les premières propriétés :Théorème 4.
?x?R,|eix|=1et en particulier,?x?R, eix?=0. ?x?R, (eix) =e-ix=1eix.Démonstration.|eix|=pcos2(x) +sin2(x) =1. D"autre part,eix=cos(x) -isin(x) =cos(-x) +isin(-x) =e-ix.
Mais alors,eixe-ix=eix
eix=|eix|2=1et donc1eix=e-ix=eix.o c ?Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.6 http ://www.maths-france.fr On doit aussi connaître les expressions de cos(x), sin(x), tan(x)et cotan(x)en fonction deeix:Théorème 5 (formules d"Euler).
Formules d"Euler
Ê?x?R,cos(x) =Re(eix) =12(eix+e-ix)et?x?R,sin(x) =Im(eix) =12i(eix-e-ix).Ë?x?R\(π
2+πZ),tan(x) =eix-e-ixi(eix+e-ix)et?x?R\πZ,cotan(x) =i(eix+e-ix)eix-e-ix.
3 Formulaire de trigonométrie circulaire
3.1 Comparaison de lignes trigonométriques
Tour complet
cos(x+2π) =cos(x) sin(x+2π) =sin(x) tan(x+2π) =tan(x) cotan(x+2π) =cotan(x)Angle opposéDemi-tourQuart de tour direct
cos(-x) =cos(x) sin(-x) = -sin(x) tan(-x) = -tan(x) cotan(-x) = -cotan(x)cos(x+π) = -cos(x) sin(x+π) = -sin(x) tan(x+π) =tan(x) cotan(x+π) =cotan(x) cos(x+π2) = -sin(x) sin(x+π2) =cos(x)
tan(x+π2) = -cotan(x)
cotan(x+π2) = -tan(x)
Quart de tour indirectAngle supplémentaireAngle complémentaire cos(x-π2) =sin(x) sin(x-π2) = -cos(x)
tan(x-π2) = -cotan(x)
cotan(x-π2) = -tan(x)
cos(π-x) = -cos(x) sin(π-x) =sin(x) tan(π-x) = -tan(x) cotan(π-x) = -cotan(x) cos(π2-x) =sin(x) sin(π2-x) =cos(x)
tan(π2-x) =cotan(x)
cotan(π2-x) =tan(x)
þCommentaire.
?Toutes ces formules s"obtiennent par lecture directe d"un graphique (voir page suivante) et par exemple, il n"est pas question
d"obtenir la formulecos(x+π) =cos(x)à partir des formules d"addition refournies plus loin :cos(x+π) =cos(x)cos(π) -
sin(x)sin(π) = -cos(x). c ?Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.7 http ://www.maths-france.frAngle opposéDemi-tourQuart de tour direct
x -x cos(-x) =cos(x)sin(-x) = -sin(x) xx+π cos(x+π) = -cos(x)sin(x+π) = -sin(x) xx+π2 cos(x+π2) = -sin(x)sin(x+π2) =cos(x)
Quart de tour indirectAngle supplémentaireAngle complémentaire x x-π2 cos(x-π2) =sin(x)sin(x-π2) = -cos(x)
xπ-x cos(π-x) = -cos(x)sin(π-x) =sin(x) xπ 2-x cos(π2-x) =sin(x)sin(π2-x) =cos(x)
?Aucune des formules ci-dessus n"a été fournie avec ses conditions de validité etc"est un tort. Les formules en sinus et cosinus
sont valables pour tout réelx. Les formules n"utilisant que la tangente sont valables pourxn"appartenant pas àπ
2+πZ, celles
n"utilisant que la cotangente sont valables pourxn"appartenant pas àπZet celles utilisant à la fois la tangente et la cotangente sont
valables pourxn"appartenant pas àπ 2Z.Exercice 3.Calculer1)cos?5π4?
,2)tan?14π3? ,3)sin? -43π6?Solution.
1)cos?5π
4? =cos?π4+π? = -cos?π4? = -1⎷2.2)tan?14π
3? =tan? -π3+5π? = -tan?π3? = -⎷3.3)sin?
-43π 6? =sin? -7π6-6π? =sin? -7π6? = -sin?π6+π? =sin?π6? =12. Exercice 4.Pourxréel etnentier relatif, simplifier1)cos(x+nπ),2)sin? x+nπ2? ,3)tan(x+nπ).Solution.
1)On ajoute (ou on retranche)n(ou-n) demi-tours. Sinest pair, le cosinus est inchangé et sinest impair,
le cosinus est changé en son opposé. Donc,?x?R,?n?Z,cos(x+nπ) = (-1)ncos(x).2)On ajoute (ou on retranche)n(ou-n) quarts de tours. Sinun multiple de4, on a effectué un nombre
entier de tours et le sinus est inchangé. Sinest1de plus qu"un multiple de4, on a effectué un nombre entier de
tours plus un quart de tour direct et dans ce cas, sin? x+nπ 2? =sin? x+π2? =cos(x). Sinest2de plus qu"un multiple de4, on a effectué un nombre entier de tours plus un demi-tour et dans ce cas, c ?Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.8 http ://www.maths-france.fr sin?quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] le messager dathènes questions reponses
[PDF] evaluation 6eme le messager dathenes
[PDF] le messager dathènes questionnaire
[PDF] le messager dathènes fiche de lecture 6ème
[PDF] cinq personnes se partagent 100€
[PDF] exercice polynome 2nde
[PDF] marquage ce dispositif médical classe 1
[PDF] santé dm
[PDF] twitter pdf guide
[PDF] cétait la guerre des tranchées planche
[PDF] cétait la guerre des tranchées résumé
[PDF] cétait la guerre des tranchées pdf
[PDF] fiche pédagogique bd
[PDF] véra scooby doo