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Méthode des moindres

carrés 2

Méthodes des moindres carrés

Chapitre 6 du polycopié

"La méthode des moindres carrés permet de comparer des données expérimentales, modèle mathématiquecensé décrire ces données. conservation que les quantités mesurées doivent respecter. La méthode des évaluer les valeurs plus probables des paramètres de la loi recherchée, ainsi 3 "Les données suivent la courbe figurée en pointillés et sont affectées par une erreur aléatoire. "Elles sont représentées graphiquement sous la forme de points de mesures, munis de barres d'erreur. "Le meilleur ajustement déterminé par la méthode des moindres carrés est représenté en rouge. "Il s'agit de la fonction qui minimise la somme quadratique des écarts (appelés résidus) entre les données et le modèle. 4 "Dans le cas le plus courant, le modèle théorique est une famille de fonctions ș) variables x, indexées par un ou plusieurs paramètres șinconnus. "La méthode des moindres carrés permet de sélectionner parmi ces fonctions, celle qui reproduit le mieux les données expérimentales. On parle dans ce moindres carrés. "Si les paramètres șont un sens donne également une estimation indirecte de la valeur de ces paramètres. 5 "La méthode consiste en une prescription (initialement empirique) qui est que la fonction (ș) qui décrit " le mieux » les données est celle qui minimise la somme quadratique des déviations des mesures aux prédictions de (ș) . "Si par exemple, nous disposons de Nmesures, (yi) avec i= 1, N, les paramètres ș"optimaux» au sens de la méthode des moindres carrés sont ceux qui minimisent la quantité : "où les rișsont les résidus au modèle, i.e. les écarts entre les points de mesure yiet le modèle f (ș). "șpeut être considéré comme une mesure de la distance quadratique entre les données expérimentales et le modèle théorique qui prédit ces données. "La prescription des moindres carrés commande que cette distance soit minimale. 6 "Sa grande simplicité fait que cette méthode est très couramment utilisée de nos jours en sciences expérimentales. "Une application courante est le lissagedes données expérimentales par une fonction empirique (fonction linéaire, polynomesou splines). "Cependant son usage le plus important est probablement la mesure de quantités physiques à partir de données expérimentales. théorique f (x, ș). "Dans ce dernier cas de figure, il est possible de montrer que la méthode des moindres carrés permet de construire un estimateur de ș, qui vérifie certaines "Par ailleurs, dans tous les cas, les estimateurs obtenus sont extrêmement non robustes. Plusieurs techniques permettent cependant de "robustifier» la méthode. 7

Régression linéaire

"Une régression linéaire est l'ajustement d'une loi linéaire du type sur des mesures indépendantes, fonction d'un paramètre connu x. "Ce type de situation se rencontre par exemple lorsque l'on veut calibrer un appareil de mesure simple (ampèremètre, thermomètre) dont le fonctionnement est linéaire. "yest alors la mesure instrumentale (déviation d'une aiguille, nombre de pas d'un ADC, ...) et xla grandeur physique qu'est censé mesurer l'appareil, généralement mieux connue, si l'on utilise une source de calibration fiable. "La méthode des moindres carrés permet alors de mesurer la loi de calibration de l'appareil, d'estimer l'adéquation de cette loi aux mesures de calibration (i.e. dans le cas présent, la linéarité de l'appareil) et de propager les erreurs de calibration aux futures mesures effectuées avec l'appareil calibré. 8

Les données suivent la loi figurée en

pointillés et sont affectées d'erreurs gaussiennes. L'ajustement déterminé (courbe rouge) est le meilleur estimateur de la penteet de l'ordonnée à l'originecompte tenu de la quantité d'information contenu dans les points de mesure.

Ajustement d'un modèle de type

y = a·x + b par la méthode des moindres carrés 9 Régression linéaire: calcul des coefficients "La prescription des moindres carrés s'écrit pour ce type de modèle: N i ii N i iixyxfyS 1 2 1 2;DT "Le minimum de cette expressionest trouvé quand les deux dérivées partielles SĮet Sȕsont égales à zéro: w w w w N i ii N i iii xyS xxyS 1 1 012 02 DE EDD N i i N i i N i ii N i N i ii yx yxxx 11 111
2 D ED 10 "peut être écrit en forme matricielle: "ce qui donne la solution: N i i N i ii N i i N i i N i i y yx x xx 1 1 1 11 2 1 D N i i N i i N i ii N i N i ii yx yxxx 11 111
2 D ED N i i N i ii N i i N i i N i i y yx x xx 1 1 1 11 21
1 D 11 Régression linéaire: un algorithme de calcul pratique "Si on défini les sommes suivantes: "les coefficients Įet ȕsont ensuite calculés par: NNXY NXX NY NX yxyxyxS xxxS yyyS xxxS 2211
22
2 2 1 21
21
N SS SSSN SSSN XY XXXX YXXY E D 12 Régression linéaire cas particulier: calcul de la pente si on suppose (ou impose) le passage de la droite par zéro "La droite cherchée est du type y = ·x . "La prescription des moindres carrés s'écrit pour ce type de modèle: N i ii N i iixyxfyS 1 2 1 2;T "Le minimum de cette expressionest trouvé quand la dérivée partielle SĮ est égale à zéro: w wN i iiixxyS 102D
"Ce qui donne: XX XY N i i N i iiN i ii N i iS S x yx yxx 1 2 1 11

2Ddonc et

13

écart-typepar rapport à la régression

régression linéaire y = 0.6364x + 0.5455 -2 0 2 4 6 8 10 12

051015

X Yy

Linéaire (y)

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Problème

"On souhaite tester différentes formes de régressions linéaires sur l'ensemble des points donnés dans le tableau suivant: x= 1346891114 y=12445789

1.par minimisation de la somme des carrés des écarts sur les ordonnées.

2.par minimisation de la somme des carrés des écarts sur les ordonnées et en

forçant la droite à passer par l'origine "sans utilisercourbe de tendance» "Déterminer les coefficients des droites de régression correspondantes aux différents critères mentionnés et les représenter sur un graphe avec également les points figurant dans le tableau. "-type des écarts résiduels et tracer le diagramme avec les "courbe de tendance» 15

Régressions curvilinéaires

"Dans de nombreux problèmes, une relation nette apparaît entre les variables

étudiées, mais .

"Il peut alors être utile de procéder à l'ajustement d'une courbe de régression au nuage de points observés. "Deux problèmes distincts se posent alors:

1.le choix de l'équation de la courbe (donc choix d'un certain type de

fonction),

2.la détermination des paramètres intervenant dans cette équation.

16

Régressions curvilinéaires avec Excel

17 18

Le coefficient de détermination R

"Le coefficient de détermination évalue la comparaison des valeurs estimées par la régression aux valeurs réelles et varie entre 0 et 1. "Un coefficient de détermination égal à 1 indique une corrélation parfaite de l'échantillon (aucune différence entre les valeurs y estimées et réelles). "A l'inverse, un coefficient de détermination égal à 0 (zéro) indique que l'équation de régression ne peut servir à prévoir une valeur y. 19

Problème

Déterminer avec Excel les coefficients A et B de la loi y = AxB 20 21

Ajustement d'un modèle linéaire

"Un modèle f(x;ș)est linéaire, si sa dépendance en șest linéaire.

Un tel modèle

"où les ijksont n fonctions quelconques de la variable x. "Un tel cas est très courant en pratique: tous les types de régressions proposés par Excel son linéaires sauf la "puissance». "Plus généralement tout modèle polynomial estlinéaire, avec

ijk(x) = xk.

"Aussi, de très nombreux modèles utilisés en sciences expérimentales sont des développement polynomiaux sur des bases fonctionnelles classiques (splines, bases de Fourier, bases d'ondelettes, etc.). 22
"Dans le cas le plus généralon trouve que les minqui minimisent les écarts entre une fonction linéaire et une série de donnéesyi(xi), "avec les définitions suivantes: "La matrice Jest appelée matrice jacobiennedu problème. C'est une matrice rectangulaire, de dimension N x n, avec généralement N >>n. Elle contient les valeurs des fonctions de base ijkpour chaque point de mesure. "La matrice diagonaleWest appelée matrice des poids: elle prends en compte le fait que chaque valeur deyi 23

Ajustement d'un polynôme linéaire

"kà un ensemble de n points de mesures donnés par les couples (xi, yi) admet des méthodes de solution "Définissons le polynôme recherché comme: "Les inconnues sont les valeurs des ak.

Il faut donc disposer de k+1équations.

"Multiplions successivement la relation précédente par x1, x2xk, on yxaxaxaxaxak k.............3 3 2 2 1 1 0 0 kkk k kkkk k k k k k k xyxaxaxaxaxa xyxaxaxaxaxa xyxaxaxaxaxa yxaxaxaxaxa 3 3 2 2 1 10 225
3 4 2 3 1quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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