[PDF] Récapitulatif des conditions dapplication des tests de comparaison

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Récapitulatif des conditions d'application des

tests de comparaison de fréquences et de moyennes, et des tests d'indépendance

Unité d'enseignement STA 109

CNAM

Chaire de Statistique Appliquée

David Moreau

Juin 2010

STA109

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Sommaire

1.Comparaison de fréquences

1.1 Comparaison d'une fréquence observée avec une fréquence théorique

1.2 Comparaison de deux fréquences observées

1.3 Comparaison de plus de deux fréquences observées

2.Comparaison de moyennes

2.1 Comparaison d'une moyenne observée avec une moyenne théorique

2.2 Comparaison de deux moyennes observées

2.3 Comparaison de deux moyennes observées, échantillons appariés

2.4 Comparaison de plus de deux moyennes observées

3.Test d'indépendance

3.1 Test d'indépendance de deux variables qualitatives

3.2 Test d'indépendance de deux variables quantitatives

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Notations

Notations utilisées pour décrire le type de comparaison et les tests correspondant.

Première(s) Condition(s) d'application

Autre condition d'application

Test paramétrique à utiliserTest non paramétrique à utiliser

Formule de la statistique du Test

Autre condition d'application

H 0 : hypothèse nulle testée ; H 1 : hypothèse alternative dans le cas bilatéral

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1.1 Comparaison d'une fréquence observée avec une fréquence

théorique

F: variable aléatoire fréquence de la modalité d'un caractère A; n: nombre d'observations de l'échantillon;

f : fréquence observée dans l'échantillon; p: fréquence dans la population où est issu l'échantillon;

p 0 : fréquence théorique de A. n ≥ 30, np et n(1-p) ≥ 5n < 30 np et n(1-p) ≥ 5

Statistique U

suit N (0,1)

Test du Chi Deux

à 1 ddl

u= f"p0 p0(1"p0) n H 0 : p = p 0 ; H 1 : p ʺ p 0

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1.2 Comparaison de deux fréquences observées

F: variable aléatoire fréquence d'un caractère A; n 1 , n 2 : nombre d'observations des échantillons 1 et 2; f 1 f 2 : fréquences observées dans les échantillons; p 1 , p 2 : fréquences de A dans les populations 1 et 2. n 1 et n 2 ≥ 30n 1 ou n 2

Statistique U

suit N (0,1)

Test du Chi Deux

à 1 ddl

u= f1"f2 p(1"p)( 1 n1 1 n2 p= n1f1+n2f2 n1+n2 n 1 f 1 ou n 2 f 2 < 5, n 1 (1-f 1 ) ou n 2 (1-f 2 ) < 5

Test Exact de

Fisher

n 1 f 1 , n 2 f 2 , n 1 (1-f 1 ), n 2 (1-f 2 ) ≥ 5 H 0 : p 1 = p 2 ; H 1 : p 1

ʺ p

2 n 1 f 1 , n 2 f 2 , n 1 (1-f 1 ), n 2 (1-f 2 ) ≥ 5

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1.3 Comparaison de plus de deux fréquences observées

A: caractère à k modalités (A

1 ,..., A i ,...Ak); E 1 , ...E j , ...E l : l échantillons ; T j : nombre d'individus dans l'échantillon E j

N: nombre total d'individus;

S i : nombre d'individus présentant la modalité A i sur les N individus; O ij : effectif observé d'individus avec la modalité A i dans l'échantillon E j C ij : effectif théorique d'individus avec la modalité A i dans l'échantillon E j , sous H 0 (les fréquences sont les mêmes dans les échantillons). C ij = S i T j /N

Test du Chi Deux

à (k-1)*(l-1) ddl

k= (O ij "C ij 2 C ij j i

Au moins un C

ij < 5

Test Exact de

Fisher

Tous les C

ij ≥ 5 H 0 : échantillons issus de la même population (mêmes fréquences des modalités); H 1 : échantillons issus de populations différentes

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2.1 Comparaison d'une moyenne observée avec une moyenne

théorique X: variable aléatoire quantitative, n: nombre d'observations, : moyenne des observations; µ: moyenne de X dans la population dont est issue l'échantillon; µ 0 : moyenne théorique; : écart-type de X; S: estimation de l'écart type de X.  connu  connu  inconnu inconnu

Statistique U=f()

suit N(0,1)

Statistique U=f(S)

suit N(0,1)

Statistique U=f()

suit N(0,1)

Statistique T=f(S)

suit loi de Student à n-1 ddl x u= x "µ0 n u= x "µ0 S n u= x "µ0 n t= x "µ0 S n H 0 0 ; H 1 0

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2.2 Comparaison de deux moyennes observées

X: variable aléatoire quantitative; n

1 , n 2 : nombre d'observations des échantillons 1 et 2; : moyennes des observations des échantillons; S 1 , S 2 : estimations de l'écart type de X dans les échantillons 1 2 : moyennes théoriques de X dans les populations 1 et 2;  1 2 : écart-types de X dans les populations. n 1 et n 2 > 30n 1 ou n 2 1 2 inconnus 1 2 connus

Statistique U=f()

suit N(0,1)

Statistique U=f(S)

suit N(0,1)

Test F d'égalité

des variances

Statistique T=f(S)

suit loi de Student à n 1 +n 2 -2 ddl x 1,x 2 u= x 1"x 2 S 1 2 n1 S 2 2 n2 u= x 1"x 2 1 2 n1 2 2 n2 1 2 connus 1 2 inconnus 1 2

égales

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