[PDF] Cours de mathématiques Partie I – Les fondements MPSI 4

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Lycée Louis-Le-Grand, ParisAnnée 2016/2017

Cours de mathématiques

Partie I - Les fondements

MPSI 4

Alain TROESCH

Version du:

13 juillet 2017

Table des matières

1 Fondements logiques7

I Rudiments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 7 I.1 Formule propositionnelles, prédicats . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 7 I.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 9 I.3 Négations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 10 I.4 Quelques équivalences et tautologies formant la base duraisonnement . . . . . . . 10

II Démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 12

II.1 Composition d"un texte mathématique . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12 II.2 Comment construire une démonstration . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 13 II.3 Le Modus ponens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 14 II.4 Démonstration par la contraposée. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 15 II.5 Disjonction des cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 16 II.6 Analyse-Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 16 II.7 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 17 II.8 Principe de la descente infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 20

2 Ensembles23

I Théorie intuitive des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 24

I.1 Définition intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 24

I.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 26 I.3 Unions et intersections sur une famille . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 32 I.4 Fonction caractéristique (ou indicatrice) . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 33 II Paradoxes ensemblistes et axiomatisation . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 34 II.1 La crise des fondements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 34 II.2 Tentatives d"axiomatisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 34

III L"ensembleNdes entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

III.1 Axiomatique deN(hors-programme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

III.2 Propriétés deN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Applications39

I Qu"est-ce qu"une application? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 39

II Image directe, image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 43

III Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2Table des matières

4 Sommes51

I Manipulation des signes?et?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 I.1 Définition des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 52 I.2 Règles de manipulation des signes?et?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 I.3 Changements d"indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 57 I.4 Sommes télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 58 I.5 Sommes multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 59 I.6 Produits de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 61 I.7 Rapide introduction à la notion de série . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 61

II Sommes classiques à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 63

II.1 Somme des puissances d"entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 63 II.2 Sommes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 65

5 Combinatoire et dénombrement69

I Notion de cardinal, combinatoire des ensembles . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 69 I.1 Définition du cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 69 I.2 Règles de calcul sur les cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 70 I.3 Comparaison des cardinaux en cas d"injectivité et surjectivité . . . . . . . . . . . . 72 II Combinatoire des ensembles d"applications . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 73 II.1 Applications quelconques;p-listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 II.2 Lemme du berger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 73

II.3 Injections;p-listes d"éléments distincts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

II.4 Surjections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 75

III Sous-ensembles et coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 75

IV Bijection, Déesse de la Combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 79

V Preuves combinatoires d"identités . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 79

VI Introduction à la dénombrabilité (HP) . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 80

6 Relations83

I Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 83

I.1 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 83

I.2 Définition de quelques propriétés sur les relations . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 85

II Relations d"équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 85

II.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 85 II.2 Classes d"équivalence, ensembles quotients . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 86 II.3 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 88

III Relations d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 89

III.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 89

III.2 Minimalité, maximalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 91

III.3 Le lemme de Zorn (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 94

7 Les corpsQetR95

I DeQàR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

I.1 Construction deQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 I.2 Relation d"ordre dansQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 I.3 De l"existence de nombres non rationnels . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 97 I.4 L"ensembleR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

II Nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 98

II.1 Rappels sur les inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 98

II.2 Division euclidienne dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 II.3 Densité deQetR\QdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 II.4 Nombres transcendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 104

Table des matières3

II.5 Partie entière, partie décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 105

II.6 Représentation décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 106

III Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 108

III.1 Description des intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 108

III.2 Intervalles et topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 109

IV Droite achevée

R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8 Le corpsCdes complexes115

I Les nombres complexes : définition et manipulations . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 115

I.1 Définition, forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 115

I.2 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

II Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 119

II.1 Cercle trigonométrique, formules de trigonométrie . .. . . . . . . . . . . . . . . . 119 II.2 L"exponentielle complexe et applications à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . 124

III Racines d"un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 128

III.1 Racinesn-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

III.2 Cas des racines carrées : expression sous forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . 130

IV Nombres complexes et géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 131

IV.1 Affixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 131

IV.2 Alignement, orthogonalité, angles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 132 IV.3 Transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 132

IV.4 Isométries et similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 134

IV.5 Caractérisation de certains objets géométriques . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 135

4Table des matières

Préface

Ce cours est l"aboutissement de plusieurs années d"enseignement en MPSI au lycée Louis-Le-Grand. Il

est basé sur les programmes actuels de la classe de MPSI, ce qui n"exclut pas certaines digressions hors

programmes, dûment signalées. Ces digressions peuvent être des avances sur le programme de deuxième

année, ou tout simplement des développements permettant decomprendre à quoi peuvent servir les no-

tions introduites, ou introduisant des outils un peu plus sophistiqués que ceux du programme, permettant

de situer les résultats du programmes dans un contexte plus vaste. Ces développements sont utiles aux

meilleurs étudiants pour prendre un peu de hauteur sur les notions étudiées en MPSI, et les comprendre

au-delà de ce qui est demandé. Pour d"autres étudiants, en revanche, il pourra être plus profitable de ne

pas se focaliser dessus dans un premier temps, quitte à y revenir plus tard, lorsqu"ils auront acquis de

l"aisance avec les notions de ces chapitres, par exemple lors des révisions précédant l"entrée en deuxième

année.

En écrivant ce cours, il n"était pas dans mes objectifs de rédiger un cours complet. Notamment, les

développements des exemples et surtout les démonstrationsdes résultats ont été volontairement omis.

Cependant sous la pression de mes élèves, j"ai rajouté dans cette version des " éléments de preuve »,

donnant l"idée générale et le schéma des différentes démonstrations, sans entrer dans les détails techniques.

Ces éléments de preuve apparaissent en grisé afin de ne pas charger visuellement le polycopié. Leur but

est double :

•Permettre une certaine autonomie dans la découverte du cours : ces éléments de preuve sont conçus

comme des indications permettant de développer ensuite soi-même la démonstration des résultats,

comme un exercice. L"idéal est de pouvoir faire cette préparation avant que le cours soit fait en

classe; sinon pendant le cours, mais les temps de réflexion sont plus courts.

•Faciliter les révisions, sachant que les preuves complètessont pris par les élèves sur des feuilles

séparées du polycopié : lors des révisions, ces éléments doivent permettre de se remémorer rapide-

ment les grandes lignes des preuves, sans avoir à ressortir ses notes. Cherchez alors à développer

les détails des preuves par vous-même (par écrit une fois, etles fois suivantes, au moins dans votre

tête); si vous coincez, le recours aux notes prises pendant le cours s"impose.

Ce cours est constitué de 3 parties. La première, appelée "Fondements», regroupe toutes les bases logiques

et ensemblistes des mathématiques, ainsi que l"étude des nombres réels et complexes. La seconde partie est

le cours d"analyse, commençant par de l"analyse concrète (étude de fonctions, pratique de l"intégration

etc.) puis l"étude des suites, des approximations (Taylor,développements limités), des séries et enfin

des probabilités discrètes. La dernière partie est le coursd"algèbre, regroupant l"étude des structures

algébriques (groupes, anneaux, corps), avec notamment l"étude des anneaux de polynômes, puis l"étude

de l"algèbre linéaire sous son aspect vectoriel et matriciel, et enfin l"algèbre bilinéaire.

6Table des matières

Je remercie tous les élèves de MPSI 4 (Bestial!!!) que j"ai eus depuis que je suis au lycée Louis-Le-Grand.

Vos remarques et vos nombreuses questions sont à la base de nombreuses améliorations de ces notes de

cours. Par ailleurs, l"intérêt et, pour certain, la passionque vous montrez pour les mathématiques m"ont

beaucoup motivé pour vous donner le meilleur de moi-même. J"ai beaucoup appris de vous, aussi bien du

point de vue pédagogique que du point de vue mathématique. N"est-ce par là l"idéal de l"enseignement,

quand l"enseignement devient échange?

Je n"oublierai jamais aucun de vous, que vous ayez été l"étoile filant bien au-dessus de moi, ou l"élève

avançant avec beaucoup plus de peine. Vous avez tous été formidables.

Et que mes élèves actuels et mes futurs élèves se rappellent d"une chose : que vous soyez premier ou

dernier de la classe, votre place est bien là, en MPSI 4, et vous la méritez. Et lorsqu"à certains moments

de l"année, vous aurez l"impression d"être perdus, souvenez-vous que vous êtes forts en mathématiques.

1

Fondements logiques

La logique est la jeunesse des mathématiques

(Bertrand Russell)

La logique est l"hygiène des mathématiques

(André Weil)

La logique n"a ni à inspirer l"invention, ni à l"expliquer; elle se contente de la contrôler et de

la vérifier. (Louis Couturat)

En effet, l"effet fait le même effet à la cause que l"effet que la cause lui a causé de fait

(Professeur Shadoko par Jacques Rouxier)

Ce chapitre a pour but d"introduire les concepts fondamentaux des mathématiques, à savoir les bases-

même du raisonnement mathématique : Le but n"est pas l"étudede la logique formelle, ni même la

présentation rigoureuse de cegtte logique formelle, mais de voir comment des rudiments de la théorie

de la logique permettent une mise en forme rigoureuse de la structure de la pensée et du cheminement

logique. Cependant, cette structuration ne peut en rien remplacer l"intuition comme le dit ci bien René

Thom :

Car le monde des Idées excède infiniment nos possibilités opératoires, et c"est dans l"intuition

que réside l"ultima ratiode notre foi en la vérité d"un théorème - un théorème étant, selon

une étymologie aujourd"hui bien oubliée, l"objet d"une vision. (René Thom)

I Rudiments de logique

I.1 Formule propositionnelles, prédicats

La logique propositionnelle est l"étude des formules abstraites qu"on peut écrire à partir d"un certain

nombre de variables propositionnelles, représentées par des lettres. Nous nous contentons d"une définition

restant assez vague, l"objet n"étant pas l"étude de la logique formelle, mais une bonne structuration de la

pensée et de la démarche scientifique.

8CHAPITRE 1. FONDEMENTS LOGIQUES

Définition 1.1.1 (Formule propositionnelle)

Uneformule propositionnelleest formule liant des propositions élémentaires représentées par des lettres

(ou variables propositionnelles), à l"aide d"un certain nombre de symboles représentant des opérations

logiques :

• ?: et

• ?: ou

•=?: implique

• ??: équivalent

• ¬: non

À part¬qui se met devant une unique proposition, les autres symboles permettent de lier 2 propositions.

Un parenthésage rigoureux est nécessaire afin de rendre l"expression non ambigüe quant à l"ordre des

opérations à effectuer.

Exemple 1.1.2 (Formules propositionnelles)

Dans cet exemple,P,Q,Rdésignent des variables propositionnelles.

1. Ceci est une formule :(((P=?Q)?Q) =?((R?P)?? ¬Q)).

On n"affirme pas si elle est vraie ou fausse.

2. Ceci n"est pas une formule :(P=?)?R?

Chaque variable propositionnelle peut prendre une valeur de vérité : V (Vrai) ou F (Faux). Suivant les

valeurs de vérité prises par les différentes variables propositionnelles intervenant dans la formule, une

formule pourra alors être vraie ou fausse, ce qu"on déterminera en suivant les règles intuitive de véracité

liées aux symboles de connection utilisés et rappelées ci-dessous : Définition 1.1.3 (Définition de l"interprétation sémantique des connecteurs logiques) SoitP,Qdeux variables propositionnelles. Les tables de vérité desformules¬P,(P?Q),(P?Q), (P=?Q)et(P??Q)sont définies par :

P¬P

VF FV

PQ(P?Q)

VVV VFV FVV FFF

PQ(P?Q)

VVV VFF FVF FFF

PQ(P=?Q)

VVV VFF FVV FFV

PQ(P??Q)

VVV VFF FVF FFV Ces tables définissent en fait le sens logique des connecteurs.

Remarque 1.1.4

1. La table de vérité de l"implication se comprend bien en considérant sa négation : dire qu"une

implicationP=?Q, est fausse, c"est dire que malgré le fait que l"hypothèsePsoit vraie, la conclusionQest fausse.

2. Ainsi, dire queP=?Qest vraie ne sous-entend nullement la véracité deP. En particulier,

"P=?Q» n"est pas équivalent à "PdoncQ», qui affirme la véracité deP. Il convient donc de faire attention à la rédaction :le symbole "=?» ne peut pas remplacer le mot " donc »

3. La même remarque vaut pour l"équivalence.

4. Par ailleurs, puisque siPest faux,P=?Qest toujours vrai, pour montrer queP=?Qest

vrai, il suffit de se placer dans le cas oùPest vrai : on suppose quePest vrai, on montre que

I Rudiments de logique9

Qaussi. Cela correspond à l"interprétation " SiPest vrai, alorsQest vrai ». En revanche, on n"a pas de contrainte lorsquePest faux.

5. Ne pas confondre :

•Pest une condition suffisante àQ:P=?Q;

•Pest une condition nécessaire àQ:Q=?P;

•Pest une condition nécessaire et suffisante àQ:P??Q.

6. Pour montrer une équivalenceP??Q, n"oubliez pas de montrer lesdeuximplicationsP=?Q

etQ=?P. N"oubliez pas la réciproque!

Exemple 1.1.5

•"nest multiple de6» est une ..... pour quensoit pair mais pas une ..... . •x= 1est une ..... pour quex2= 1, mais pas une ..... . En revanche, sixest réel,x= 1est unequotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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