[PDF] Mathématiques financières Application : quel placement doit-on

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AIDE MÉMOIRE

Étienne ,

Firas

Xavier

Mise en page : Belle Page

© Dunod, 2016

11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff

www.dunod.com

ISBN 978-2-10-074366-7

V athématiques nancières VI 1 Actualisation, capitalisation, escompte, intérêts simples et compo sés, taux d'actualisation, taux d'intérêt e ectif, taux équ ivalent, taux pro portionnel. Ce chapitre permet de faire le lien entre temps et valeur puis de compre ndre les principes et les modes de calcul des intérêts simples et compo sés. 1 "?Le temps, c'est de l'argent?» selon la formule populaire?! "?Préférez-vous recevoir 1?000?euros tout de suite (hypothèse n°?1) ou dans un an (hypo thèse n°?2)???» Tout individu normalement constitué aura une préférence en toute logique pour la première hypothèse?; tout simplement parce qu'il n'attribue pas de manière spontanée la même "?valeur?» aux 1?000?euros perçus maintenant à ceux, plus hypothétiques, reçus dans 12? mois... à moins de recevoir des intérêts en compensation. 1.1

1?000?euros dans un an ont une valeur inférieure à 1?000?euros aujourd'hui

puisque la certitude de les recevoir diminue au fur et à mesure que l e temps passe. Il est donc normal, dans notre système économique, qu e les agents (individus, entreprises, banques...) qui prêtent leurs fonds, perçoivent, en contrepartie, une rémunération venant compenser leur renoncement, pendant une durée déterminée, à en disposer eux -mêmes. athématiques nancières 2 aujourd'hui demain dans un an aujourd'hui 1 er j anvier1 er j anvier31 décembre Qu e valent aujourd'hui 1 000 € dans un an ?

1 000 €

31
décembre

1 000 €

Que valent dans un an 1 000 € aujourd'hui ?

Figure?1

Valeur future et valeur actuelle

Remarque

risque cf.

Temps, valeur et intérêts

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit 1.2

La capitalisation et l'actualisation

Deux techniques rendent comparables des sommes qui apparaissent dans le temps à des dates di?érentes : la capitalisation et l' actualisation . La première permet de calculer la d'une somme d'argent dont on dispose aujourd'hui ; à l'inverse, la seconde aide à convertir en une une somme d'argent que l'on percevra ultérieurement.

Représentons le temps par une droite

102n3
t

Figure2

La droite du temps

On considérera par la suite que la date 0 correspond à aujourd'hui et la date 1

à la ?n de la première période. Une période renvoie gétnéralement à une année

ou peut avoir une durée plus courte (mois, trimestre, semestre...)t, chaque

période étant de même durée. Les chi?res font référtence à la ?n d'une période

ou de manière indi?érente au début de la suivante : la période 2 correspond à la ?n de la deuxième période ou au début de la troisiètme. En?n, dans un souci de simpli?cation et sauf indication contraire, on part du princtipe que les sommes d'argent sont placées ou perçues en ?n de période.t

La valeur future

Le calcul de la valeur future permet de savoir quelle sera la valeur, datns périodes, d'une somme d'argent placée aujourd'hui. On est dans le cas de la capitalisation

Exemple?: placement à obtenir en t

n1 Un individu place 1 200 euros sur un compte d'épargne rémunéré au taux annuel de 2 %. Au bout d'un an, il dispose de 1 000 + (1 000 × 2 %) ou

1 000 × 1,02 soit 1 020 euros. Au bout de 2 ans, la somme disponible

1 On retrouve ici le cas le plus courant des intérêts composés (t les intérêts simples qui ne sont calculés que sur le capital initial). le § 3. athématiques nancières 4 V n V 0

× (1 +

i n

Fonction sous Excel

VC(taux;npm;vpm;va;type)

avec taux npm vpm va type

Tableau?1

AB

1Taux d'intérêt annuel5?%

2Durée6

3Valeur actuelle-?20 000

4Valeur future26 801,91

Remarque

Temps, valeur et intérêts

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit

La valeur actuelle

Le calcul de la valeur actuelle permet de savoir quelle somme il convien t d'investir aujourd'hui pour disposer d'un certain montant à une date future déterminée. En d'autres termes, on cherche à connaître la valeur actuelle ( 0 ) d'une somme future; d'où la nécessité d'actualiser, c'est-à-dire de c onvertir en euros d'aujourd'hui des euros futurs en tenant compte d'un c oût d'opportunité, le taux d'actualisation

On parle de

coût d'opportunité car en investissant, l'agent économique sacrie l'opportunité de disposer des fonds d'aujourd'hui en échange de l'espoir de disposer d'un montant plus élevé dans le futur. La valeur actuelle peut être obtenue par la formule suivante: 0 11 nn n nVVVii≈ Quel doit être le montant d'un placement qu'un salarié doit réaliser pour disposer le jour de sa retraite, dans 15 ans, d'une somme de

150000euros, sachant qu'il lui est possible de placer ses fonds au taux

xe de 4% annuel?

Fonction sous Excel

On utilisera la fonction Valeur actuelle

VA (taux;npm;vpm;vc;type) avec

taux =taux d'intérêt; npm =nombre de périodes; vpm =coupon à chaque période; vc = valeur capitalisée (ou prix de remboursement); type =0 si versement en n de période, 1 si versement en début de période. Application: quel placement doit-on eectuer pour obtenir dans 12ans, une somme de 200000euros au taux de 4%? athématiques nancières 6 En pratique, il est rare qu'un investissement ne produise qu'un seul ?ux ou qu'un placement ne consiste qu'en un seul versement. Dans ce cats, il su?t de reprendre les formules déjà présentées en les apptliquant à chacun des ?ux (notés F Graphiquement, la capitalisation de ?ux futurs peut être représtentée de la manière suivante : t FF FF F F i F + i F + i F + i F + i

Temps, valeur et intérêts

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit Graphiquement, l'actualisation de ux futurs, quant à elle, peu t être représentée de la manière suivante?: F 1

1 + i)

-1 F 2

1 + i)

-2 F 3

1 + i)

-3 F 4

1 + i)

-4 F 5

1 + i)

-5 10253
t 4 FF 123
FF 4 F 5

Figure4

L"actualisation de ux multiples en début de période1 Un placement est e ectué à raison d'un versement de 2?000?euros par an (en début de période) pendant 4?ans au taux annuel de 5?%. Quelle est la valeur capitalisée à la ?n de la quatrième année?? n V n V

On utilisera la fonction VC sous Excel?:

Tableau3

AB

1Taux d"intérêt annuel5%

2Durée4

3Placement-2 000

4Valeur actuelle0

5Type1

6Valeur future9 051,26

athématiques nancières 8 4321
0 65

5 000 1,045 5 000 1,045 5 000 1,05 5 000 1,05

+5 000 1,05 5 000 1,05 25 789,36 euros.V

Tableau?4

AB

1Taux d'intérêt annuel4,5?%

2Durée6

3Versement-?5 000

4Valeur future0

5Type0

6Valeur actuelle25 789,36

Les cas particuliers relatifs aux ux multiples

Les ?ux sont parfois constants et limités dans le tempsF 0 1 - 1 n i i 1 1 n n iVF i Cf.

Temps, valeur et intérêts

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit Exemple : l'actualisation de ?ux constants et limités dans l e temps Un individu perçoit une rente annuelle de 750 euros au taux de 10 % pendant 4 ans. Calculer la valeur actuelle en année 0. 4 0 1 - 1,10 7

50 2 377 euros.0,10V

Exemple : la capitalisation de ?ux constants et limités dans le temps Un individu perçoit en début de chaque mois sur son compte bancairte

200 euros relatifs à un placement au taux de 3 % pendant 5 ans. Calculer

la valeur future en ?n d'année 5. 60

1,03- 1

20

0 32 611 euros.0,03

n V 2.

Les ?ux sont constants sur un horizon in?ni. Lorsque les ?ux n'ont pas de limite temporelle, on parle de rente perpétuelle

1 . L'horizon n'étant pas borné, il s'avère impossible de calculer une tvaleur future. En revanche, on pourra estimer une valeur actuelle, F

étant le ?ux constant

dégagé à chaque période et i le taux d'intérêt : 0 F V i 3. Les ?ux augmentent à un taux constant g sur un horizon in?ni. Cette situation se rencontre lorsque l'on cherche, en entreprise, à actualiser des ?ux de trésorerie ou des dividendes. Ces derniers augmentent alors chaque année d'un taux constant g 1 0 avec ( - )F Vgi ig 1 Cette notion est également abordée dans le chapitre 2. athématiques nancières 10 Tout individu ou toute entreprise peut être amené(e) dans sa vie à emprunter de l'argent pour un besoin d'investissement et/ou d e consommation. À l'inverse, il (ou elle) peut être conduit(e)

à placer et/ou

à prêter de l'argent dont il (ou elle) dispose. Dans les deux cas, il (ou elle) est nécessairement confronté(e) à la notion d' intérêt . En la matière, deux cas de ?gure se présentent?: l'intérêt simple et l' intérêt composé. L'intérêt peut être dé?ni comme la rémunération d'un prêt d'argent. Quand un agent (dit le créancier ) prête à un autre agent (appelé le débiteur ) une somme d'argent, il se prive lui-même, pendant toute la durée de ce prêt, de la possibilité de consacrer cet argent à un autre usage (conso mmation, par exemple). La mise à disposition du débiteur d'un capital s uppose donc pour le créancier une "?contrepartie?» ou "?compensation?» nommée intérêt et pouvant être considérée comme le loyer de l'argent.

Le montant de l'intérêt (noté

I ) dépend de l'importance du capital prêté en valeur monétaire (noté C ), du taux de placement (noté i ) par unité de capital de 100?euros et de la durée du prêt (noté n ), laquelle est exprimée en années, en mois ou en jours. Plus précisément, il est propor tionnel au produit des mesures de ces trois quantités C i et n I Un capital de 3?000?euros, prêté pendant 2?ans, au taux de 5?%, rapportera au prêteur un intérêt I

égal à?:

Temps, valeur et intérêts

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit ?3 000 5 2 300 euros.100??

Remarque

Un capital produit des intérêts simples si les intérêts sont calculés uniquement sur ce capital. Les placements d'une durée inférieur e à un an ont généralement des intérêts simples. Le taux an nuel est appelé ou

Durées de placement

La durée

d'un placement peut être exprimée en mois. Le cas échéan t, elle correspond à / 12 d'année. Ainsi, la formule de calcul est la suivante: Exemple×: calcul de l"intérêt simple sur 4×mois Quel est l'intérêt de 2000euros placés 4mois au taux de 6%?

1 200I

La durée

d'un placement peut aussi être exprimée en jours. En France, o n retient généralement 360jours (12mois de 30jours): la durée correspond alors à / 360 d'année. Ainsi la formule de calcul est la suivante: I athématiques nancières 12 I 1

080 000 30 euros.36 000I==

Remarque

prorata

Résolution de problèmes

selon l'information disponible

1 200

ou I I

Temps, valeur et intérêts

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit

1 200 ()

3

6 000 I

C ou IC Exemples : calculs permettant de retrouver C, i et n Quel est le montant C du capital qui, placé à 8 % pendant 120 jours, produit un intérêt de 240 euros ?

36 000 240 9 000 euros.8 120C

Quel est le taux d'intérêt i d'un placement de 1 500 € d'une durée de

10 mois ayant rapporté 75 euros ?

1 200 75 6 %.1 500 10i

Quelle est la durée n (en nombre de jours) d'un placement de 8 000 €

à 7,5 % ayant rapporté 500 euros ?

?36 000 500 300 jours.8 000 7,5n?? athématiques nancières 14 n n cf. CI n valeur acquise Vn n VCI=+ 1 200 n

CinVC ??

36 000

n

CinVC≈≈

20 000 8 920 000 20 000 1 200 21 200 euros

1 200

cf.

Temps, valeur et intérêts

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit 2.2

Représentations graphiques

?L'intérêt produit par un capital placé

Compte tenu de son mode de calcul (

= × × / 100), l'intérêt produit par un placement est une fonction linéaire croissante ( =) du capital , du tauxquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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