[PDF] 11 & 12 – Dérivées I Interprétation graphique





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Déterminer une équation de la droite tangente `a la courbe représentative de la fonction f(x) = 3x2 +x+ 1 au point d'abscisse a = 1 Même question pour la 



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existe et vaut un nombre réel r on dit alors que la fonction f est dérivable en comme la pente d'une droite coupant la représentation graphique

  • Comment lire graphiquement la dérivée d'une fonction ?

    Pour lire graphiquement le nombre dérivé de f en a, on lit le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a ou on le calcule avec la formule xB?xAyB?yA avec (AB) tangente en A à la courbe de f.
  • Comment donner une interprétation graphique d'une fonction ?

    On trace une droite verticale à partir de l'antécédent dont on veut trouver l'image. On note l'unique intersection entre cette droite et le graphe de f. On trace une droite horizontale en ce point. L'intersection de cette droite avec l'axe des ordonnées nous donne l'image recherchée.
  • Comment lire f '( 0 sur un graphique ?

    Pour lire graphiquement f '(0), on lit le coefficient directeur de la tangente en B. Pour cela, on peut : lire les coordonnées d'un autre point C de la droite et calculer le coefficient directeur . Ainsi, f '(0) = –1,5.
  • Interprétation graphique du nombre dérivé.
    Si f est une fonction définie sur un intervalle I. Si a? I et si f est dérivable en x =a, alors : La courbe représentative de f poss? une tangente au point M ?a ; f ?a?? et le coefficient directeur de cette tangente est le nombre dérivé f ' ?a? de la fonction f en x =a.

Methodes de calcul Remediation L1-S1 2017-2018

11 & 12 { Derivees

I Interpretation graphique

1. ( a) Qu elleest l 'expressiond el afo nctiona ney(x) representee sur la Figure 1? Donner le coecient directeur de la droite associee. (b)

Ca lculerl ad erivee

dy(x)dx de la fonctiony(x) obtenue. Qu'en deduisez-vous?xy(x)24234 0

Figure1 {Fonction ane.

2. ( a)

Ca lculerPf(x0) = limx!0h

f(x0+x)f(x0)(x0+x)x0i pour la fonctionf(x) =x2en un pointx0. (b) T racerl afo nctionf(x) =x2. Interpreter graphiquement la quantitePf(1) pour cette fonction. (c)

Ca lculerl ad erivee

df(x)dx jx=x0def(x) =x2enx0. Comparer avec le resultat de la question

2(a) et commenter.

3. D etermineru ne equationd el ad roiteta ngente al aco urber epresentatived el af onctionf(x) =

3x2+x+1 au point d'abscissea= 1. M^eme question pour la fonctiong(x) =px=xena= 3.

En quel point la tangente a la courbe representative def(x) = 3x2+x+1 est-elle parallele a la droite d'equationD(x) = 3x+ 4? 4. ( a)

S oitl afo nctionA(r) =1r

+r2. Tracer l'allure de cette fonction surRen se servant des comportements asymptotiques (enr!0;1). En deduire graphiquement le nombre d'extrema que possede cette fonction. S'agit-il de maximum ou bien de minimum? Re- trouver toutes ces conclusions gr^ace aux derivees premiere et seconde deA(r). Donner les

intervalles precis sur lesquelsA(r) est convexe ou concave1. Aner alors la courbe deA(r).1. Pour cela, on sera amene a resoudre l'equation

d2A(r)dr

2= 0 (au point d'in

exion ici).Methodes de calcul 1 Universite Paris{Sud

Methodes de calcul Remediation L1-S1 2017-2018

(b)

Co nsiderons ap resentl afo nction

~A(r) =1jrj+r2. Quelle est l'allure de~A(r) surR? En deduire le nombre d'extrema de cette fonction. Sont-ils des maxima ou des minima?

Conrmer ces observations en se basant sur les derivees premiere et seconde de~A(r).~A(r) est-elle convexe ou concave surR? (justier graphiquement puis par le calcul de

d

2~A(r)=dr2). Enn, commenter la parite de~A(r).

5. Q uellesso ntl esv aleursd ezcorrespondant aux extrema, minima et maxima du polyn^ome P(z) = 5z3+ 4z2+ 3? En deduire l'allure de la courbe associee. Avons-nous aaire ici a des extrema locaux ou bien globaux?

II Fonctions elementaires

1. Q uellesso ntl esd eriveesp arr apport al av ariablexdes fonctionsaxn, (xy)noua;y2Ret n2Z? 2. Q uelless ontl esd eriveesp arr apport axdes fonctions exponentielle,ex, logarithme neperien, ln(x), et,ex+y(yetant une autre variable)? 3. Q uellesso ntl esd eriveesp arr apport axdes fonctions trigonometriques, cosxet sinx?

III Fonctions combinees

1. Ca lculerd ed euxm anieresd ierentesl ad eriveep arr apport aXde la fonctionf(X) = X

3+X2+A,Aetant une constante. M^eme question pour,

g(X) = (X4+X2)(X5+X3); h(X) = (pX+ 1)(X22); k(X) = (2XpX)(X+ 4): 2. Ca lculerl ad eriveed ec esr apportsd efo nctions(d ev),

3v24v2

;3v24v+ 12v3;lnvcosv+v2: 3. Ca lculerd ed euxm anieresd ierentesl ad eriveep arra pport apde :p 22

12p+1.

4. Ca lculerl ad eriveep arra pport audes fonctionsulnueteulnu. 5. Ca lculerl ad eriveep arr apport ades fonctions cos+ sinet cossin. Exprimer ce dernier resultat en terme de cos2. 6. Ca lculerl ad eriveed etan . En deduire deux methodes de calcul de la derivee de (cos=sin).

IV Fonctions de fonctions

1. ( a)

Qu ev autl af onctionF(x) dans l'expressionddx

f[g(x)] =F(x)dg(x)dx

(f(X) etg(X) sont des fonctions independantes l'une de l'autre)Methodes de calcul 2 Universite Paris{Sud

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(b)

Q uev autl afo nctionG(x) dans l'expressionddx

f[gfh(x)g] =df(g)dg G(x)dh(x)dx (f,g,hindependantes) 2.

Ca lculerl ad eriveed ec esfo nctionsen y:

(5y2+ 1)7;8 +y+y33 +y2+y4 4 ; e

3y3+4y+2ete2y(3y+ 2):

3. Ut iliserd euxm ethodesp ourca lculerl ad eriveed esd euxfo nctions au nev ariable,F() =

1 + tan

2, et,G(t) = ln(t=z),zetant une constante.

4. Ca lculerl ad eriveed esfon ctionssu ivantes au nev ariable[ denoteeu] : ln(u+u2);[ln(2 +u6)]3;ln(cosu); esin(u);cos2(4u);tan4(3u) etpu+eu2: 5. Ca lculerl ad eriveep arra pport aXde la fonction :A(X) = ln 9pX 2+X4

6.Derivees partielles {Calculer les derivees des fonctions suivantes a deux variables, par rapport2

a la variablex, puis par rapport a la variabley. u(x;y) =ex2cos(y); v(x;y) = (x2+y2)cos(xy); w(x;y) =p1 +x2y2: 7. D resserl eta bleaud ev ariationco mpletd el afo nction ( t) =t2

1+ln(t2+1). Tracer ensuite

cette fonction avec une precision optimum. Considerer en particulier les signes des derivees (premiere et seconde), les points d'extrema et les comportements asymptotiques [ent! 1] de (t). 8. ( a) Ex ponentielled eb asea:Calculer la derivee vis-a-vis dexde la fonctionax, ouaest une constante reelle strictement positive :a >0. Penser a la reecriturea=elna. Donner un resultat proportionnel aax. (b) Ap plication: En deduire deux moyens de calculer la derivee de ln(ax). (c) G eneralisation: Calculer la derivee relativement axde la fonction [f(x)]g(x)ouf(x) et g(x) sont deux fonctions quelconques. Donner le resultat obtenu en terme def(x),g(x), f

0(x),g0(x) (leur derivee) et [f(x)]g(x). Montrer que l'on peut ainsi retrouver le resultat de

la question 5(a). (d) Ap plications: Deriver par rapport auces deux fonctions,

P(u) = 2u2;et,Q(u) = (C+ lnu)sinu;

ouCest une constante.2. On notera par exemple les derivees partielles de la fonctionu(x;y) :@u(x;y)@x

et@u(x;y)@y .Methodes de calcul 3 Universite Paris{Sud

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V Re exion 1. ( a) S urqu eld omained el av ariabletsont denies ces deux fonctions? f(t) =3t2t+ 1;et,g(t) =5t+ 1: (b) Ca lculerl eurd eriveere spective.Q uer emarque-t-on? (c) Q uev autf(t)g(t)? Justier alors la remarque de la question 1(b). 2. Q uelt yped efon ction,u nefo isso mmeea vecl ecar red esa v ariable,p ossedeu ned eriveen ulle? 3. Mo ntrerq uel ad eriveed el afo nctionarcsin( x) est egale a 1=p1x2lorsquex2[1;1]. Cette fonction est denie par la relation, sin[arcsin(x)] =x, que l'on derivera pour initier la demonstration. 4. ( a) Un f ermierso uhaiteen toureru nc hampr ectangulaireet l ed iviseren d euxp arties egales a l'aide d'une cl^oture parallele a l'un des c^otes du champ (de longueura). Il dispose de 1200m de cl^oture pour entourer et diviser le terrain. En deduire une relation entre les dimensions des deux c^otes du champ :aetb. (b) L efe rmierfai ta ppel av ous,sp ecialistee nop timisationd ecl ^oture,a nd ev ousd emander pour quelle dimensionason champ aura une supercie maximale. 5. D ansu neu sined econ structiond ev oitures,l esp ortieresd oivent^ etrep eintes.C' estp ourquoi une enorme cuve cylindrique en acier, d'un volume de 64m

3, stocke de la peinture. Trouver

les dimensions de cette cuve pour que la quantite de metal necessaire a sa construction soit minimale (pour des raisons economiques et ecologiques). Par simplicite, on considerera une cuve totalement fermee.Methodes de calcul 4 Universite Paris{Sudquotesdbs_dbs5.pdfusesText_10
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