Mathématiques
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LESDÉTERMINANTSDEMATRICES
Sommaire
4ͲExercice
Utilité
Ledéterminantseraunoutil
oulespointsdeselled'unefonctiondeplusieursvariables.1Ǧ RappelǦDéfinitionetcomposantesd'unematrice
Unematrice
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derangéesetde colonnes. ,quisontidentifiésparleurposition.L'élémentܽ
seraitl'entréesituéàla3 e rangéeet2 e colonnedelamatriceܣ entreeux.L'élémentܽ ,distinctdeܽ ,estsituéàla2 e rangéeet3 e colonnedela matriceܣ2Ǧ Ledéterminantd'unematrice
dénotepar3Ǧ Calculdudéterminantpourunematriceൈ
Considéronslamatriceܣ
Ledéterminantdelamatriceܣ
faudraretenirPage3sur9
Exemple
Soitlamatrice
LedéterminantdeAestainsi
4Ǧ Exercice
Solutions:a)Ͳ17b)0c)5d)11
quis'y rattachent...5Ǧ Définitiond'unmineur
Lemineurܯ
la2 e colonnedeܣLemineurܯ
e rangéeetla 2 e colonnedeܣPage4sur9
6Ǧ Définitiond'uncofacteur
Lecofacteur,ܥ
,d'unematriceܣàl'exceptionparfoisdeleursigne.
Considéronsànouveaulamatrice
,estIls'avèrequelemineur,ܯ
,etlecofacteur,ܥ ,sontdesignesdifférents.Lemineurܯ
,estCettefois,lemineur,
,etlecofacteur, ,sontidentiques.7Ǧ ExpansionparcofacteursǦméthodedecalculdes
déterminantsSoitܣunematricecarréeetܥ
uneexpansionparcofacteurscommesuit:Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ
rangéeoulacolonnedeܣMultiplierchacundeséléments
delarangée(oucolonne)choisieparson cofacteur,ܥ ,correspondant...Fairelasommedecesrésultats.
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8Ǧ Calculdudéterminantpourunematriceൈ
Pourunematrice͵ ൈ ͵,celavoudraitdirequ'enchoisissantdefaireuneexpansionle faudraitcalculerExemple
Quelestledéterminantdelamatriceܣ
Solution
Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ
rangée.correspondants...Lesélémentsdelapremièrerangéesontͳͳ ൌ ʹǡͳʹ ൌ
ͳǡͳ͵ ൌ ͵quel'onmultipleaveclescofacteurscorrespondants,c'estͲàͲdire quisontFinalement,ils'agitdefairelecalcul
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etܥ .Poursapart,le cofacteurcorrespondantàܽ estLedéterminantdeܣ
premièrerangée.9Ǧ Méthodealternativepourcalculerlesdéterminants
associeunsignepositifàlapositionܽ horizontalementouverticalement.Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ
rangéeoulacolonnedeܣMultiplierchacundesélémentsܽ
colonnedanslesquellessetrouveܽ lorsdelapremièreétape.Page7sur9
Exemple
Soitdonclamatriceܣ
Choisissonsla3
e e rangée e colonnenousindiquentles déterminant:10Ǧ Exercice
Solutions:a)24b)Ͳ12c)Ͳ66d)0
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11Ǧ Déterminantsdematricescarréesdedimensions4x4etplus
cofacteurs:Soitܣunematricecarréeetܥ
uneexpansionparcofacteurscommesuit:Choisirunerangéeouunecolonnedeܣ
Multiplierchacundes
élémentsܽ
delarangée(oucolonne)choisieparson cofacteur,ܥ ,correspondant...Fairelasommedecesrésultats.
d'unematrice rangée(lai e )etunecolonne(laj e )deܣExemple
Calculerledéterminantdelamatrice
e colonne.Nous e colonnecequiveut direqueCommeܽ
etܽ etܥ .Pourleur part,lescofacteursܥ etܥ serontnécessaires...Page9sur9
Nousvouslaissonsvérifierqueܥ
ൌͳͺetܥ deܣExercice
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