[PDF] Noyau et image des applications linéaires





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Noyau et image des applications linéaires

Définition. Si f : E ? F est une application linéaire son noyau



Noyau et image des applications linéaires

Définition. Si f : E ? F est une application linéaire son noyau



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1 Applications linéaires Morphismes

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Une fonction f : E ?? F (de E dans F) est définie par un sous-ensemble de Gf ? E × F tel que pour tout x ? E Ensemble image de A ? E :

  • Comment calculer l'ensemble d'image ?

    Donc pour déterminer l'ensemble image d'une fonction du second degré, il suffit de connaître l'ordonnée du sommet de sa parabole représentative et de savoir si cette parabole est orientée vers le haut ou vers le bas.
  • C'est quoi l'ensemble image d'une fonction ?

    L'ensemble des images d'une fonction regroupe toutes les valeurs « y » d'une fonction - f(x) - donnée. Chaque fois que vous donnez une nouvelle valeur à « x », vous obtenez une valeur « y » qu'on appelle une image.
  • C'est quoi l'ensemble K ?

    L'ensemble K, formation à géométrie variable, à la croisée des arts, s'attache à bousculer la forme traditionnelle du concert en confrontant la musique de chambre à d'autres formes d'expression artistique (littérature, arts de la scène, arts plastiques, danse, etc.)
  • Voici la marche à suivre:

    1On trace une droite verticale à partir de l'antécédent dont on veut trouver l'image.2On note l'unique intersection entre cette droite et le graphe de f.3On trace une droite horizontale en ce point. L'intersection de cette droite avec l'axe des ordonnées nous donne l'image recherchée.

Noyau et image des applications lin´eaires

D´edou

Novembre 2010

Noyau d"une application lin´eaire : d´efinition

D´efinition

Sif:E→Fest une application lin´eaire, son noyau, not´eKerfest l"ensemble des vecteurs deEquefannule :

Kerf:={v?E|f(v) = 0}.Exemple

Le noyau de la projectionp:= (x,y,z)?→(x,y,0) deR3sur son plan horizontal est l"axe vertical d´efini parx=y= 0.Exo 1 Quel est le noyau de la projectionp:= (x,y,z)?→(0,0,z) deR3 sur son axe vertical? Noyau et syst`eme lin´eaire homog`ene : exemple

Exemple

Le noyau def:= (x,y,z)?→(3x+ 5y+ 7z,2x+ 4y+ 6z) est l"ensemble des solutions du syst`eme ?3x+ 5y+ 7z= 0

2x+ 4y+ 6z= 0.Autrement dit

L"ensemble des solutions du syst`eme

?3x+ 5y+ 7z= 0

2x+ 4y+ 6z= 0

est le noyau de l"application lin´eaire (x,y,z)?→(3x+ 5y+ 7z,2x+ 4y+ 6z).

Noyau d"une application lin´eaire : exercice

Exo 2 a) Exprimez le noyau def:= (x,y,z,t)?→(3x+ 7z-t,2y+ 6z) comme ensemble de solutions. b) Exprimez l"ensemble des solutions du syst`eme ?3x+ 4t= 0 y-z-t= 0

2x+y+z-t= 0

comme noyau.

Nature du noyau d"une application lin´eaire

Proposition

Le noyau d"une application lin´eaire deEdansFest un sous-espace vectoriel deE.Et ¸ca se prouve... trop facile! Image d"une application lin´eaire : d´efinition

D´efinition

Sif:E→Fest une application lin´eaire, son image, not´eeImfest l"ensemble des vecteurs deFde la formef(v) avecv?E:

Imf:={f(v)|v?E}.Exemple

L"image de la projectionp:= (x,y,z)?→(x,y) deR3sur son plan horizontal est justemment ce plan horizontal, d"´equationz= 0.Exo 3

Quelle est l"image de (x,y,z)?→(0,0,z)?

Image d"une application lin´eaire : exemple

Exemple

L"application lin´eairef:= (x,y,z)?→(3x+5y+7z,2x+4y+6z) s"´ecrit aussi f:= (x,y,z)?→x?3 2? +y?5 4? +z?7 6? Sous cet angle on voit (?) que les vecteurs de l"image defsont exactement les combinaisons lin´eaires du syst`eme de trois vecteurs ((3,2),(5,4),(7,6)) :

Im(x,y,z)?→?3x+ 5y+ 7z

2x+ 4y+ 6z?

= .Autrement dit L"image defest le sous-espace vectoriel deR2engendr´e par ((3,2),(5,4),(7,6)).

Mais qui sont ces vecteurs?

Si on ´ecrit

f:= (x,y,z)?→x?3 2? +y?5 4? +z?7 6? on voit (?) que les trois vecteurs ?3 2? ,?5 4? ,?7 6?

sont les images parfde la base canonique. DoncL"image de l"application lin´eairefestle sous-espace vectoriel deR2engendr´e par les images parfde la

base canonique.

Image d"une application lin´eaire : exercice

Exo 4

Donnez des g´en´erateurs de l"image de

(x,y)?→(3x+ 7y,2y,x-y). Image d"une application lin´eaire : le cas g´en´eral

Proposition

Soitf:E→Fune application lin´eaire. Alorsl"image defest un sous-espace vectoriel deF;si le syst`eme de vecteurs (c1,...,cn) engendreE(en particulier

si c"est une base deE), alors l"image defest engendr´ee par le syst`eme (f(c1),...,f(cn)).Et ¸ca se prouve.

Attention!

Mˆeme si (c1,...,cn) est une base deE, (f(c1),...,f(cn)) n"est pas forc´ement une base deImf. Par exemple pour f:R3→R2, et (c1,...,c3) la base canonique, (f(c1),...,f(c3)) ne peut pas ˆetre libre (trop de vecteurs).quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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