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Sujets et corrigés des DS

de mathématiques et d"informatique

BCPST1A lycée Hoche 2019-2020

Sébastien Godillon

Table des matières

Sujet du DS n

o1 (mathématiques, 3h) 3

Corrigé du DS n

o15

Exercice 1 (étude de fonctions, ensembles, équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Problème 1 (ensembles, logique, quantificateurs, nombres réels) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Exercice 2 (nombres réels, inéquations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Problème 2 (nombres complexes, logique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Exercice 3 (logique, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Sujet du DS n

o2 (mathématiques et informatique, 3h30) 23

Corrigé du DS n

o226

Exercice 1 (suites, informatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Exercice 2 (informatique, nombres réels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Exercice 3 (suites, informatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Problème (applications, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Exercice 4 (trigonométrie, applications) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Exercice 5 (suites, étude de fonctions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Exercice 6 (sommes, produits) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Sujet du DS n

o3 (mathématiques et informatique, 4h) 42

Corrigé du DS n

o347

Problème 1 (suites, sommes, informatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Problème 2 (dénombrement, applications, logique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 BCPST1A lycée Hoche 2019-2010 1 sur 149 Sébastien Godillon

Sujet du DS n

o4 (mathématiques, 3h) 62

Corrigé du DS n

o464

Problème 1 (matrices, étude de fonctions, équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Exercice 1 (matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Exercice 2 (primitives, fonctions usuelles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Problème 2 (dérivées, équations différentielles, intégrales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Sujet du DS n

o5 (mathématiques et informatique, 3h) 79

Corrigé du DS n

o583

Problème A (géométrie, systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

Problème B (suites, étude de fonctions, informatique, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

Sujet du DS n

o6 (mathématiques et informatique, 3h à distance) 100

Corrigé du DS n

o6103

Exercice 1 (étude de fonctions, limites, équivalents, continuité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

Exercice 2 (probabilités) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

Problème (polynômes, intégrales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

Exercice 3 (informatique, polynômes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

Sujet du DS n

o7 (mathématiques et informatique, 3h à distance) 118

Corrigé du DS n

o7120

Exercice 1 (probabilités, suites, limites, informatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

Exercice 2 (familles de vecteurs, sous-espaces vectoriels, informatique) . . . . . . . . . . . . . . .

124

Exercice 3 (informatique, développements limités, suites, études de fonction) . . . . . . . . . . .

131

Sujet du DS n

o8 (mathématiques et informatique, 3h à distance) 136

Corrigé du DS n

o8138

Problème 1 (dénombrement, sommes, développements limités) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 38

Exercice 1 (sous-espace vectoriel, familles de vecteurs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 42

Problème 2 (variables aléatoires, probabilités, informatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

Exercice 2 (développements limités, étude de fonctions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 48BCPST1A lycée Hoche 2019-2010 2 sur 149 Sébastien Godillon

DS n o1 de mathématiques durée : 3 heures

Exercice 1

On considère la fonctionf:x7!x253x. Déterminer les ensembles suivants : E 1=n f(x)jx2]4;7[o etE2=n x2Rjf(x)2]1;2]o

Problème 1

On dit queANest une partieouvertedeNsi la propriété suivante est vérifiée :

9p2N;8n2N; n>p=)n2A:(?)

1. Soit k2N. Montrer que l"ensembleNk=Nn fkgest une partie ouverte deN. 2. (a) Écrire la négation de la propriété ( ?). (b) Mon trerque l"ensem bleP=f2kjk2Ngn"est pas une partie ouverte deN. 3.

Soien tA1etA2deux parties ouvertes deN.

(a)

Mon trerque A1\A2est une partie ouverte deN.

(b)

Mon trerque A1[A2est une partie ouverte deN.

4. Soit AN. Montrer queAest une partie ouverte deNsi et seulement si son complémentaireNnA contient un nombre fini d"éléments.

SiAest une partie ouverte deN, on définit sondépart, notédep(A), par le plus petit entierppour lequel

la propriété (?) est vérifiée, autrement dit : dep(A) = minn p2Nj8n>p; n2Ao 5.

Soit k2N. Déterminerdep(Nk)oùNk=Nn fkg.

6.

Déterm inertoutes les parties ouv ertesde Ndont le départ est égal à3. On donnera la liste exhaustive

de ces parties, sans justifier, en explicitant au moins les cinq premiers éléments de chaque partie.

7.

Soit Aune partie ouverte deN.

(a)

Justifier que dep(A)2A.

(b) Mon trerque dep(A)1=2A(on pourra distinguer le cas oùdep(A) = 0). (c) En déduire que si A6=Nalorsdep(A) = max(NnA) + 1. 8.

Soien tA1etA2deux parties ouvertes deN.

(a)

Mon trerque dep(A1\A2) = max(dep(A1);dep(A2)).

(b)

Mon trerque dep(A1[A2)6min(dep(A1);dep(A2)).

(c) Déte rminerun exemple de parties A1NetA2Npour lequel l"inégalité de la question

précédente est stricte. On explicitera au moins les cinq premiers éléments de ces deux parties.BCPST1A lycée Hoche 2019-2010 3 sur 149 Sébastien Godillon

Exercice 2

Résoudre les inéquations suivantes d"inconnuexréelle. (I1)j3x2+ 4x+ 1j>jx2+xj (I2)x(x3)< x3x (I3)j x+px2k = 3 (I4)sin(7 x) + sin(5x)>0 (I5)x+m2x+ 3<1oùm2Rest un paramètre fixé.

Problème 2

On rappelle qu"on définit l"exponentielle d"un nombre complexez2Cpar : exp(z) =eRe(z)eiIm(z)=eRe(z) cos(Im(z)) +isin(Im(z)) 1.

Mon trerque :

8(z;w)2C2;exp(z+w) = exp(z)exp(w):

2.

Mon trerque :

8z2C;exp(z)6= 0et1exp(z)= exp(z):

3. (a) Mon trerque p ourtout z2C:exp(z) = 1() 9k2Z; z= 2ik. (b) En déduire que p ourtout (z;w)2C2:exp(z) = exp(w)() 9k2Z; z=w+ 2ik. 4.

Mon trerque fz2Cjjexp(z)j= 1g=fitjt2Rg.

Pour toutz2C, on définit les nombres complexes suivants : (z) =exp(iz) + exp(iz)2 et(z) =exp(iz)exp(iz)2i: 5.

Que v alent

(x)et(x)six2R? 6.

Mon trerque :

8z2C; (z)2+(z)2= 1: 7.

Soit z2C. Montrer que

(2 z) =(z). 8. Soit z2C. Sans justifier, simplifier les expressions (z),(z), (2 z),(2 z), (z), (z), (z+2 ),(z+2 (z+),(z+), (z+ 2)et(z+ 2). 9.

Mon trerque :

8(z;w)2C2;

(z+w) = (z) (w)(z)(w)et(z+w) = (z)(w) +(z) (w): 10. Résoudre les équations suiv antesd"inconn uez2C: (E1) (z) = 2 (E2)(z) = 2

Exercice 3

On considère la suite(un)n>0définie par

u

0= 4; u1= 3et8n>0; un+2=un+114

un:

Montrer qu"il existe(a;b;c)2R3tel que pour tout entiern>0,un= (an+b)cn.BCPST1A lycée Hoche 2019-2010 4 sur 149 Sébastien Godillon

Corrigé du DS n

o1 de mathématiques

Exercice 1

On considère la fonctionf:x7!x253x. Déterminer les ensembles suivants : E 1=n f(x)jx2]4;7[o etE2=n x2Rjf(x)2]1;2]o

ILa fonctionfest définie et dérivable surRn f3gcomme quotient de fonctions polynomiales dont le

dénominateur ne s"annule pas. On a :

8x2Rn f3g; f0(x) =2x(3x)(x25)(1)(3x)2=x2+ 6x5(3x)2:

On reconnaît au numérateur un polynôme du second degré de discriminant=(6)24(1)(5)=16>0. Donc le numérateur s"annule en(6+p16)=(2) = 1et en(6p16)=(2) = 5. De plus, il est strictement positif sur]1;5[et strictement négatif sur] 1;1[[]5;+1[. Puisque(3x)2>0pour toutx6= 3, on en déduit le tableau des variations def.x f

0(x)f(x)1135+10++0

+1+122+111010114 117

1112p3

2112

11 + 2p3

2 car : lim x!1f(x) = limx!1x5x 3 x

1= +1f(1) =12531=2lim

x!3f(x) = lim x!3x

253x= +1

lim x!+1f(x) = limx!+1x5x 3 x

1=1f(5) =52535=10lim

x!3+f(x) = lim x!3+x

253x=1

On af(4) =42534=11etf(7) =72532=11. On déduit du tableau des variations defque : E 1=n f(x)jx2]4;7[o = ]11;10]: Soyez précis avec les bornes des intervalles :11est exclus car]4;7[est un intervalle

ouvert mais10est inclus car52]4;7[.Pour déterminerE2, on résout les deux équations suivantes :BCPST1A lycée Hoche 2019-2010 5 sur 149 Sébastien Godillon

f(x) =1()x253x=1()x25 =(3x)()x2x2 = 0 On obtient une équation du second degré de discriminant = (1)241(2) = 9>0qui admet pour solutions(1 +p9)=2 = (1 + 3)=2 = 2et(13)=2 =1. f(x) = 2()x253x= 2()x25 = 2(3x)()x2+ 2x11 = 0 On obtient une équation du second degré de discriminant = 2241(11) = 48>0qui admet pour solutions(2 +p48)=2 = (2 + 4p3)=2 =1 + 2p3et(24p3)=2 =12p3.

De plus,

94
<3<4donc32 12p3<1<1<2<1 + 2p3<3On déduit du tableau des variations defque : E 2=n x2Rjf(x)2]1;2]o =h

12p3;1h

[i

2;1 + 2p3

i:

Problème 1

On dit queANest une partieouvertedeNsi la propriété suivante est vérifiée :

9p2N;8n2N; n>p=)n2A:(?)

1. So itk2N. Montrer que l"ensembleNk=Nn fkgest une partie ouverte deN. IMontrons qu"il existe un entier naturelptel que pour tout entier natureln, sinest supérieur ou égal àpalorsnappartient à l"ensembleNk. On raisonne par analyse-synthèse.

Analyse. On a :

N k=Nn fkg=f0;1;2;:::;k2;k1;k+ 1;k+ 2;k+ 3;:::g: En particulier, tous les entiers à partir dek+ 1appartiennent àNk. Synthèse. On posep=k+ 1. Alors on a par définition deNk:

8n2N; n>k+ 1 =)n2Nk:

Ainsi, la propriété (?) est vérifiée et doncNkest une partie ouverte deN. Il n"est pas nécessaire de rédiger l"analyse. Par contre, il faut faire apparaître explicitement l"entierp2Ntrouvé pour vérifier la propriété (?). Ici, n"importe

quel entier supérieur ou égal àk+ 1convient pour valeur dep.2.(a) Écrir ela né gationde la pr opriété( ?).

ILa négation de la propriété (?) est :

8p2N;9n2N; n>petn =2A:

(b) Montr erque l"ensemble P=f2kjk2Ngn"est pas une partie ouverte deN. ISoitp2N. Montrons qu"il existe un entier naturelntel quenest supérieur ou égal àpetn n"appartient pas àP. On raisonne par analyse-synthèse.

Analyse. On a :

P=f2kjk2Ng=f0;2;4;6;8;:::g:

Ainsi,Pest l"ensemble des entiers pairs. En particulier :BCPST1A lycée Hoche 2019-2010 6 sur 149 Sébastien Godillon

-si p est impair, alors pn"appartient pas àP, si pest pair, alorsp+ 1est pair et n"appartient pas àP. Synthèse. On posen=psipest impair etn=p+1sipest pair. Dans tous les cas, on an>p

etnimpair, doncn =2Ppar définition deP. Ainsi, la négation de la propriété (?) est vérifiée

et doncPn"est pas une partie ouverte deN. 3.

So ientA1etA2deux parties ouvertes deN.

(a)

Mon trerque A1\A2est une partie ouverte deN.

IPuisqueA1etA2sont deux parties ouvertes deN, la propriété (?) est vérifiée pour ces deux

ensembles. On sait donc qu"il existep12Netp22Ntels que :

8n2N;n>p1=)n2A1;

n>p2=)n2A2:

Attention aux notations : en général,p1etp2sont deux entiers différents.Montrons qu"il existep2Ntel que :

8n2N; n>p=)n2A1\A2:

Synthèse. On posep= max(p1;p2). Soitn2N. On suppose quen>p. Puisquep= max(p1;p2), on an>p1etn>p2. Par définition dep1etp2, on en déduit quen2A1etn2A2. Par conséquent,n2A1\A2. Ainsi, on a montré l"implicationn>p=)n2A1\A2. Puisque cette implication est vraie pour unn2Nfixé, elle est vraie pour toutn2N. Finalement, on a démontré que :

9p2N;8n2N; n>p=)n2A1\A2:

Ainsi, la propriété (?) est vérifiée et doncA1\A2est une partie ouverte deN. (b)

Montr erque A1[A2est une partie ouverte deN.

IOn raisonne comme à la question précédente. On sait qu"il existep12Netp22Ntels que :

8n2N;n>p1=)n2A1;

n>p2=)n2A2: Synthèse. On posep= min(p1;p2). Soitn2N. On suppose quen>p. Puisquep= min(p1;p2), on an>p1oun>p2, doncn2A1[A2. Ainsi, la propriété (?) est vérifiée pourA1[A2et doncA1[A2est une partie ouverte deN. Inutile de détailler la rédaction autant qu"à la question précédente. Le plus important est d"indiquer les principales différences dans le raisonnement,

notamment la valeur de l"entierp.4.So itAN. Montrer queAest une partie ouverte deNsi et seulement si son complémentaireNnA

contient un nombre fini d"éléments.

IOn raisonne par double implication.

1 reimplication. On suppose queAest une partie ouverte deN. On sait donc qu"il existep2Ntel que :

8n2N; n>p=)n2A:

D"après le principe de contraposition, on a donc :

8n2N; n =2A=)n < p:

Autrement dit, tous les éléments du complémentaire deAsont strictement inférieurs àp. On en

déduit queNnAJ0;p1K, donc queNnAcontient au maximumpéléments. En particulier,NnA contient un nombre fini d"éléments. 2 eimplication. On suppose queNnAcontient un nombre fini d"éléments. Montrons qu"il existep2N tel que :

8n2N; n>p=)n2NnA:

On raisonne par analyse-synthèse.BCPST1A lycée Hoche 2019-2010 7 sur 149 Sébastien Godillon -Analyse. On notem2Nle nombre d"éléments deNnAeta1< a2< a3<< amles éléments deNnAclassés dans l"ordre croissant. Alors :

A=Nn fa1;a2;a3;:::;amg:

En particulier, tous les entiers à partir deam+ 1appartiennent àA. -Synthèse. On posep=am+1oùam= max(NnA)est le plus grand élément du complémentaire deA. Alors on a par définition deam:

8n2N; n>am+ 1 =)n2A:

Ainsi, la propriété (?) est vérifiée pourAet doncAest une partie ouverte deN.

Conclusion. Par double implication, on a bien montré queAest une partie ouverte deNsi etseulement siNnAest un ensemble fini.

Les questions précédentes sont plus rapides à prouver à l"aide de cette caracté- risation des parties ouvertes deN. Par exemple, siNnA1etNnA2sont des ensembles finis, alors il en est de même pour : (NnA1)[(NnA2) =Nn(A1\A2)et(NnA1)\(NnA2) =Nn(A1[A2)

d"après les lois de De Morgan.SiAest une partie ouverte deN, on définit sondépart, notédep(A), par le plus petit entierppour lequel

la propriété (?) est vérifiée, autrement dit : dep(A) = minn p2Nj8n>p; n2Ao 5.

So itk2N. Déterminerdep(Nk)oùNk=Nn fkg.

IPar définition deNk, on a :

n p2Nj8n>p; n2Nko =fk+ 1;k+ 2;k+ 3;:::g:

Ainsi, le départ deNkvautk+ 1:

dep(Nk) =k+ 1: 6.

Déterminer toutes les p artiesouvertes de Ndont le départ est égal à3. On donnera la liste exhaustive

de ces parties, sans justifier, en explicitant au moins les cinq premiers éléments de chaque partie.

ILes parties ouvertes deNdont le départ est égal à3sont : f0;1;3;4;5;:::g=Nn f2g=N2 f1;3;4;5;6;:::g=Nn f0;2g f0;3;4;5;6;:::g=Nn f1;2g f3;4;5;6;7;:::g=Nn f0;1;2g: 7.

So itAune partie ouverte deN.

(a)

Ju stifierque dep(A)2A.

IPar définition du plus petit élément,dep(A) = minfp2Nj8n>p; n2Agest un élément de l"ensemblefp2Nj8n>p; n2Ag. Donc :

8n>dep(A); n2A:

En particulier, pourn= dep(A)on obtient quedep(A)2A. BCPST1A lycée Hoche 2019-2010 8 sur 149 Sébastien Godillon (b)Montr erque dep(A)1=2A(on pourra distinguer le cas oùdep(A) = 0).

IOn raisonne par disjonction de cas.

1 ercas:dep(A) = 0. Alorsdep(A)1 =1=2Acar1=2NetAN. 2 ecas:dep(A)6= 0doncdep(A)>1etdep(A)12N. Par définition du plus petit élément (voir le raisonnement de la question précédente), on sait que :

8n>dep(A); n2A:

On raisonne par l"absurde en supposant quedep(A)12A. Alors :

8n>dep(A)1; n2A:

Ainsi,dep(A)1est un élément de l"ensemblefp2Nj8n>p; n2Ag. Or le plus petit élément de cet ensemble estminfp2Nj8n>p; n2Ag= dep(A). Doncdep(A)1>dep(A)ce qui est absurde. On en déduit quedep(A)1=2A.

Conclusion. Dans tous les cas, on adep(A)1=2A.

(c) En dé duireque si A6=Nalorsdep(A) = max(NnA) + 1.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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