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C

HAPITRE

1

LES SUITES

1.1Généralités sur les suitesDé“nition 1.1.1

Une suite(u

n )est une fonction définie de?dans?.Onnote(u n n?-→u n ?u n est appelé le terme général de la suite(u n ?Attention donc à bien faire la différence entre(u n )(la suite) etu n (un seul terme). ?On pourra noter indifféremment(u n )ou tout simplementu. ?Variations, monotonie d"une suiteDé“nition 1.1.2

Soit(u

n )une suite. On dit que : a)la suite(u n )estcroissantesi pour toutn??:u n ?u n+1 b)la suite(u n )estdécroissantesi pour toutn??:u n ?u n+1 c)la suite(u n )estmonotonesi elle est croissante ou décroissante; d)la suite(u n )estconstantesi pour toutn??:u n+1 =u n ?Il existe des suites qui ne sont ni croissantes, ni décroissantes :u n =(-1) n

?Les premiers termes de la suite n"entrent pas forcément en compte dans la variation d"une suite. Ils

peuvent cependant donner une indication sur la monotonie de la suite.

CHAPITRE11

1 ?Méthodes de détermination du sens de variation d"une suite

MÉTHODE1. ... SENS DE VARIATION DUNE SUITE

Pour déterminer le sens de variation d"une suite(u n ), on peut utiliser l"une des règles suivantes : a)On étudie le signe de la différenceu n+1 -u n ?Siu n+1 -u n est positive, alors la suite(u n )est croissante. ?Siu n+1 -u n est négative, alors la suite(u n )est décroissante. b)Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, alors il suffit de comparer le rapportu n+1 u n

à1.

?Siu n+1 u n ?1, alors la suite(u n )est croissante. ?Siu n+1 u n ?1, alors la suite(u n )est décroissante. c)Si la suite(u n )est définie explicitement :u n =f(n), alors il suffit d"étudier les variations de la fonction fsur l"intervalle0;+∞.Lasuite(u n )et la fonctionfont le même sens de variation. d)On utilise un raisonnement par récurrence (voirsection 2).

Il est bien évident que chacune de ces méthodes est adaptée au type de suite à laquelle nous serons

confrontés.

Exemple

Déterminer le sens de variation des suites suivantes en utilisant la règle la mieux adaptée.

a)Pour toutn??,u n =n 2 -n. b)Pour toutn?? ,u n =2 n n. c)Pour toutn?2,u n =2n-1 n+1. a)Pour toutn??, u n+1 -u n =(n+1) 2 -(n+1)-(n 2 -n)=2n?0.

Par conséquent, la suite(u

n )est croissante. b)Ici on étudie le rapportu n+1 u n . Pour toutn?1 u n+1 u n =2 n+1 n+1 2 n n= 2 n+1 n+1×n2 n =2n n+1=n+nn+1?1.

Ainsi, la suite(u

n )est croissante. c)On au n =f(n)oùf(x)=2x-1 x+1.Lafonctionfest dérivable sur0;+∞et pour toutx?0,

2LES SUITES

2

Chapitre 1

f (x)=3 (x+1) 2 >0. La fonctionfest donc strictement croissante sur0;+∞. On déduit que la suite(u n )est aussi strictement croissante. ?Suite arithmétique

Dé“nition 1.1.3

Une suite(u

n n?? est arithmétique s"il existe un réelrindépendant dentel que, pour toutn??, u n+1 =u n +r

Le nombrerest appelé la raison de la suite(u

n

Exemple 1

La suite(u

n )définie par :u 0 =2etu n+1 =u n +3(n??) est arithmétique. Ici la raison estr=3. MÉTHODE2. - DÉMONTRER QU"UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE

Une suite(u

n

)est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante

est alors la raison de la suite.

Ainsi, si pour toutn??,u

n+1 -u n =r, alors la suite(u n )est arithmétique de raisonr.

Exemple

Soit(u

n )la suite définie pour toutn??par :u n =4n-1. Montrer que(u n )est arithmétique.

Pour toutn??:

u n+1 -u n =4(n+1)-1-4n+1=4.

Par conséquent, la suite(u

n )est bien arithmétique de raisonr=4.

Propriété 1.1.4

A)Expression du terme général en fonction den: ?si le premier terme estu 0 ,alors:u n =u 0 +nr; ?si le premier terme estu p (pB)Somme des premiers termes:siSdésigne la somme de termes consécutifs d"une suite arithmétique,

alors :

S=(Nombre de termes)×

1 er terme+dernier terme 2

CHAPITRE13

3

Les suites

?Suite géométrique

Dé“nition 1.1.5

Une suite(u

n n?? est géométrique s"il existe un réelqindépendant dentel que, pour toutn??, u n+1 =q.u n

Exemple 2

a)La suite(u n )définie par :u 0 =2etu n+1 =3u n pour toutn??.

Ici la raison estq=3.

b)La suite(v n )définie par :v 0 =-3etv n+1 =v n

4pour toutn??.

La suite(v

n )est-elle géométrique? MÉTHODE3. - DÉMONTRER QU"UNE SUITE EST GÉOMÉTRIQUE

Pour justifier qu"une suite(u

n )est géométrique, il suffit d"utiliser la définition suivante.

Une suite(u

n )est géométrique si l"on peut écrireu n+1 sous la forme :u n+1 =qu n . Le nombre réelqest alors la raison de la suite géométrique(u n

Exemple

Soit(u

n )la suite définie pour toutn??par :u n =3 2 n .Montrerque(u n )est géométrique. On précisera le premier terme et la raison.

Pour toutn??,

u n+1 =3 2 n+1 =1

2×32

n =1 2u n

Par conséquent, la suite(u

n )est bien géométrique de raisonq=1 2. Une autre méthode (reposant aussi sur la définition) consiste à prouver que le rapportu n+1 u n est constant, mais il faut s"assurer que les termesu n ne s"annulent pas.

4LES SUITES

4

Chapitre 1

Propriété 1.1.6

Si(u n )est une suite géométrique de raisonq: A)Expression du terme général en fonction den: ?si le premier terme estu 0 ,alors:u n =u 0 q n ?si le premier terme estu p (pB)Somme des premiers termes: si

Sdésigne la somme de termes consécutifs d"une suite géométrique de raisonq(q?=1), alors :

S=(1 er terme)×1-q nombre de termes 1-q

1.2Le raisonnement par récurrence

?Introduction et intérêt du raisonnement par récurrence

Exemple

Soit la suite(u

n )définie par : (u n ):"u 0 =0 u n+1 =2u n +1

En calculant les premiers termes de la suite, on peut donc émettre une conjecture quant à la forme

du terme généralu n

On a :u

1 =1;u 2 =3;u 3 =7. Il semble que pour toutn??:u n =2 n -1. Pour confirmer une telle conjecture, il nous faut la démontrer.

Pour toutn??, notons

P n la propriété : P n :u n =2 n -1. a)On démontre que P 0 est vraie; on a d"une part u 0 =0 (définition) et d"autre part 2 0 -1=0, doncu 0 =2 0 -1. La propriété estinitialisée. b)Supposons que pour un certain entiern, P n soit vraie, c"est-à-dire qu"on aitu n =2 n -1. Alors on a u n+1 =2u n +1=2(2 n -1)+1=2 n+1 -1.

Ce qui veut dire tout simplement que

P n+1 est vraie. Ainsi, on vient de prouver que pour un entiern quelconque P n entraîneP n+1 .Lapropriétéesthéréditaire.

Conclusion

:lapropriétéestinitialiséeethéréditaire, elle est donc vraie pour tout entiern.

CHAPITRE15

5

Les suites

?Le principe de récurrence

Ce principe de démonstration par récurrence s"applique lorsqu"on cherche à démontrer qu"une propriétéP

n dépendant d"un entier naturelnest vraie pour tout entiern?n 0 ,n 0

étant un entier naturel donné.

Principe du raisonnement par récurrence 1.2.1

On considère une propriétéP

n . Pour démontrer queP n est vraie pour tout entiern?n 0 ,onprocèdeen trois étapes : A)Initialisation: on montre que la propriété est vraie pourn=n 0 , c"est-à-dire queP nquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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