Programme de mathématiques de première générale
Dans tous les cas on peut s'intéresser au passage d'un mode de génération à un autre
ACTIVITÉS SUR GEOGEBRA : LA DROITE DEULER
ACTIVITÉS SUR GEOGEBRA : LA DROITE D'EULER. Peu familiarisé(e) avec l'usage de Géogébra un(e) membre de Py-Math s'est jeté(e) à l'eau et.
1S Devoir n° 13 maison mardi 8 mars 2016 Exercice 1: Dans le plan
8 mars 2016 Remarque : Cette dernière droite s'appelle la droite d'Euler du triangle ABC. Exercice 2: Léo hésite entre deux jeux :.
Droite et cercle dEuler dun triangle. Application à un exercice des
30 mai 2016 H l'orthocentre du triangle ABC. • A1 B1
Le concours des hauteurs dun triangle
Figure 5 – La droite d'Euler en prime. On consid`ere les hauteurs issues de b et c qui se coupent en h. Il s'agit de montrer que (ah) est perpendiculaire `a
Trigonométrie circulaire
K soit à droite ou à gauche de l'axe des ordonnées). Formules d'Euler ... Les formules d'addition pour sinus et cosinus sont démontrées en 1ère S.
Méthode dEuler
Taux d'accroissement à droite de ti rence?) la formule de Taylor–Young suggère qu'il s'agit d'une approximation de bonne qualité
Euler et le centre dune similitude Un problème de géométrie
5) Mener la droite d qui passe par A et B. 6) Abaisser de 1 la perpendiculaire sur d. Cette perpendiculaire coupe d au point M cherché. Voilà comment l'
Corrigés des exercices du livret 2nde / 1ère S – STI2D – STL
Droite d'Euler. Page 21. 1. Montrer que G H et O sont alignés de deux manières différentes. — Soient ?(GH) = yG?yH.
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Une poutre est un solide engendré par une surface plane (S) dont le centre d'inertie géométrique G décrit une courbe G0G1 le plan de (S) restant normal à
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Droite d'Euler Théor`eme Dans un triangle quelconque le centre O du cercle circonscrit le centre de gravité G et l'horthocentre H sont alignés
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d'où : (AH) // (OA') Propriété : Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre Donc : (AH) ? (BC)
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Exercice 20 : droite d'Euler Cours de 1ere S Le produit scalaire d'un vecteur ?? par un vecteur ? est le nombre réel noté ?? ? défini par :
Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 13, Octobre 1992, Mathématique
1Euler et le centre d'une similitude
André Calame
1 Un problème de géométrie élémentaire Lors du 30e anniversaire de Math-Ecole en novembre 1991, le professeur Francis Gutmacher, spécialiste des Jeux mathématiques et logiques, posait la question suivante à quelquesenseignants, didacticiens et méthodologues : " Quelle est la qualité première pour faire des
mathématiques ? » Et chacun d'y aller de sa réponse spontanée: savoir raisonner, avoir du
goût pour l'abstraction, aimer les calculs, avoir le sens de la déduction logique, etc. " Pourmoi, reprend alors Gutmacher, la qualité première, c'est l'imagination et le mathématicien qui
a montré le plus d'imagination, c'est EULER ». Nous voudrions donner ici un exemple de l'imagination d'Euler dans la résolution d'unproblème de géométrie élémentaire. Etant donné deux segments AB et A'B' (fig. 1), trouver le
centre de la similitude qui transforme AB en A'B'. fig 1. recherche du centre de similitude qui transforme AB en A'B' Précisons qu'il s'agit d'une similitude directe qui conserve l'orientation des figures. Cette similitude est la composition d'une homothétie et d'une rotation autour d'un centre M àdéterminer. Nous supposons que AB et A'B' ne sont pas parallèles; en cas de parallélisme, la
similitude se réduirait à une homothétie dont le centre est à l'intersection des droites M'et BB',
à moins que AB=A'B' auquel cas la similitude serait une translation. Avant d'examiner la construction imaginée par Euler, prouvons d'abord que les points A, B et leurs images A', B' déterminent complètement la similitude directe. Nous traitons cette question dans le plan de Gauss où chaque point est représenté par un nombre complexe z = x + yi.Détermination de la similitude
Soit s la similitude qui transforme z
1 en w 1 et z 2 en w 2 (fig. 2).Posons :
a= w 2 -w 1 z 2 -z 1Le module de a est :
a= w 2 -w 1 z 2 -z 1 w 2 -w 1 z 2 -z 1 =k>0 . Il représente le facteur k de l'homothétie liée à la similitude. 1 Professeur, 2026 Sauges. L'article a été scanné et remis en page en janvier 2008.Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 13, Octobre 1992, Mathématique
2L'argument de a est :
arg(a)=arg w 2 -w 1 z 2 -z 1 =arg(w 2 -w 1 )-arg(z 2 -z 1 , il représente la mesure α de l'angle de rotation de la similitude. fig 2. passage dans le plan de Gauss Soit z un point quelconque du plan de Gauss et w son image. On doit avoir également 1 a= w-w 1 z-z 1 La similitude est complètement déterminée par la relation : w-w 1 z-z 1 w 2 -w 1 z 2 -z 1 qui peut aussi s'écrire: w=az+b ou b=w 1 -az 1 Toute similitude directe est donc de la forme w = az + b.Existence et unicité du centre de similitude
Pour la similitude w = az + b, un point fixe z
0 est donné par l'équation: z 0 =a z 0 + b qui a pour solution unique: z 0 b 1-aCe centre z
0 existe pour autant que a soit différent de 1, c'est-à-dire chaque fois que la similitude ne se réduit pas à une translation, ce que nous avons exclu plus haut.Première construction d'Euler
Voyons maintenant comment Euler détermine le centre de la similitude qui transforme A en A' et B en B' (fig. 3). Soit I le point d'intersection des droites AB et A'B'. Euler construit d'une part le cercle qui passe par A, A' et I; d'autre part le cercle qui passe par B, B' et I. Ces deux cercles qui passent tous deux par I se coupent en un second point M qui est le centre de similitude cherché. 1 L'article original détaille ce point qui s'obtient en utilisant pour z, z 1 et leurs images, les arguments utilisés pour z 1 et z 2 et leurs images (ndlr).Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 13, Octobre 1992, Mathématique
3 fig 3. première construction d'EulerJustification
Supposons connu le centre de similitude M. La similitude des triangles MAB et MA'B'entraîne les égalités suivantes (fig. 4a, MA' à l'intérieur de AMB et fig. 4b, MA' à l'extérieur
de AMB) : µ = µ' ; α = α' ; β = β' fig 4a & 4b. deux cas de figure pour la justification de la première construction d'EulerBulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 13, Octobre 1992, Mathématique
4Dans la figure 4a, il en résulte que le quadrilatère croisé MAIA' a deux angles opposés égaux:
α et α'. Ce quadrilatère est donc inscriptible, si bien que le cercle qui passe par A, A' et I
passe aussi par M. De même le quadrilatère MBIB' est aussi inscriptible et le cercle qui passe par B, B' et I passe également par M. Dans la figure 4b, le quadrilatère convexe MAIA' a deux angles opposés supplémentaires (somme des angles du quadrilatère MBIA' égale à 360°) : ϕ + ρ - µ (180-α') + (180-β) = 360 [°] ϕ = α' + β + µ - ρ = 180 - ρ [°]Le quadrilatère est donc inscriptible. Par analogie, il en est de même du quadrilatère MBIB'.
Dans cette construction, le point I joue un rôle fondamental, bien qu'il ne soit pas invariant dans la transformation.Deuxième construction d'Euler
Euler aurait pu se contenter de la construction qui vient d'être décrite. Mais son imagination le
pousse à poursuivre le raisonnement. Si l'on mène (fig. 5) la perpendiculaire en A à AB et la
perpendiculaire en A' à A'B', ces droites se coupent en un point A . Le quadrilatère AIA'A est inscriptible puisque les angles en A et A' sont droits; A est donc sur le cercle passant par A,A', I. De plus,
AI est un diamètre de ce cercle.
fig 5. deuxième construction d'Euler De même, les perpendiculaires menées par B à AB et par B' à A'B' se coupent en un point B sur le cercle passant par B, B', I et BI est un diamètre de ce cercle.
Revenons au point M. Dans le cercle de diamètre AI, l'angle
AMI est droit, comme inscrit
dans un demi-cercle; de même, dans le cercle de diamètre BI, l'angle
BMI est droit. Il en
résulte que les points A B , M sont alignés sur une droite d et que IM est perpendiculaire à cette droite d.Bulletin de la Société des Enseignants Neuchâtelois de Sciences, n° 13, Octobre 1992, Mathématique
5 fig 6. deuxième construction d'Euler sans les échafaudages Enlevons maintenant les échafaudages (fig. 6) de cette construction. Euler construit le centre de similitude M en cinq "coups" d'équerre et un "coup" de règle selon la "recette" suivante:1) Mener la perpendiculaire en A à AB.
2) Mener la perpendiculaire en A' à A'B'. Ces perpendiculaires se coupent en
A3) Mener la perpendiculaire en B à AB.
4) Mener la perpendiculaire en B' à A'B'. Ces perpendiculaires se coupent en
B5) Mener la droite d qui passe par
A et B6) Abaisser de 1 la perpendiculaire sur d. Cette perpendiculaire coupe d au point M cherché.
Voilà comment l'imagination d'Euler permet de faire l'économie de la construction de cercles. En conclusion, il semblerait possible de présenter sous forme d'atelier en quatrième année secondaire cette recherche du centre de similitude (sans recours aux complexes, bien sûr !). On aurait ainsi l'occasion d'utiliser les connaissances sur les angles inscrits dans un contexte naturel.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] le messager dathènes questions reponses
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