Mathématiques 1re année MPSI Tout en un
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20 nov 2021 · Maths MPSI Roger Mansuy est professeur en classe préparatoire La suite (un )n définie pour tout n ? par un = 1? e ?n admet l = 1
Vuibert en 2019.
Le livre est désormais épuisé et j"ai récupéré mes droits sur cet ouvrage; je le laisse à disposition des étudiant¢e¢s mais je tiens à
signaler deux réserves.Cet ouvrage répond à différents critères (souvent commerciaux) d"une collection et d"une maison d"édition; il ne faut pas
le considérer comme un cours "idéal». Il est basé sur le programme avant la réforme entrée en vigueur à la rentrée 2021. J"espère qu"il pourra être utile à quelques étudiant¢e¢s ou collègues.Roger Mansuy
le 20/11/2021 roger.mansuy@gmail.com 1SCIENTIFIQUES
Maths MPSI Roger Mansuyest professeur en classe préparatoire scientifique au lycée Saint-Louis à Paris.SOMMAIRE
Chapitre 1 Bases mathématiques13
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
1.Écritures mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
2.Ensembles et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
3.Opérations entre parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
4.Ensembles ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
5.L"ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
Chapitre 2 Nombres complexes65
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
1.Corps des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
2.Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
3.Équations algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
Chapitre 3 Sommes et produits (finis)109
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
1.Règles de manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
2.Quelques sommes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
3.Formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
Chapitre 4 Fonctions usuelles149
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
1.Propriétés des fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
2.Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
3SOMMAIRE
3.Exponentielles, logarithmes, puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160
4.Exponentielle complexe, fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180
Chapitre 5 Équations différentielles195
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196
1.Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196
2.Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198
3.Équations linéaires d"ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203
4.Équations linéaires d"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218
Chapitre 6 Suites numériques229
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .230
1.Calculs explicites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .230
2.Manipulations de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234
3.Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
4.Relations de comparaison pour les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244
5.Suites réelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250
6.Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .257
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271
Chapitre 7 Fonctions continues283
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284
1.Études locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284
2.Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299
3.Fonctions continues sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .303
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319
4SOMMAIRE
Chapitre 8 Fonctions dérivables337
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .338
1.Fonctions une fois dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .338
2.Fonctions de régularité supérieure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .344
3.Propriété des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .346
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .357
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .359
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .366
Chapitre 9 Études locales et asymptotiques381
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382
1.Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382
2.Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .385
3.Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .393
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .396
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .398
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .401
Chapitre 10 Structures algébriques411
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412
1.Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412
2.Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .425
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .430
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .431
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .436
Chapitre 11 Arithmétiques des entiers447
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .448
1.Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .448
2.PGCD, PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452
3.Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .456
4.Systèmes congruentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .460
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .463
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .465
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .470
5SOMMAIRE
Chapitre 12 Polynômes483
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .484
1.Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .484
2.Racines de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .488
3.Arithmétique des polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .494
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .502
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .504
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .509
Chapitre 13 Fractions rationnelles523
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .524
1.Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .524
2.Décomposition en éléments simples (dénominateur scindé) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .528
3.Décomposition en éléments simples (cas général) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .532
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .535
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .536
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .540
Chapitre 14 Espaces vectoriels549
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .550
1.Structure d"espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .550
2.Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .558
3.Endomorphismes remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .564
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .569
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .571
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .575
Chapitre 15 Dimension des espaces vectoriels585
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .586
1.Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .586
2.Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .590
3.Applications linéaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .597
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .605
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .607
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .614
6SOMMAIRE
Chapitre 16 Calcul matriciel629
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .630
1.Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .630
2.Produit matriciel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .637
3.Calcul de puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .642
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .648
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .649
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .653
Chapitre 17 Équivalence des matrices et systèmes linéaires663Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .664
1.Matrices équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .664
2.Équivalence en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .669
3.Applications aux systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .676
4.Introduction à la similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .680
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .684
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .686
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .692
Chapitre 18 Groupe symétrique705
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .706
1.Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .706
2.Décomposition en cycles disjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .709
3.Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .712
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .716
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .717
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .720
Chapitre 19 Déterminants729
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .730
1.Déterminant denvecteurs dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .730
2.Applications linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .735
3.Quelques méthodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .739
4.Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .745
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .748
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .750
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .758
7SOMMAIRE
Chapitre 20 Espaces euclidiens773
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .774
1.Produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .774
2.Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .780
3.Isométries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .790
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .798
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .800
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .806
Chapitre 21 Calcul intégral819
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .820
1.Intégrale sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .821
2.Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .826
3.Intégration et dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .830
4.Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .838
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .841
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .843
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .849
Chapitre 22 Séries numériques867
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .868
1.Séries générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .868
2.Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .872
3.Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .878
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .882
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .883
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .889
Chapitre 23 Dénombrement905
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .906
1.Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .906
2.Exemples de dénombrements usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .912
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .918
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .919
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .924
8SOMMAIRE
Chapitre 24 Probabilités sur un univers fini935Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .936
1.Espace probabilisé fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .936
2.Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .941
3.Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .946
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .949
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .951
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .955
Chapitre 25 Variables aléatoires963
Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .964
1.Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .964
2.Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .967
3.Espérance, moments d"ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .971
Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .979
Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .981
Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .986
Index1001
9 COURS Tout le cours avec des rubriques claires pour un meilleur repérage de points importants à retenir, des conseils méthodologiques et de nombreuses démonstrations.FICHES DE SYNTHÈSE
Des ?ches de synthèse à la ?n de chaque chapitre pour retenir l'essentielPICTOS DE REPÉRAGES
Pour un meilleur repérage
Conseils méthodologiques
AIDES À LA RÉSOLUTION
Des aides à la résolution des exercices
en cas de blocage à la lecture de l'énoncéCORRIGÉS
Tous les corrigés détaillés
pour comprendre chaque étape de résolutionMode d'emploi
Cet ouvrage, parfaitement conforme au programme de mathématiques en MPSI, vous propose les outils adaptés à la réussite de votre première année.ENTRAÎNEMENT
Un entraînement intensif avec quatre typologies d'exercices : Vrai/Faux, application, approfondissement et problèmes types concours. Trois niveaux de di?culté clairement identi?és.Avant-propos
Partis pris de rédaction
Voici quelques-unes des contraintes qui ont guidé la rédaction de ce tout-en-un.pas de se limiter strictement au contenu explicitement mentionné dans le programme mais de fournir
les moyens de comprendre en profondeur les notions mises en oeuvre..Ajouter unegrande variété d"exemples: l"importance des exemples est trop souvent sous-estimée;
ils permettent de voir les propositions et théorèmes en action. Pour les lecteurs, les exemples sont les
premiers "exercices corrigés»..Structurer les chapitres pour faciliter l"assimilation et mettre en évidence lesarticulations logiques.
L"organisation tient compte des attentes des lecteurs : certains chapitres ont été scindés pour améliorer
la lecture en parallèle d"un cours en classe..Proposer desexercices et problèmesde difficultés variées permettant à chaque lecteur de progresser
quelque soit son aisance initiale.Recommandations aux lecteurs
Si ce livre est construit pour être utile, sa seule possession ne garantit en rien la réussite. Une étudiante
ou un étudiant doit aussi apprendre à l"exploiter efficacement.sur un brouillon. J"approuve le mathématicien Paul Halmos qui explique "Don"t just read it; fight it!»
.Retenir les énoncés et l"importance de chaque hypothèse; pour cela on peut notamment utiliser les
questionnaires de typeVrai/Faux(à la fin du cours de chaque chapitre)..Faire unefiche de synthèse(celles proposées dans ce livre sont purement indicatives et devraient en
théorie servir de "vérification» après le travail personnel de synthèse) en faisant apparaître les points de
cours importants, leurs articulations voire des méthodes de calcul ou de résolution..S"attaquer auxexercicesavec ténacité et ne pas lire la correction proposée sans s"être posé les trois
questions suivantes : quels sont les points de cours concernés? quels sont les énoncés proches que je
connais? pourquoi mes tentatives n"aboutissent pas?.Travailler unproblèmedans la durée en appréciant bien les enchaînements de questions, la logique
interne à l"énoncé. À la demande des lecteurs, j"ai ajouté des problèmes de niveau variable mais deman-
dant toujours un investissement dans la durée.Remerciements
Même si un seul nom figure sur la couverture de cet ouvrage, il ne faudrait pas oublier qu"un livre est
aux collègues des lycées Louis-le-Grand et Saint-Louis, aux lecteurs et à tous les amis qui m"ont permis
de transformer mes premiers essais en cet ouvrage qui, je l"espère, vous conviendra. 11Chapitre 1
Bases mathématiques
1.Écritures mathématiques -2.Ensembles et applications -
3.Opérations entre parties -4.Ensembles ordonnés -
5.L"ensemble des entiers naturels
Objectifs et compétences du programme
•Comprendre et savoir utiliser les notations d"un énoncé mathématique. •Connaître les méthodes usuelles de raisonnement. •Appréhender les manipulations entre ensembles, entre parties. •Maîtriser les propriétés des applications. •Rédiger un raisonnement par récurrence. Guiseppe Peano, mathématicien italien (1848-1932)Il aborde de nombreux domaines mathématiques :
•le théor èmed "existencede solutions pour cer taineséquations diffé- rentielles non linéaires; •les axiomes définissant les entiers natur elsà par tirde la théor iedes ensembles (qu"on citera dans ce chapitre); •la pr emièreutilisation de nombr eusesnotations ensemblistes comme, par exemple, les symboles2ou. Tout au long de sa carrière, il a fait preuve d"une minutie extrême, très efficace pour la recherche, mais qui est devenue un grand travers pour enseigner. Retenons qu"il convient d"être rigoureux mais de ne pas trop l"être si cela interdit de communiquer les idées d"une démarche. 13COURSCOURSCOURS
Cet important chapitre rassemble un certain nombre de concepts et de méthodes utiles tout au long de
cations qui est rapidement nécessaire pour rédiger avec rigueur. Même si leur étude est moins urgente,
précédemment évoqués.La lecture linéaire de ce chapitre peut s"avérer difficile pour le lecteur débutant; aussi, celui-ci pourra s"y
reporter avec profit chapitre après chapitre.1. Écritures mathématiques
1.1. Quelques définitions pour la suite
suivants.Définition 1.1.
Soit deux entiersnetp. L"entiernest un multiple dep, ou de manière équivalentepest un diviseur den, s"il existe un entierktel quen=kp.Exemple
Les diviseurs de l"entier 12 sont12,6,4,3,2,1, 1, 2, 3, 4, 6 et 12.Définition 1.2.
Une suite réelle(un)nadmet le réel`pour limite si, pour tout écart" >0, les termes de la suite(un)nsont à partir d"un certain rang à une distance inférieure à"de`.
Une suite réelle(un)nest convergente s"il existe un réel`qui est limite de cette suite.Exemple
La suite(un)ndéfinie, pour toutn2N, parun=1enadmet`=1 pour limite. En effet, l"écart entreunet`estenqui est plus petit que"dès quendépasseln(").Cette dernière dénition est plus facile à comprendre si l"on adopte une représentation graphique pour
les suites. Représentons chaque terme de la suite avec en abscisses son indice et en ordonnées sa valeur
(donc chaque point admet des coordonnées de la forme(n,un)pour un certain entiern). n unAvec cette convention, la définition se représente alors de la façon suivante : la zone grisée indique les
valeurs dont l"écart à`est inférieur à"et on observe qu"à partir d"un certain rang, les valeurs de la suite
s"y trouvent. 14Chapitre 1 - Bases mathématiques
COURS1.2. Écriture avec quantificateurs
Il y a deux symboles mathématiques, appelés quantificateurs, pour écrire définitions et affirmations en
mode mathématique. •Le quantificateur univ ersel8signifie "quel que soit» ou "pour tout». •Le quantificateur existentiel 9signifie "il existe».Ces quantificateurs servent à introduire (au sens de définir) les variables que l"on va manipuler pour la
suite. À titre d"exemples, réécrivons les définitions de la section précédente.Définition 1.3.
Soit deux entiersnetp. L"entiernest un multiple depsi9k2Z,n=kp.
Définition 1.4.
Une suite réelle(un)nadmet le réel`pour limite si8" >0,9N2N,8n2N,nN) jun`j".
Une suite réelle(un)nest convergente si
9`2R,8" >0,9N2N,8n2N,nN) jun`j".
Dans cette écriture quantiée, on a utilisé le symbole)pour l"implication. On lit donc que sinest plus
grand queN, alors on ajun`j".Attention, les quantificateurs apparaissent dans les phrases mathématiques mais pas dans les phrases
"de texte». Ils sont placés avant le corps de l"affirmation (en particulier, jamais en fin de phrase)!
Conseils méthodologiques
quantificateurs de même nature (deux universels ou deux existentiels). Dit autrement, toute variable définie par un quantificateur9dépenda prioride toutes les variables définies auparavant. 15Mathématiques MPSI
Exemple
Une seule des deux phrases suivantes est correcte.8x2R,9y2R+,y=x2.
9y2R+,8x2R,y=x2.
La première indique l"existence du carré d"un réel; la seconde signifie qu"il existe un réel positif
qui est le carré de tous les réels ce qui est faux puisque 0 et 1, par exemple, admettent des carrés
différents.Conseils méthodologiques
Pour nier une phrase avec quantificateurs, il faut appliquer les deux étapes suivantes : •on r emplacetout quantificateur existentiel par un quantificateur univ erselet r éciproque- ment (sans en changer l"ordre); •on nie la conclusion.Ceci est déjà l"usage dans le langage courant; la négation de l"affirmation " tous les élèves sont
bruns» est "il existe un élève non brun».Exemple
Avec les deux définitions initiales, on obtient l"écriture des négations. .L"entiernn"est pas un multiple depsi8q2N,n6=q.p,
.La suite réelle(un)n2RNn"est pas convergente si8`2R,9" >0,8N2N,9n2N,nNetjun`j>".
On remarque que l"on n"a utilisé que la négation de l"implication "P)Q» est "Pet nonQ».Remarque
On utilise parfois la combinaison de caractères9! pour indiquer "il existe un unique». Par exemple, la
phrase suivante indique que tout réel positif admet une unique racine carrée positive :8x2R+,9!y2R+,x=y2.
1.3. Écriture d"ensembles
Par exemple, on dispose des notations suivantes :
•N,Z,Q,R,Crespectivement pour les ensembles des nombres entiers naturels, entiers relatifs, rationnels, réels et complexes.•[a,b](respectivement[a,b[) l"intervalle formé des réels supérieurs ou égaux àaet inférieurs ou
égaux (respectivement strictement inférieurs) àb.•[[a,b]]l"ensemble des entiers supérieurs ou égaux àaet inférieurs ou égaux àb. On note quelque-
foisNnl"intervalle d"entiers[[1,n]]. •BApour l"ensemble des applications deAdansB; par exemple,RRdésigne l"ensemble des fonc- tions deRdansRetRNl"ensemble des fonctions deNdansRc"est-à-dire des suites réelles. •R[X]l"ensemble des polynômes à coefficients réels.Tout au long du cours, on introduira de nouvelles notations pour les ensembles particulièrement remar-
quables ou fréquemment utilisés. Toutefois, certains ensembles sont d"usage trop rare pour mériter une
de savoir lire. 16Chapitre 1 - Bases mathématiques
COURS.La notation en compréhension consiste à décrire notre ensemble comme une partie d"un ensemble
plus grand formée des éléments vérifiant une ou plusieurs propriété(s). Par exemple, avec les écritures
A=fn2N,9k2N,n=2kg,
B=fx2R,9k2Z,x=10kg.
l"ensemble des réels (en fait des rationnels) qui sont une puissance de 10. Dans cette notation, la virgule
se lit "tel que» :Aest l"ensemble des entiers naturelsntels qu"il existe un entierkdontnest le double.
trés par d"autres variables). Par exemple, avec cette notation, les ensemblesAetBprécédents s"écrivent
A=f2k,k2Ng
B=f10k,k2Zg
La virgule ici se lit "avec» :Aest l"ensemble des éléments de la forme 2kaveckun entier naturel.
Il ne faut pas confondre ces deux notations et bien identifier la nature des objets de l"ensemble.Exemple
Soitqun entier. L"ensemble des multiples deqest notéqZ; il est décrit des deux manières sui-
vantes qZ=fkq,k2Zg=fn2Z,9k2Z,n=kqg.1.4. Modes de raisonnement usuels
On se pose maintenant la question de savoir comment démontrer l"implication "P)Q» entre deuxpropositionsPetQet on passe en revue quelques méthodes courantes. Avant tout, précisons un point
de langage.Définition 1.5.
Si "P)Q», alorsPest une condition suffisante pourQou de manière équivalenteQest une condition nécessaire pourP.1.4.1. Déduction
C"est la méthode naturelle : on part de l"hypothèse et on aboutit à la conclusion par une suite d"implica-
tions simples.Exemple
Soitn,kdeux entiers. Montrons que si l"entiernest un multiple dekalorsn2l"est également. nest un multiple dek) 9p2N,n=kp ) 9p2N,n2=k2p2 ) 9p2N,n2=k(kp2) )n2est un multiple dek.Remarquons ici la suite d"implications qui traduit les différentes étapes élémentaires de notre
raisonnement.1.4.2. Disjonction de cas
Pourmontrerl"implication"(P1ouP2ou ... ouPn))Q»,onmontresuccessivementlesdifférentesimpli- cations "Pk)Q» pour chaquek2[[1,n]]. 17Mathématiques MPSI
Exemple
cas selon les valeurs possibles 0, 1 ou 2 du resterde la division denpar 3. r=0) 9p2N,n=3.p ) 9p2N,n(n+1)(2n+1)=3.p(n+1)(2n+1) )n(n+1)(2n+1)est un multiple de 3. r=1) 9p2N,n1=3.p ) 9p2N, 2n+1=3.(2p+1) ) 9p2N,n(n+1)(2n+1)=3.(2p+1)n(n+1) )n(n+1)(2n+1)est un multiple de 3. r=2) 9p2N,n2=3.p ) 9p2N,n+1=3.(p+1) ) 9p2N,n(n+1)(2n+1)=3.n(p+1)(2n+1) )n(n+1)(2n+1)est un multiple de 3. On conclut par disjonction des cas que la propriété est vraie pour tout entiern.1.4.3. Contraposition et raisonnement par l"absurde
L"idée de la contraposition est de remplacer l"implication "P)Q» par l"implication logiquement équi-
valente "nonQ)nonP». C"est souvent intéressant lorsque la négation d"une proposition est plus
simple à manipuler que la proposition de départ.L"idée du raisonnement par l"absurde consiste à montrer que l"on peut déduire une contradiction de
l"hypothèsePet nonQ.Ces deux modes de raisonnement sont proches dans la rédaction d"une copie. Il convient de faire atten-
tion à ne pas les confondre.Exemple
Montrons que sipest un nombre premier alorsppest un irrationnel. Par l"absurde, pp2Q) 9a2Z,9b2Nnf0g,pp=a b ) 9a2Z,9b2Nnf0g,p=a2 b2 ) 9a2Z,9b2Nnf0g,pb2=a2. Les exposants depdans la décomposition en facteurs premiers dea2et deb2sont pairs doncles exposants depdans chacun des membres sont différents (pair d"un côté, impair de l"autre) :
contradiction.Exemple
Montrons par l"absurde qu"une suite convergente admet une unique limite. Heuristiquement, voici le raisonnement à partir de notre représentation graphique : supposons que la suite(un)nadmette deux limites distinctes`et`0. Pour toute "bande» autour de`(respec-quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] réplication de l'adn chez les procaryotes
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