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Tests Paramétriques

Tests Paramétriques

Statistique Décisionnelle

Licence 3 Management & Sciences Commerciales

Faculté d"économie, gestion & AES

Université de Bordeaux - Collège DESPEG

Automne 2015

A. Lourme

http://alexandrelourme.free.fr 1/25

Tests Paramétriques

Généralités

Le contexte des tests paramétriques

Lest une loi de probabilité dépendant d"un paramètreθ.X1,...,Xnest un

échantillon aléatoire deL.

Objectif.

Prendre la décision de rejeter/ne pas rejeter une hypothèseportant sur le paramètreθ. L"hypothèse testée est l"hypothèse nulle ; on la noteH0. L"hypothèseH1retenue en cas de rejet deH0est l"hypothèse alternative.

Plusieurs types de tests.

?bilatéral :H0:θ=θ0vsH1:θ?=θ0 ?unilatéral à gauche :H0:θ≥θ0vsH1:θ < θ0 Remarque.Un test unilatéral à gauche peut être traité comme un test unilatéral à H

1:-θ >-θ0.

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Tests Paramétriques

Généralités

Définitions complémentaires

?La statistique de test est une variable aléatoireRfonction de l"échantillon, sur laquelle repose la décision. ?La zone de rejetZrest l"ensemble des valeurs possibles de la statistiqueRqui conduisent à rejeterH0. ?Les valeurs délimitantZrsont appelées des valeurs critiques. ?Le risque de première espèce est la probabilité de rejeterH0alors qu"elle est vraie. ?Le risque de seconde espèce est la probabilité de ne pas rejeterH0alors qu"elle est fausse. ?Le niveau du test est la valeur maximale du risque de premièreespèce1. ?Lap-valeur du test est la probabilité d"observer une valeur plus atypique encore que celle de la statistique de test, en supposantH0vraie.

1dans un test unilatéral on considére le niveau égal au risquede première espèce

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Tests Paramétriques

Généralités

Les étapes d"un test paramétrique

1.

Déterminer le paramètreθdu test

2.EnoncerH0,H1comme contraintes surθ

3.Choisir un seuil de risqueα(0< α <1)

4.Définir la statistique de testR

5.Déterminer la distribution deRsousH0

6.Déterminer la zone de rejetZr:P(R?Zr|H0) =α

6.Calculer la valeur observée deR

7.Décider : on rejetteH0ssiR?Zr

8.Interpréter la décision

Remarque.La statistique de testRappartient à la zone de rejetZrsi et seulement si lap-valeur est inférieure au seuil de risqueα. L"hypothèseH0est donc rejetée lorsque :R?Zrou, de façon équivalente, lorsque :p-val.< α. 5/25

Tests Paramétriques

Généralités

Notations utiles et commandes sous R

sous R loi notation quantile d"ordreβfct de répartition fct quantile normale centrée réduiteN(0;1)zβpnorm qnorm

Student ànd.d.l.Tntn;βpt qt

2ànd.d.l.χ2nχ2n;βpchisq qchisq

Fisher ànetmd.d.l.Fn;mwn;m;βpf qf

binomiale(n;p)B(n;p)bn;p;βpbinom qbinom 6/25

Tests Paramétriques

Comparaison d"un paramètre à une valeur de référence

Introduction

X1,...,Xnest un échantillon aléatoire d"une loi de probabilitéLde variance finie.

Les statistiques

¯X=??ni=1Xi?/netLetS?2=??ni=1(Xi-¯X)2?/(n-1)sont des estimateurs (sans biais) de la moyenne et de la variance deL. ?Tests portant sur une moyenne. On compareμ, la moyenne inconnue deL, à une valeur de référenceμ0. ?Tests portant sur une variance. On compareσ2, la variance inconnue deL, à une valeur de référenceσ20. ?Tests portant sur une proportion. Lest une loi de Bernoulli de paramètrepet on comparep, la proportion inconnue de succès, à une valeur de référencep0. 8/25

Tests Paramétriques

Comparaison d"un paramètre à une valeur de référence

Tests portant sur une moyenne

Test bilatéral :H0:μ=μ0vsH1:μ?=μ0

σconnu[on suppose :n≥30 etLquelconque ounquelconque etLnormale] statistique de test :Z=⎷n(¯X-μ0)/σ sousH0:Z≂N(0;1)approximativement qdLquelconque zone de rejet deH0au seuilα:|Z|>z1-α/2 ?σinconnu[on supposeLnormale] statistique de test :T=⎷n(¯X-μ0)/S? sousH0:T≂Tn-1 zone de rejet deH0au seuilα:|T|>tn-1;1-α/2

Exercice 1.

Le salaire mensuel moyen de quarante-neuf habitants de votre village est de 2270e. Au seuil 5%, le salaire mensuel moyen des français peut-il valoir 2400esi :

1.l"écart-type du salaire mensuel des français est de 420e?

2.l"écart-type du salaire mensuel dans l"échantillon est de 420e?

Dans chacun des deux cas envisagés, donnez lap-valeur du test. 9/25

Tests Paramétriques

Comparaison d"un paramètre à une valeur de référence

Tests portant sur une moyenne

σconnu[on suppose :n≥30 etLquelconque ounquelconque etLnormale] statistique de test :Z=⎷n(¯X-μ0)/σ zone de rejet deH0au seuilα:Z>z1-α ?σinconnu[on supposeLnormale] statistique de test :T=⎷n(¯X-μ0)/S? zone de rejet au seuilα:T>tn-1;1-α

Exercice 2.

Chaque jour, les français passent en moyenne six heures et demie devant la télévision avec un écart-type de deux heures. Or, deux-cents parisienschoisis au hasard regardent la télévision six heures et quarante-cinq minutes par jour en moyenne. Au seuil de 5%rejette-t-on l"hypothèse : les parisiens passent en moyenne moins de temps devant la télévision que l"ensemble des français ?

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Tests Paramétriques

Comparaison d"un paramètre à une valeur de référence

Tests portant sur une proportion

Test bilatéral :H0:p=p0vsH1:p?=p0

¯Xrepésente la proportion etn¯Xle nombre de succès dans l"échantillon. ?test exact statistique de test :Y=n¯X sousH0:Y≂B(n;p0) zone de rejet deH0au seuilα:Ybn;p0;1-α/2 ?test approché[on supposen≥30] statistique de test :Z=⎷n(¯X-p0)/?p0(1-p0) sousH0:Z≂N(0;1)approximativement zone de rejet deH0au seuilα:|Z|>z1-α/2

Exercice 3.

John, mon oncle de Boston, affirme que M. Obama remportera la prochaine élection avec 52%des voix. Hier, à son anniversaire, trente-six des cinquante-quatre invités étaient favorables à M. Obama. La prévision de John est-ellefondée ?

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Tests Paramétriques

Comparaison d"un paramètre à une valeur de référence

Tests portant sur une proportion

¯Xrepésente la proportion etn¯Xle nombre de succès dans l"échantillon. ?test exact statistique de test :Y=n¯X zone de rejet deH0au seuilα:Y>bn;p0;1-α ?test approché[on supposen≥30] statistique de test :Z=⎷n(¯X-p0)/?p0(1-p0) zone de rejet deH0au seuilα:Z>z1-α

Exercice 4.

Sur deux-cent prunes ramassées dans mon jardin, cent deux sont verreuses. Au seuil de

10%, rejette-t-on l"hypothèse : la majorité des prunes de mon jardin est comestible ?

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Tests Paramétriques

Comparaison d"un paramètre à une valeur de référence

Tests portant sur une variance

Test bilatéral :H0:σ2=σ20vsH1:σ2?=σ20 statistique de test :W= (n-1)S?2/σ20 sousH0:W≂χ2n-1[on suppose queLest une loi normale] zone de rejet deH0au seuilα:W< χ2n-1;α/2ouW> χ2n-1;1-α/2

Exercice 5.

La variance (corrigée) des tailles de huit truites d"Ecossevaut 4 cm2. Au seuil de 5%, doit-on rejeter l"hypothèse : la variance de la taille de la truite d"Ecosse vaut 3 cm2?

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Tests Paramétriques

Comparaison d"un paramètre à une valeur de référence

Tests portant sur une variance

statistique de test :W= (n-1)S?2/σ20 zone de rejet deH0au seuilα:W> χ2n-1;1-α

Exercice 6.

Un processus de remplissage de bouteilles est sous contrôlesi la varianceσ2du choisies au hasard ont pour volumes (en cL) : 101, 103, 99, 102, 101. Au seuil de 10%, rejette-t-on l"hypothèse : le processus est sous contrôle?

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Tests Paramétriques

Comparaison des valeurs de deux paramètres

Tests portant sur deux moyennes

Introduction

Xa,1,...,Xa,nest un échantillon aléatoire d"une loiLade variance finie. X b,1,...,Xb,mest un échantillon aléatoire d"une loiLbde variance finie. ?Tests portant sur une moyenne. On compareμaetμbles moyennes inconnues deLaetLb. ?Tests portant sur une variance. On compareσ2aetσ2bles variances inconnues deLaetLb. ?Tests portant sur une proportion. L aetLbsont deux lois de Bernoulli dont on compare les paramètrespaetpb.

Les statistiques

¯Xa=??ni=1Xa,i?/netS?2a=??ni=1(Xa,i-¯Xa)2?/(n-1)sont des estimateurs (sans biais) de la moyenneμaet de la varianceσ2adeLa.

Les statistiques

des estimateurs (sans biais) de la moyenneμbet de la varianceσ2bdeLb.

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Tests Paramétriques

Comparaison des valeurs de deux paramètres

Tests portant sur deux moyennes

Test bilatéral :H0:μa=μbvsμa?=μbpour échantillons indépendants1

σa,σbconnus

[n,m≥30 &La,Lbquelconques oun,mquelconques &La,Lbnormales] statistique de test :Z= (¯Xa-¯Xb)/?σ2a/n+σ2b/m sousH0:Z≂N(0;1)approximativement qdLa,Lbquelconques zone de rejet deH0au seuilα:|Z|>z1-α/2 ?σa,σbinconnus mais égaux (σa=σb)[La,Lbnormales] statistique de test :

T= (¯Xa-¯Xb)/?

(1/n+1/m)×?(n-1)S?2a+ (m-1)S?2b?/(n+m-2) sousH0:T≂Tn+m-2 zone de rejet deH0au seuilα:|T|>tn+m-2;1-α/2

Exercice 7.

La moyenne des salaires de 10 danois (resp. 12 danoises) vaut2600e(resp. 2500e). Au seuil de 10%, rejette-t-on l"hypothèse : au Danemark, le salaire moyen ne dépend pas du sexe, sachant que la variance des salaires vaut 10

4e2chez les hommes et

8100e2chez les femmes ? Quelle est lap-valeur du test ?

1{Xa,1,...,Xa,n}et{Xb,1,...,Xb,m}sont supposés indépendants17 /25

Tests Paramétriques

Comparaison des valeurs de deux paramètres

Tests portant sur deux moyennes

Test bilatéral :H0:μa=μbvsμa?=μbpour échantillons appariés1 On suppose :Δi=Xa,i-Xb,i(i=1,...,n) est un échantillon gaussien

On note :

¯Δ =1

n? n i=1ΔietS?2d=1n-1? n i=1(Δi-¯Δ)2 statistique de testT=⎷nׯΔ/S?d sousH0:T≂Tn-1 zone de rejet deH0au seuilα:|T|>tn-1,1-α/2

Exercice 8.

époux23 18 30 27 17

épouse21 16 23 28 17

salaires annuels (en ke) de cinq guérétois et de leur épouse Au seuil de 5%, rejette-t-on l"hypothèse : à Gueret, le salaire moyen des hommes et celui des femmes sont égaux ? Déterminez lap-valeur du test.

1n=met les échantillons{Xa,1,...,Xa,n}et{Xb,1,...,Xb,n}sont appariés

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Tests Paramétriques

Comparaison des valeurs de deux paramètres

Tests portant sur deux moyennes

σa,σbconnus

[n,m≥30 &La,Lbquelconques/n,mquelconques &La,Lbnormales] statistique de test :Z= (¯Xa-¯Xb)/?σ2a/n+σ2b/m zone de rejet deH0au seuilα:Z>z1-α ?σa,σbinconnus mais égaux (σa=σb)[La,Lbnormales] statistique de test :

T= (¯Xa-¯Xb)/?

(1/n+1/m)×?(n-1)S?2a+ (m-1)S?2b?/(n+m-2) zone de rejet deH0au seuilα:T>tn+m-2;1-α

Exercice 9.

effectif moyenne des massesvariance des masses

échantillonmâle20 53 64

femelle 22 51 60 statistiques observées dans deux échantillons de tortues mâles et femelles Au seuil de 10%, rejette-t-on l"hypothèse : la masse moyenne de l"ensembledes tortues mâles est inférieure à celle de l"ensemble des femelles ?

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Tests Paramétriques

Comparaison des valeurs de deux paramètres

Tests portant sur deux moyennes

On suppose :Δi=Xa,i-Xb,i(i=1,...,n) est un échantillon gaussien

On note :

¯Δ =1

n? n i=1ΔietS?2d=1n-1? n i=1(Δi-¯Δ)2 statistique de testT=⎷nׯΔ/S?d zone de rejet deH0au seuilα:T>tn-1,1-α

Exercice 10.

plaine63 80 58 74 63 altitude66 82 55 75 68 rythme cardiaque relevé chez cinq sujets placés en plaine puis en altitude Au seuil de 10%, rejette-t-on l"hypothèse : l"altitude ralentit le rythmecardiaque ?

1n=met les échantillons{Xa,1,...,Xa,n}et{Xb,1,...,Xb,n}sont appariés

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Tests Paramétriques

Comparaison des valeurs de deux paramètres

Tests portant sur deux proportions

Test bilatéral :H0:pa=pbvs pa?=pb

¯Xareprésente la proportion etn¯Xale nombre de succès dans l"échantillon a Xbreprésente la proportion etm¯Xble nombre de succès dans l"échantillon b statistique de test :T= (¯Xa-¯Xb)/?(1/n+1/m)×F(1-F) avec :F= (n¯Xa+m¯Xb)/(n+m) sousH0:Z≂N(0;1)approximativement zone de rejet deH0au seuilα:|Z|>z1-α/2

Exercice 11.

Cinquante-quatre électeurs parmi cent retraités et quatre-vingt-dix électeurs parmi deux-cents actifs trouvent M. Li sympathique. Au seuil de 10%doit-on rejeter : M. Li séduit la même proportion des actifs et des retraités ? Au delà de quelle valeur du seuil rejette-t-on cette hypothèse ?

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Tests Paramétriques

Comparaison des valeurs de deux paramètres

Tests portant sur deux proportions

statistique de test :Z= (¯Xa-¯Xb)/?(1/n+1/m)×F(1-F) avec :F= (n¯Xa+m¯Xb)/(n+m) zone de rejet deH0au seuilα:Z>z1-α

Exercice 12.

Un sondage révèle que trente sujets sont satisfaits de leur travail parmi cinquante actifs de la CSP A, contre vingt sujets parmi quarante actifsde la CSP B. Au seuil de 5%, doit-on rejeter : la proportion de sujets satisfaits de leur travail est plus importante dans la CSP B que dans la CSP A ? Quelle est lap-valeur du test ?

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Tests Paramétriques

Comparaison des valeurs de deux paramètres

Tests portant sur deux variances

Test bilatéral :H0:σ2a=σ2bvsH1:σ2a?=σ2b statistique de test :F=S?2a/S?2b sousH0:F≂Fn-1,m-1[on supposeLaetLbnormales] zone de rejet deH0au seuilα:F χ2n-1,m-1;1-α/2

Exercice 13.

La variance de la masse de huit fraises Anabelle produites par M. Xu vaut 9 g2et celle de dix fraises Charlotte 8 g

2. Au seuil de 10%, rejette-t-on l"hypothèse : la variance de

la masse des fraises est la même pour les deux variétés ?

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Tests Paramétriques

Comparaison des valeurs de deux paramètres

Tests portant sur deux variances

statistique de test :F=S?2a/S?2b zone de rejet deH0au seuilα:F>wn-1,m-1;1-α

Exercice 14.

La variance de la masse de huit fraises Anabelle produites par M. Xu vaut 9 g2et celle de dix fraises Charlotte 8 g

2. Au seuil de 10%, rejette-t-on l"hypothèse : la variance de

la masse des fraises est plus grande pour la variété Charlotte que pour Anabelle ?

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References

Dagnélie, P. (2006).

Statistique théorique et appliquée, tome 2: Inférences à une et à deux dimensions, bruxelles-université, ed.

De Boeck Larcier.

Daudin, J.-J., Robin, S., and Vuillet, C. (1999).

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Egon, H. and Porée, P. (2004).

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Millot, G. (2009).

Comprendre et réaliser les tests statistiques à l"aide de r.

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Saporta, G. (2011).

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Editions Technip.

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