Chapitre 5 - Méthode des moindres carrés
En déduire l'équation de la droite des moindres carrés. Contrôler vos calculs en superposant son graphe au nuage de points. 3. Calculer le coefficient de
II. OUTILS ET MODES DE CALCULS ELABORES.
Dans ces conditions très générales on va pouvoir utiliser une autre possibilité d'Excel : l'outil. Solveur associé à la méthode des moindres carrés.
Octobre 2005
Exemple 7 Modèle 2 : Feuille de calcul Excel Considérons
STATISTIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Méthode : Déterminer la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés.
Comparaison de methodes pour lestimation de lincertitude sur une
Figure 3 : Méthode des moindres carrés ordinaires Utilisation de tableur (exemple Excel) ... La notice d'utilisation et le logiciel sous Excel sont.
Chap 1 : Gnralits sur les sries chronologiques
On utilise la méthode des moindres carrés pour ajuster la série chronologique Excel détermine l'équation d'une courbe de tendance en calculant la courbe ...
Estimer la droite détalonnage avec les moindres carrés généralisés
méthode des « moindres carrés ordinaires » (OLS pour. Ordinary Least Squares) présente dans la plupart des lo- giciels (par ex. : Droitereg dans Excel)
La prévision de la demande
L'ajustement par la méthode des moindres carrés. La droite des moindres carrés consiste à Comment créer un graphique Pareto sous logiciel tableur Excel.
TD-TP 3. Statistique descriptive bi-variée
c) Calculer l'équation de la droite de régression obtenue par la méthode des moindres carrés. d) Avec Excel tracer le nuage de points
13 Régression linéaire simple
Faire exécuter une régression linéaire par le logiciel EXCEL La méthode des moindres carrés est parfaitement adaptée à la résolution du premier.
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Méthode des moindres carrés Une situation courante en sciences biologiques est d'avoir `a sa disposition deux ensembles de données de taille n
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La méthode des moindres carrés permet de comparer des données expérimentales généralement entachées d'erreurs de mesure à un modèle mathématique censé
méthodes des moindres carrés et traitement des résultats
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La régression OLS (moindres carrés ordinaires) est une technique pour estimer les coefficients d'une régression linéaire qui décrivent les relations entre
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VI-3 - Exemple traité par les deux méthodes I - INTRODUCTION : LE PRINCIPE DES MOINDRES CARRES APPLIQUES L'AJUSTEMENT LINEAIRE - 1-1
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a) Donner une équation de la droite de régression de y en x (obtenue par la méthode des moindres carrées) b) Donner le coefficient de corrélation linéaire
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17 août 2018 · Cette vidéo concerne la méthode des moindres carrés Pour plus de contenu je vous invite à Durée : 8:32Postée : 17 août 2018
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Ce polynôme est obtenu par la méthode des moindres carrés Cette parabole est telle que la somme S des carrés des différences [yi(expé)-yi(modèle)]
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La fonction DROITEREG calcule les statistiques d'une droite par la méthode des moindres carrés afin de calculer une droite s'ajustant au plus près de vos
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METHODES D'ESTIMATION 3 2 1 Paramètres liés par une relation linéaire 4 2 1 1 Méthode des moindres carrés linéaires 4 2 1 2 Méthode de Gauss-Markov
Comment calculer la méthode des moindres carrés ?
La méthode des moindres carrés consiste à déterminer la droite dite « de régression de y en x » qui rend minimale la somme : . Dans la pratique, on détermine cette droite de régression de y en x, d'équation y = ax + b, à l'aide de la calculatrice.Pourquoi utiliser la méthode des moindres carrés ?
La méthode des moindres carrés, indépendamment élaborée par Legendre et Gauss au début du XIX e si?le, permet de comparer des données expérimentales, généralement entachées d'erreurs de mesure, à un modèle mathématique censé décrire ces données.Quelle est l'équation de la droite des moindres carrés ?
La droite de régression des moindres carrés, ? = + , minimise la somme des carrés des différences des points par rapport à la droite, d'où l'expression « moindres carrés ».- En statistiques, cette droite est appelée la droite de régression linéaire des points (xi,yi). (xi ? x)2 = (x1 ? x)2 + ··· + (xn ? x)2 n .
Yves JANNOT Octobre 2005
Méthodes d'estimation de paramètres
TABLE DES MATIERES
1 LA NOTION D'ERREUR ET DE BRUIT DE MESURE 1
2 METHODES D'ESTIMATION 3
2.1 Paramètres liés par une relation linéaire 4
2.1.1 Méthode des moindres carrés linéaires 4
2.1.2 Méthode de Gauss-Markov 6
2.2 Paramètres liés par une relation non-linéaire 8
2.2.1 Méthode du gradient 9
2.2.2 Méthode de Newton 9
2.2.3 Méthode de Marquart 10
2.2.4 Méthode dichotomique 10
2.2.5 Evaluation de la précision de l'estimation 11
3 EXEMPLES D'ESTIMATION DE PARAMETRES 13
3.1 Estimation d'un seul paramètre 13
3.2 Estimation des coefficients d'une droite 15
3.2.1 Equation Y = k
1 t 153.2.2 Equation Y = k
0 +k 1 t 153.3 Estimation de paramètres liés par une relation non linéaire 21
3.3.1 Incertitudes de mesures constantes : exemple du " Plan chaud » 21
3.3.2 Incertitudes de mesure variables : courbe de séchage 25
3.3.3 Estimation de 4 paramètres faiblement décorrélés : Méthode flash " long » 30
Bibliographie 32
ANNEXES 33
Rappel sur la covariance 33
Exemple 4 : Programme Matlab 34
Exemple 5 : Programme Matlab 35
Exemple 6 : Programme Matlab 36
Exemple 7, Modèle 1 : Programmes Matlab 39
Exemple 7, Modèle 2 : Feuille de calcul Excel 42Exemple 7, Modèle 3 : Programme Matlab 43
Exemple 8 : Programmes Matlab 46
Méthodes d'estimation de paramètres
11 LA NOTION D'ERREUR ET DE BRUIT DE MESURE
On adoptera les notations et définitions suivantes pour une grandeur physique Y : - Y Valeur exacte de la grandeur iYˆ Résultat de la i
ème
mesure de Y - e YiErreur commise lors de la i
ème
mesure : e Yi = Y - i Yˆ - Y Moyenne de N valeurs mesurées i Yˆ Yi Ecart-type des erreurs de mesures autour de cette moyenne - dY i Incertitude de mesure sur Y : valeur maximale possible de Ň iYˆ-YŇ
Par définition, l'erreur commise lors de la i
ème
mesure d'une grandeur physique dont la valeur réelle est Y vaut : e Yi = Y - i Yˆ . Cette erreur peut avoir plusieurs causes : - Erreur dûe à l'opérateur : mauvaise lecture par exemple.- Erreur systématique : décalage du zéro de l'appareil, mauvais étalonnage, dérive de l'électronique...
- Bruit de mesure : erreur de mesure aléatoire autour d'une valeur moyenne.Si une grandeur est estimée à partir de la mesure d'une autre grandeur, l'erreur d'estimation peut inclure une
" erreur de modèle » (modèle incomplet ne prenant pas en compte certains phénomènes) en plus des erreurs
précédemment citées.Nous nous placerons dans ce qui suit dans le cas où la seule source d'erreur est le bruit de mesure. Ce bruit est
dit centré s'il est de moyenne nulle. Il est gaussien si sa loi de distribution de valeur est une loi normale
(gaussienne). Supposons que l'on enregistre les valeurs mesurées i Yˆ d'une grandeur Y que l'on cherche à estimer, on obtient un graphe du type suivant : Figure 1 : Enregistrement type d'une mesure au cours du tempsLes valeurs mesurées
i Yˆ sont réparties de manière aléatoire autour d'une valeur moyenne Y et nous pouvonsécrire :
Où :
e YiErreur de mesure = variable aléatoire à moyenne nulle (on fait l'hypothèse que la mesure est sans biais)
Y Valeur exacte que l'on cherche à estimer
L'ensemble des N valeurs mesurées
i Yˆ peut être caractérisé par deux grandeurs : - la moyenne Y que l'on considérera comme le résultat final de la mesure de Y.- une deuxième grandeur caractérisant la variabilité des mesures autour de la valeur moyenne.
Deux grandeurs peuvent être utilisées pour caractériser la variabilité des mesures d'une grandeur Y autour de la
valeur moyenne observée Y : iYˆ= Y + e
Yi (1) Y i Yˆ e YiMéthodes d'estimation de paramètres
2- L'incertitude (absolue) dY
i : elle est telle que 100% des valeurs mesurées iYˆ appartiennent à l'intervalle
iYˆ-dY
i iYˆ+dY
i ]. Cette grandeur est bien adaptée à des mesures réalisées avec des instruments peusensibles à leur environnement : mètre, pied à coulisse, balance,... Par contre,elle peut s'avérer inadaptée
pour certaines mesures telles que la mesure de très faibles tensions par un oscilloscope. On trouvera sur la
figure 2 une représentation schématique d'une telle mesure. On remarque que sur un très grand nombre de
mesures, seules quelques unes s'éloignent de manière importante de la moyenne correspondant par
exemple à une perturbation électrique ponctuelle au moment de ces mesures. L'utilisation de l'incertitude
absolue dY ipour caractériser la variabilité des mesures présentées sur la figure 2 conduirait à penser que
ces mesures présentent une très grande variabilité ce qui n'est pas le cas.Figure 2 : Représentation schématique des résultats de mesure d'une très faible tension par un oscilloscope
- L'écart-type Yi autour de la moyenne défini par : 21N1i2 iYi
YYˆ
N1 . Cette grandeur caractérisela façon dont les valeurs sont dispersées autour d'une valeur moyenne et peut être mieux adaptée dans
certains cas/Selon le cas de figure, on utilisera l'une ou l'autre des deux notions pour caractériser la précision de la mesure.
Dans ce qui suit, on utilisera la notation dY
i qu'il suffira de remplacer par iY lorsque l'on considérera plutôt
un écart-type. Relation entre incertitude (absolue) et écart-typeOn peut relier simplement écart-type et incertitude dans le cas où le bruit de mesure suit une loi dite normale ou
de Laplace-Gauss, c'est-à-dire de densité de probabilité : 2 mii eYeY21exp21)eY(P
. Ontrouvera sur la figure 3 une représentation de la densité de probabilité de la loi normale centrée (moyenne nulle)
réduite (écart-type égal à 1). Dans le cas d'une erreur de mesure centrée (à moyenne nulle), la probabilité P[eY 1 ,eY 2 ] pour que l'erreur de mesure eY i [eY 1 ,eY 2 ] se calcule par : dxx21exp21eY,eYP
2 1 eY eY2 21Dans le cas d'une erreur de mesure centrée d'écart-type , on peut calculer que : - 68% des erreurs de mesure sont comprises entre -Y et +Y - 95% des erreurs de mesure sont comprises entre -2Y et +2Y - 99,7% des erreurs de mesure sont comprises entre -3Y et +3Y
On retiendra donc que si l'erreur de mesure eY sur une grandeur Y suit une loi normale centrée alors l'écart-
type Y est égal à un tiers de l'incertitude (absolue) dY. 2 e Yi 2 dY iMéthodes d'estimation de paramètres
300.050.10.150.20.250.3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Figure 3 : Densité de probabilité d'une loi normale centrée réduiteRelation entre incertitude et nombre de mesures
On montre par ailleurs que l'incertitude dY sur l'estimationY varie comme l'inverse de la racine carrée du
nombre N de mesures ayant servi à calculer Y:On retiendra qu'en multipliant le nombre de mesures d'une même grandeur par 100 on multiplie la précision
de son estimation par 10.2 METHODES D'ESTIMATION
On réalise, à des instants t
i , N mesures i Yˆ d'une grandeur Y dépendant de n paramètres k 0 , k 1 , ..., k n etéventuellement du temps t. On suppose que l'on connaît le modèle physique exact permettant de relier la valeur
de Y à celles des paramètres k 0 , k 1 , ..., k n sous la forme Y= f(k 0 , k 1 , ...k n , t).Exemples :
- Forme linéaire : Y(t) = f (k 0 , k 1 , t) = k 0 + k 1 t - Forme exponentielle : Y(t) = f (k 0 , k 1 , t) = k 0 exp(k 1 t)Le problème posé est double :
- Trouver les valeurs de k 0 , k 1 , ...k n , telles que la courbe Y= f(k 0quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] méthode des moindres carrés calculatrice
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