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Lycée Louis-Le-Grand, ParisAnnée 2018/2019

Exercices de mathématiques

MPSI 4

Alain TROESCH

Version du:

2 septembre 2018

Table des matières

1 Logique et raisonnements3

2 Ensembles8

3 Applications11

4 Sommes, binôme15

5 Relations19

6 Nombres réels24

7 Nombres complexes29

8 Limites, dérivation36

9 Fonctions usuelles41

10 Calcul intégral44

11 Équations différentielles linéaires48

12 Suites50

13 Calcul asymptotique57

14 Approximations polynomiales62

15 Séries numériques67

16 Continuité et dérivabilité sur un intervalle72

17 Intégration77

18 Pivot de Gauss81

19 Structures algébriques83

20 Groupes symétriques89

Table des matières2

21 Arithmétique91

22 Polynômes et fractions rationnelles96

23 Espaces vectoriels101

24 Applications linéaires105

25 Matrices110

26 Déterminants121

27 Algèbre bilinéaire125

28 Combinatoire132

29 Espaces probabilisés, calculs de probabilité137

30 Variables aléatoires142

1

Logique et raisonnements

Manipulation d"expressions logiques formelles

Exercice 1.1- SoitR,SetTdes propositions. Montrer à l"aide de tables de vérité, puispar un raisonnement déductif, que les propositions suivantes sont vraies :

1.R?? (S??R).

2.(R??S) ?? ((S??T) ?? (R??T)).

3.(R?S) ?? ((R??S) ??S).4.(R?? (S?T)) ?? (S?¬R?T).

5.(R??S) ?? ((R?T) ?? (S?T)).

6.(R??S) ?? ((T??R) ?? (T??S)).

Exercice 1.2-

Nier formellement les propositions suivantes.

1.?x?A,?y?B,(P(y) ??Q(x,y));

2.?x?A,((?y?B, P(y)) ??Q(x,y));

3.(A?? (?x, B(x))) ?? (?y, C(y));

4.A?? ((?x, B(x)) ?? (?y, C(y)));

5.A?? (?x,(B(x) ?? (?y, C(y)))).

Exercice 1.3-Négations logiques?

Nier formellement les propositions suivantes :

1.((A?B) ??C) ?? (D?E);

2.(A??B) ?? (A?? ¬C);

3.?x?E,?y?E, A(x,y) ?B(x);

4.(?x?E, A(x)) ?? (?x?E, A(x));

5.?x?E, A?? (?y?E, A(x,y) ?B(y));

6.?!x, A(x).

Exercice 1.4- Nier les propositions suivantes :

1.?x?A,?y?B,(x?Cet(x,y) ?D)oux??C.

2.?x,?y,((x,y) ?A??x?B).

3.?x,((?y,(x,y) ?A) ??x?B).

4.(Aet(B??C)) ?? (B?? (A??C)).

Quelle différence de sens faites-vous entre les phrases 2 et 3? Exercice 1.5- Donner la contraposée des expressions suivantes : 4

1.(Aet(BouC)) ?? (Bou(AetC)).

2.(?!x,(x?Aetx?B)) ?? (?y,?!x,(x?Aet(y-x) ?B)).

Raisonnements par l"absurde et la contraposée

Exercice 1.6- Soientnun entier strictement positif, etpn, s"il existe, len-ième nombre premier.??

1. Montrer qu"il existe une infinité de nombres premiers (considérerp1p2⋯pn+1)

2. Montrer que pour tout entiernstrictement positif,pn⩽22n-1.

Exercice 1.7- Soientaetn⩾2deux entiers. Montrer les assertions suivantes.??

1. Sian-1est premier, alorsa=2etnest premier.

2. Sian+1est premier, oùa⩾2, alorsnest pair.

3. Sian+1est premier, oùa⩾2, alorsaest pair etnest une puissance de2.

Exercice 1.8- Soitpun nombre premier. Montrer que⎷ pest irrationnel. Généraliser à⎷n, pourn???? entier quelconque, lorsquenn"est pas un carré parfait. Exercice 1.9- Soitn?N?. Soientx1,...,xn+1des points de l"intervalle[0,1]. Montrer qu"il existe?? (i,j)?[[1,n+1]]2tel quei≠jet?xi-xj?⩽1n. Exercice 1.10-(Autour des triplets pythagoriciens)

Soit(a,b,c)un triplet pythagoricien, c"est à dire un élément de(N?)3tel quea2+b2=c2. On suppose

quea,betcn"ont pas de diviseur commun. Montrer quecest impair. Exercice 1.11-(Rallye mathématique d"Alsace 2012)???

Dans un plan sont placés 66 points distincts. On trace toutesles droites déterminées par deux de ces

points et on en compte 2012 distinctes. Justifier que parmi ces 66 points, 4 au moins sont alignés.

Analyse-Synthèse

Exercice 1.12- Deux joueurs s"affrontent de la manière suivante : au début du jeu, ils disposent 100??

allumettes sur la table. Ils jouent chacun à leur tour. À chaque étape, le joueur qui joue enlève au choix

de 1 à 7 allumettes. Le joueur qui retire la dernière allumette gagne.

1. Montrer que le premier joueur a une stratégie gagnante, etdécrire cette stratégie.

2. Généraliser à un nombrenquelconque d"allumettes, les joueurs pouvant enlever de1àkallumettes

à chaque tour ((k,n)?(N?)2).

Exercice 1.13-

1. Trouver les solutions de l"équation?x(x-3)=⎷3x-5,x?R.

2. De même avec l"équation(xx)x=xxx,x?R?+

Exercice 1.14-?

1. Montrer que toute fonction continuef?[0,1]?→Rs"écrit sous la formef=g+coù?1

0g(t)dt=0

etc?R. Cette décomposition est-elle unique?

2. Montrer que toute fonction continuef?[0,1]?→Rs"écrit sous la formef=g+h, oùh?x↦ax+b

est une fonction polynomiale de degré au plus1, et où pour toute fonction polynomialePde degré

au plus1,?1

0P(t)g(t)dt=0. Cette décomposition est-elle unique? Si oui, exprimerg,aetben

fonction def. 5 Exercice 1.15- Soit, pour toutx?R∖{-1,1,2,5},f(x)=1(x+1)(x-1)(x-2)(x-5).????

En évaluant(x+1)f(x)en un réel bien choisi, montrer qu"il existe des réels uniquesa,b,cetdque l"on

déterminera, tels que : ?x?R∖{-1,1,2,5}, f(x)=a x+1+bx-1+cx-2+dx-5. Exercice 1.16- SoitX=(x1,...,xn)un vecteur deRntel quex1+⋯+xn≠0. et soitHle sous-ensemble? deRndéfini par :

H={Y=(y1,...,yn)?Rn?y1+⋯ +yn=0.}

Montrer que tout vecteurZdeRnse décompose sous la formeZ=λX+Y, oùλ?RetY?H. Justifier que cette décomposition est unique. Exercice 1.17-(d"après Rallye mathématique d"Alsace 2012)???

1. Mon code secret de téléphone portable est composé de quatre chiffres différents et tous non nuls.

Quand j"effectue la somme de tous les nombres possibles que jepeux former avec deux de ces quatre chiffres (dans un sens ou dans un autre), je retrouve mon code. Quel est mon code?

2. Oups, je m"étais trompé, il faut encore multiplier le résultat par7pour trouver mon code. Quel

est mon code?

Récurrences

Exercice 1.18- Montrer que pour tout entiernpositif,n4n+1-(n+1)4n+1est divisible par9.?? Exercice 1.19- Pouri1,⋯,in⩾0tels quei1+⋯+in=k, on note?k i

1,⋯,in?=k!i1!⋯in!. Par convention,????

?k i

1,⋯,in?est nul dans les autres cas. Montrer la formule du multinôme :

?n?N,?(x1,⋯,xn)?Rn,?k?N,(x1+ ⋯+xn)k=? (i1,⋯,in)?Nn tqi1+⋯+in=k? k i

1,⋯,in?xi11⋯xinn.

Exercice 1.20- Montrer que :?n?N?,?2n

3+13?⎷n⩽n

k=1⎷k⩽?2n3+12?⎷n.???? En déduire la limite quandntend vers l"infini de la suite(un)n?N?définie pour toutn?N?par : u n=1 n⎷nn k=1⎷k.

Exercice 1.21-(Suite harmonique)??

SoitHnla suite harmonique, définie par :H0=0,et?n?N?, Hn=n k=11k.

On rappelle que par convention,?n

p?est nul sip>n. Montrer que :

1.?(m,n)?N2,n

k=1?k m?Hk=?n+1 m+1??Hn+1-1 m+1?,

2.?n?N?,n

k=1H k=(n+1)Hn-n,

3.?n?N?,n

k=1H2k=(n+1)H2n-(2n+1)Hn+2n. 6 Exercice 1.22-(Multiplication par la méthode dite " du paysan russe »)????

On propose l"algorithme suivant. Soientmetndeux entiers strictement positifs. Sur une première ligne,

on écrit côte à côtemetn. Sur la ligne suivante, on écrit le quotient de la division euclidienne dempar2

(on oublie donc les décimales) sous la valeur dem, et on écrit2nsous la valeur den. On continue ainsi :

dans la première colonne, on passe d"une ligne à l"autre en divisant par2, dans la deuxième colonne,

on multiplie par 2. On s"arrête lorsqu"on a obtenu 1 dans la première colonne. On barre ensuite toutes

les lignes pour lesquelles le nombre situé dans la première colonne est pair. On fait enfin la somme des

nombres situés dans la deuxième colonne et non barrés. On note?(m,n)l"entier obtenu. Montrer que

?(m,n)=m?n.

Un exemple de mise en application de cet algorithme pour calculer11?17(les lignes à barrer sont en gris)

11 17 5 34 2 68 1 136 187
Exercice 1.23-(Explicitation des suites récurrentes doubles)?

Soit(un)n?Nune suite donnée par ses deux termes initiauxu0etu1, et la relation de récurrence suivante :

?n?N,un+2=aun+1+bun, oùaetbsont deux réels fixés.

1. On suppose que l"équationx2-ax-badmet deux racines distinctesretsdansC.

(a) Montrer que pour tous complexesλetμ, la suite complexe(λrn+μsn)n?Nvérifie la même

relation de récurrence que(un)n?N. (b) Montrer qu"il existe un et un seul couple(λ,μ)de nombres complexes tels queλ+μ=u0et λr+μs=u1. Montrer qu"alors, pour toutn⩾0,un=λrn+μsn. (c) Soit(un)n?Ndéfinie paru0=2,u1=3et?n⩾0, un+2=3un+1-2un. Expliciter, pour tout n?N,unen fonction den. (d) Même question avecu0=0,u1=1, et?n?N, un+2=un+1+un(suite de Fibonacci). (e) Même question avecu0=1,u1=1, et?n?N, un+2=2un+1-2un.

2. On suppose que l"équationx2-ax-badmet une racine doubler≠0.

(a) Montrer qu"il existe d"uniques réelsλetμtels que pour toutn⩾0,un=(λ+μn)rn. (b) Soit(un)n?Ndéfinie paru0=2,u1=3et?n?N, un+2=2un+1-un. Expliciter, pour toutn?N, u nen fonction den. (c) Même question avecu0=1,u1=4et?n?N,un+2=4un+1-4un.

Exercice 1.24- Soitn?N?. SoitAun sous ensemble de[[1,2n]]contenantn+1éléments. Montrer qu"il???

existe(p,q)?A2tels quep≠qetpdiviseq.

Exercice 1.25-(Tours de Hanoï)??

Le casse-tête des tours de Hanoï consiste à déplacer une tourconstituée d"un emplilement dendisques

de plus en plus petits d"un emplacement à un autre, en respectant les règles suivantes : ?On dispose de 3 emplacements;

?On déplace un et un seul disque à chaque étape, pris au sommet d"une des 3 piles, pour la placer

au sommet d"une autre pile ?On ne peut placer un disque que sur un disque plus grand.

?Initialement, tous les disques sont sur l"emplacement 1 (empilés en rayon décroissant), le but étant

de les déplacer dans le même ordre sur l"emplacement 2. 7

En raisonnant par récurrence, montrer que le casse-tête destours de Hanoï possède une solution. Déter-

miner le nombre minimal de déplacements à effectuer.

Exercice 1.26-(rallye mathématique d"Alsace)??

Jean attribue à chaque nombre entier strictement positif une couleur, soit bleue, soit rouge. Pour cela, il

suit la règle suivante : si trois nombres (distincts ou non) ont la même couleur, leur somme a également

cette couleur. On sait que la couleur rouge a été attribuée aunombre 58 et que la couleur bleue a été

attribuée de nombreuses fois. Quelle couleur a été attribuée au nombre 40? Et au nombre 2013?

Exercice 1.27-(Fonction 91 de MacCarthy)Soitfune fonction définie surZet vérifiant :?? ?n?Z, f(n)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩n-10sin>100 f(f(n+11))sin⩽100.

1. Calculerf(101),f(95),f(91),f(0). Qu"observez-vous?

2. Prouver l"identité obtenue pourf(n), pour toutn⩽101.

Exercice 1.28-(Rallye mathématique d"Alsace 2010)???

On considère l"entier naturel ayant32010chiffres tous égaux à 1. Montrer qu"il est divisible par32010mais

pas par32011. 2

Ensembles

Manipulations ensemblistes, inclusions

Exercice 2.1- Montrer queX?Ysi et seulement s"il existeZtel queZ∩X?Z∩YetZ?X?Z?Y.

Exercice 2.2- Montrer que :????

c)X∖(Y∖Z)=(X∖Y)?(X∩Z);d) (X∖Y)∖Z=X∖(Y?Z). Exercice 2.3- Soitkun entier au moins égal à 2, et soientA1,...,Akdes parties d"un ensemble.??

Montrer :

A

1?⋯ ?Ak=(A1-A2)?(A2-A3)? ⋯?(Ak-1-Ak)?(Ak-A1)?(A1∩ ⋯∩Ak).

Exercice 2.4- A-t-on(E?E′)?(F?F′)??E?F?E′?F′? Exercice 2.5- SoientA,B,C,Dquatre ensembles. Montrer que siA?C,B?D,C∩D=∅et????

A?B=C?D, alorsA=CetB=D.

Exercice 2.6- SoitEun ensemble non vide,AetBdeux parties deE, etf?P(E)?→P(E)l"application??

définie parf(X)=(A∩X)?(B∩X), oùXdésigne le complémentaire deXdansE. Résoudre et discuter

l"équationf(X)=∅. Exercice 2.7- SoientEun ensemble,nun entier naturel non nul, etA1,...,An, etB1,...,Bndes?? sous-ensembles deE. Montrer que : n i=1(Ai∩Bi)=⋂

X?P([[1,n]])⎛⎝?⋃

i?XA i??⎛⎝⋃ j?∁I(X)B j⎞⎠⎞⎠ Exercice 2.8- SoitX1,...,Xndes ensembles. Montrer que pour toutk?[[0,n]]:???

1. sik⩽n+12,⋂

H?Pk(n)⋃

i?HX i?⋃

H?Pk(n)⋂

i?HX i;

2. sik⩾n+1

2,⋃

H?Pk(n)⋂

i?HX i?⋂

H?Pk(n)⋃

i?HX i; 9

Ensemble des parties

Exercice 2.9- SoientXetYdeux ensembles. Montrer queX?Ysi et seulement siP(X)?P(Y)

Exercice 2.10- Montrer, sans utiliser l"axiome de fondation, qu"il n"existe aucun ensembleXtel que????

P(X)?X.

Exercice 2.11-SoitEun ensemble éventuellement vide, dont les éléments sont desensembles. On dit??

queEesttransitifsi :?x, x?E??x?E.

1. Les ensembles suivants sont-ils transitifs (∅désigne l"ensemble vide) :

2.SoitXun ensemble quelconque. On noteP0(X)=X, etP1(X)=P(X), l"ensemble des parties

deX. On définit alors par récurrence surn, pour toutn⩾1:Pn+1(X)=P(Pn(X)). (a) SoitX={1,2}. DéterminerP2(X). (b) DéterminerP1(∅),P2(∅),P3(∅). (c) Montrer que siXest transitif, alors l"ensembleP(X)est transitif. (d) Montrer que siXest transitif, alors pour toutn?N,Pn(X)est transitif.

3. Montrer que siEest transitif, alorsE?{E}l"est également.

4. Soit(Ei)i?Iune famille (finie ou infinie) d"ensembles transitifs. Montrer que les ensembles⋃

i?IEi et⋂ i?IEisont transitifs.

Recouvrements

Exercice 2.12- SoitXun ensemble. On appelle recouvrement deXune famille(Ui)i?Ide sous-ensembles?? deXdont l"union est égale àX. On dit qu"un recouvrement(Vj)j?Jest plus fin qu"un recouvrement (Ui)i?Isi pour toutj?J, il existei?Itel queVj?Ui.

Montrer qu"étant donné deux recouvrements deX, il existe toujours un troisième recouvrement plus fin

que les deux premiers, et maximal pour cette propriété (doncmoins fin que tout autre recouvrement

vérifiant la même propriété). A-t-on unicité? Exercice 2.13- SoientXetYdeux ensembles, et(Xi)i?Iun recouvrement deX(i.e.l"union desXi? estX). On se donne une famille(fi)i?Id"applications deXidansY. Donner une condition nécessaire et suffisante sur lesfipour qu"il existe une fonctionf?X→Ycoïncidant avecfisurXi, pour touti?I.

La fonctionfest-elle alors unique?

Exercice 2.14-Schémas simpliciaux????

On appelle schéma simplicial un couple(K,S), oùKest un ensemble etSest un sous-ensemble de parties

finies et non vides deK, et tel que tout sous-ensemble non vide d"un élément deSest encore dansS.

Les éléments deSsont appelés simplexes deK. Ladimensiond"un simplexe est un de moins que le cardinal

de ce simplexe. Ainsi, les simplexes de dimension 0 sont les singletons deS, aussi appeléssommets. Les

simplexes de dimension 1 sont des paires, aussi appelésarêtes. Les simplexes de dimension 2 ont trois

éléments, et sont aussi appelésfaces, etc.

1. SoitXun ensemble quelconque, et(Ui)i?Iun recouvrement deX. On convient de dire qu"une

partieSde l"ensembleIest un simplexe si elle est finie, non vide, et si l"intersection⋂ i?SU iest non vide. On noteSl"ensemble des simplexes ainsi définis. Montrer que le couple(I,S)est un schéma simplicial (appelénerfdu recouvrement)

2. Soit(K,S)un schéma simplicial. On désigne parP(K)l"ensemble des fonctionsfdéfinies sur

l"ensembleK, à valeurs réelles, et possédant les 3 propriétés suivantes: (i) l"ensemble desxtels quef(x)≠0est un simplexe deS, 10 (ii) on af(x)⩾0pour toutx?K (iii) x?Kf(x)=1. Soit, pour toutx?K,Uxl"ensemble desf?P(K)telles quef(x)≠0. Montrer que(Ux)x?Kest un recouvrement deP(K)dont le nerf est égal à(K,S). Ainsi, on a montré que tout schéma simplicial est le nerf d"unrecouvrement.

Une colle

Exercice 2.15-(ENS Lyon)????

Soitn?N?et soit(Xi)i?[[1,n+1]]une famille de parties non vides de[[1,n]]. Montrer qu"il existe deux sous-ensembles disjointsIetJde[[1,n+1]]tels que i?IX i=⋃ j?JX j. 3

Applications

Images directes, images réciproques

Exercice 3.1- Déterminerf(I)dans les cas suivants :

1.f=exp,I=[0,1[

2.f=ln,I=]-1,1]

3.f=sin,I=[π

3,5π6]

4.f?x↦1+x2+x3,I=[-4

5,16]

5.f?x↦x+⌊x⌋,I=R+.

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