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Nombres complexes

Résoudre z3 = 1 et montrer que les racines s'écrivent 1 j



Nombres réels et nombres complexes 1 Propriétés de R

On appelle conjugué de z le complexe ¯z = a ? ib 2.2.4 Racines ni`eme de l'unité : ... racines cubiques de l'unité : 1 j



7.1 What is a complex number ?

b) j4 = j2 × j2 = (?1) × (?1) = 1. Using the imaginary number j it is possible to solve all quadratic equations. Example. Use the formula for solving a 



Chapitre 10 - Les tachycardies à complexes QRS larges

Une tachycardie régulière à complexe QRS large est considérée comme une 4. Horvilleur J. Lacotte J. Troubles du rythme cardiaque.



An oxidovanadium(IV) complex with 44-di-tert-butyl-2

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02563748/document



The «6/M (VLA-6) and a6/J4 protein complexes: tissue distribution

and mouse a6/J4 complexes. The monoclonal anti- bodies against 04 were able to preclear ec604 but not a601 from cell line extracts.



Forme trigonométrique dun nombre complexe. Applications Niveau

Représentation dans le plan complexe. 4. Equations du second degré dans C. II. Forme trigonométrique d'un nombre complexe. 1. Module et argument.



Molecular biology and biochemistry of pyruvate dehydrogenase

Molecular biology and biochemistry of pyruvate de- hydrogenase complexes. FASEB J. 4: 3224-3233; 1990. Key Words: pyruvate dehydrogenase complex phosphorylation.



Classification of Oriented Sphere Bundles Over A 4-Complex

(special orthogonal group) over a complex K of dimension at most 4 has W. S. MASSEY On the cohomology ring of a sphere bundle



On c.s.s. Complexes

i < j and i #7L Ik j there exists an n-simplex X E K such that aoc = -U for i 0



[PDF] NOMBRES COMPLEXES

4 = - 1 2 - 3 2 i = j On peut en déduire j3 = j x j2 = j x j = j2 = 1 b) Argument Définition Soit le nombre complexe non nul z de forme algébrique 



[PDF] NOMBRES COMPLEXES

Prenons par exemple les nombres complexes z1 = 3+ 5i et z2 = 4 ?2i j) i 2+ 3i + 1 2? 3i e) 8? 3i ( )? 8+ 3i ( ) k) 4 ?i



[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Cours de mathématiques

NOMBRES COMPLEXES 1 LES NOMBRES COMPLEXES 4 0 1 i z ¯z z 0 z = a + i b a b Quelques formules : • z + z = ¯z + z ¯z = z zz = ¯zz



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[000011] Exercice 4 Déterminer le module et l'argument des nombres complexes : Résoudre z3 = 1 et montrer que les racines s'écrivent 1 j j2



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I Module et argument d'un nombre complexe 1) Module Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib On appelle module de z le nombre réel positif 



[PDF] 1 Corps des nombres complexes

Introduction : Au paragraphe 1 1 nous rappelons la définition de l'ensemble des nombres complexes muni de leurs opérations d'addition et de multiplication



[PDF] Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1

Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants ainsi que de leur conjugués 1 = 1 + (1 + ?2); 2 = ?10 + 2?5 + ( 



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4) Tout nombre complexe s'écrit et de façon unique comme : = + où et S j j = - n? 1)montrer que : 2 j j = 2)Démontrer que : S i?



[PDF] NOMBRES COMPLEXES - Chamilo

I DEFINITIONS D'UN NOMBRE COMPLEXE 1 Forme algébrique 2 Représentation graphique 3 Forme polaire 4 Forme trigonométrique



[PDF] LES NOMBRES COMPLEXES

1- Forme algébrique (ou forme cartésienne) 2- Partie réelle et partie imaginaire 3- Addition ou soustraction des nombres complexes 4- Multiplication d'un 

:
Exo7

Nombres complexes

1 Forme cartésienne, forme polaire

Exercice 1Mettre sous la formea+ib(a;b2R) les nombres :

3+6i34i;1+i2i

2 +3+6i34i;2+5i1i+25i1+i: Écrire sous la formea+ibles nombres complexes suivants : 1.

Nombre de module 2 et d"ar gumentp=3.

2.

Nombre de module 3 et d"ar gumentp=8.

Calculer le module et l"argument deu=p6ip2

2 etv=1i. En déduire le module et l"argument dew=uv Déterminer le module et l"argument des nombres complexes : e eiaeteiq+e2iq: Exercice 5Calculer les racines carrées de 1;i;3+4i;86i;et 7+24i. 1.

Calculer les racines carrées de

1+ip2 . En déduire les valeurs de cos(p=8)et sin(p=8). 2.

Calculer les v aleursde cos (p=12)et sin(p=12).

1

Résoudre dansCles équations suivantes :

z

2+z+1=0 ;z2(1+2i)z+i1=0 ;z2p3zi=0 ;

z

2(514i)z2(5i+12) =0 ;z2(3+4i)z1+5i=0 ; 4z22z+1=0 ;

z

4+10z2+169=0 ;z4+2z2+4=0:

Exercice 8Calculer la sommeSn=1+z+z2++zn.

1.

Résoudre z3=1 et montrer que les racines s"écrivent 1,j,j2. Calculer 1+j+j2et en déduire les racines

de 1+z+z2=0. 2.

Résoudre zn=1 et montrer que les racines s"écrivent 1;e;:::;en1. En déduire les racines de 1+z+z2+

+zn1=0. Calculer, pourp2N, 1+ep+e2p++e(n1)p.

Trouver les racines cubiques de 22iet de 11+2i.

1. Soient z1,z2,z3trois nombres complexes distincts ayant le même cube.

Exprimerz2etz3en fonction dez1.

2. Donner ,sous forme polaire, les solutions dans Cde : z

6+(7i)z388i=0:

(Indication : poserZ=z3; calculer(9+i)2)

4 Géométrie

Exercice 12Déterminer l"ensemble des nombres complexesztels que : 1. z3z5 =1; 2. z3z5 =p2 2 Montrer que pouru;v2C, on aju+vj2+juvj2=2(juj2+jvj2):Donner une interprétation géométrique.

Soit(A0;A1;A2;A3;A4)un pentagone régulier. On noteOson centre et on choisit un repère orthonormé

(O;!u;!v)avec!u=!OA0, qui nous permet d"identifier le plan avec l"ensemble des nombres complexesC.A0 A 3 A 4A 1 A 2 O

1i1.Donner lesaffixesw0;:::;w4despointsA0;:::;A4. Montrerquewk=w1kpourk2f0;1;2;3;4g. Montrer

que 1+w1+w21+w31+w41=0. 2.

En déduire que cos (2p5

)est l"une des solutions de l"équation 4z2+2z1=0. En déduire la valeur de cos(2p5 3. On considère le point Bd"affixe1. Calculer la longueurBA2en fonction de sinp10 puis dep5 (on remarquera que sin p10 =cos2p5 4.

On cons idèrele point Id"affixei2

, le cercleCde centreIde rayon12 et enfin le pointJd"intersection de Cavec la demi-droite[BI). Calculer la longueurBIpuis la longueurBJ.

5.Application:Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.

5 Trigonométrie

Exercice 15Soitzun nombre complexe de moduler, d"argumentq, et soitzson conjugué. Calculer(z+z)(z2+z

2):::(zn+z

n)en fonction deretq. En utilisant les nombres complexes, calculer cos5qet sin5qen fonction de cosqet sinq.

Exercice 17SoitZ[i] =fa+ib;a;b2Zg.

1. Montrer que si aetbsont dansZ[i]alorsa+betable sont aussi. 2.

T rouverles élements in versiblesde Z[i], c"est-à-dire les élémentsa2Z[i]tels qu"il existeb2Z[i]avec

ab=1. 3. Vérifier que quel que soit w2Cil existea2Z[i]tel quejwaj<1. 4.

Montrer qu"il e xistesur Z[i]une division euclidienne, c"est-à-dire que, quels que soientaetbdansZ[i]

il existeqetrdansZ[i]vérifiant : a=bq+ravecjrj2¯z2¯z2=z1¯z2jz2j2.Indication pourl"exer cice2 NIl faut bien connaître ses formules trigonométriques. En particulier si l"on connait cos(2q)ou sin(2q)on sait

calculer cosqet sinq.Indication pourl"exer cice3 NPassez à la forme trigonométrique. Souvenez-vous des formules sur les produits de puissances :

e

iaeib=ei(a+b)eteia=eib=ei(ab):Indication pourl"exer cice4 NPour calculer un somme du typeeiu+eivil est souvent utile de factoriser pareiu+v2

.Indication pourl"exer cice5 NPourz=a+ibon cherchew=a+ibtel que(a+ib)2=a+ib. Développez et indentifiez. Utilisez aussi que

jwj2=jzj.Indication pourl"exer cice6 NIl s"agit de calculer les racines carrées de 1+ip2 =eip4

de deux façons différentes.Indication pourl"exer cice7 NPour les équation du typeaz4+bz2+c=0, poserZ=z2.Indication pourl"exer cice8 NCalculer(1z)Sn.Indication pourl"exer cice12 NLe premier ensemble est une droite le second est un cercle.

Indication pour

l"exer cice

13 NPour l"interprétation géométrique cherchez le parallélogramme.

Indication pour

l"exer cice

15 NUtiliser la formule d"Euler pour faire apparaître des cosinus.

Indication pour

l"exer cice

16 NAppliquer deux fois la formule de Moivre en remarquantei5q= (eiq)5.5

Correction del"exer cice1 NRemarquons d"abord que pourz2C,zz=jzj2est un nombre réel, ce qui fait qu"en multipliant le dénominateur

par son conjugué nous obtenons un nombre réel. =35 +65
i:

Calculons

1+i2i=(1+i)(2+i)5

=1+3i5 et 1+i2i 2 =1+3i5 2 =8+6i25 =825 +625
i: Donc 1+i2i 2 +3+6i34i=825 +625
i35 +65
i=2325 +3625
i:

Soitz=2+5i1i. Calculonsz+z, nous savons déjà que c"est un nombre réel, plus précisément :z=32

+72
iet doncz+z=3.Correction del"exer cice2 N1.z1=2eip3 =2(cosp3 +isinp3 ) =2(12 +ip3 2 ) =1+ip3.

2.z2=3eip8

=3cosp8

3isinp8

=3p2+p2 2

3ip2p2

2 Il nous reste à expliquer comment nous avons calculé cos p8 et sinp8 : posonsq=p8 , alors 2q=p4 et donc cos(2q)=p2 2 =sin(2q). Mais cos(2q)=2cos2q1. Donc cos2q=cos(2q)+12 =14 (2+p2). Et ensuite sin

2q=1cos2q=14

(2p2). Comme 06q=p8 6p2 , cosqet sinqsont des nombres positifs. Donc cos p8 =12 q2+p2;sinp8 =12 q2p2:Correction del"exer cice3 NNous avons u=p6p2i2 =p2 p3 2 i2 =p2 cosp6 isinp6 =p2eip6 puis v=1i=p2eip4

Il ne reste plus qu"à calculer le quotient :

uv =p2eip6p2eip4 =eip6 +ip4 =eip12 :Correction del"exer cice4 ND"après la formule de Moivre poureianous avons : e eia=ecosa+isina=ecosaeisina: Orecosa>0 donc l"écriture précédente est bien de la forme "module-argument". 6

De façon générale pour calculer un somme du typeeiu+eivil est souvent utile de factoriser pareiu+v2

. En effet e iu+eiv=eiu+v2 eiuv2 +eiuv2 =eiu+v2

2cosuv2

=2cosuv2 eiu+v2 Ce qui est proche de l"écriture en coordonées polaires.

Pour le cas qui nous concerne :

z=eiq+e2iq=e3iq2 h eiq2 +eiq2 i =2cosq2 e3iq2 Attention le module dans une décomposion en forme polaire doit être positif ! Donc si cos q2 >0 alors 2cosq2 est le module dezet 3q=2 est son argument ; par contre si cosq2 <0 le module est 2jcosq2 jet l"argument

3q=2+p(le+pcompense le changement de signe careip=1).Correction del"exer cice5 NRacines carrées.Soitz=a+ibun nombre complexe aveca;b2R; nous cherchons les complexesw2Ctels

quew2=z. Écrivonsw=a+ib. Nous raisonnons par équivalence : w

2=z,(a+ib)2=a+ib

,a2b2+2iab=a+ib Soit en identifiant les parties réelles entre elles ainsi que les parties imaginaires : a2b2=a 2ab=b Sans changer l"équivalence nous rajoutons la conditionjwj2=jzj. 8 :a

2+b2=pa

2+b2 a 2b2=a 2ab=b Par somme et différence des deux premières lignes : 8 :a

2=a+pa

2+b22 b

2=a+pa

2+b22 2ab=b ,8 >:a=qa+pa 2+b22 b=qa+pa 2+b22 abest du même signe queb Cela donne deux couples(a;b)de solutions et donc deux racines carrées (opposées)w=a+ibdez. 7 En pratique on répète facilement ce raisonnement, par exemple pourz=86i, w

2=z,(a+ib)2=86i

,a2b2+2iab=86i a2b2=8 2ab=6 ,8 :a

2+b2=p8

2+(6)2=10 le module dez

a 2b2=8 2ab=6 ,8 :2a2=18 b 2=1 2ab=6 ,8 :a=p9=3 b=1 aetbde signes opposés ,8 :a=3 etb=1 ou a=3 etb= +1

Les racines dez=86isont doncw1=3ietw2=w1=3+i.

Pour les autres :

Les racines carrées de 1 sont : +1 et1.

Les racines carrées de isont :p2

2 (1+i)etp2 2 (1+i).

Les racines carrées de 3 +4isont : 2+iet2i.

Les racines carrées de 7 +24isont : 4+3iet43i.Correction del"exer cice6 NPar la méthode usuelle nous calculons les racines carréesw;wdez=1+ip2

, nous obtenons w=sp2+12 p2 +isp212 p2 qui peut aussi s"écrire : w=12 q2+p2+i12 q2p2:

Mais nous remarquons quezs"écrit également

z=eip4 eteip8 vérifie eip8

2=e2ip8

=eip4

Cela signifie queeip8

est une racine carrée dez, donceip8 =cosp8 +isinp8 est égal àwouw. Comme cosp8 >0 alorseip8 =wet donc par identification des parties réelles et imaginaires : cos p8 =12 q2+p2 et sin p8 =12 q2p2: 8

Correction del"exer cice7 NÉquations du second degré.La méthode génerale pour résoudre les équations du second degréaz2+bz+c=0

(aveca;b;c2Ceta6=0) est la suivante : soitD=b24acle discriminant complexe etdune racine carrée de

D(d2=D) alors les solutions sont :

z

1=b+d2aetz2=bd2a:

Dans le cas où les coefficients sont réels, on retrouve la méthode bien connue. Le seul travail dans le cas

complexe est de calculer une racineddeD. Exemple : pourz2p3zi=0,D=3+4i, dont une racine carrée estd=2+i, les solutions sont donc : z

1=p3+2+i2

etz2=p32i2

Les solutions des autres équations sont :

L "équationz2+z+1=0 a pour solutions :12

(1+ip3),12 (1ip3). L "équationz2(1+2i)z+i1=0 a pour solutions : 1+i,i.

L "équationz2p3zi=0 a pour solutions :12

(2p3+i),12 (2p3i) L "équationz2(514i)z2(5i+12) =0 a pour solutions : 512i,2i. L "équationz2(3+4i)z1+5i=0 a pour solutions : 2+3i, 1+i.

L "équation4 z22z+1=0 a pour solutions :14

(1+ip3),14 (1ip3). L "équationz4+10z2+169=0 a pour solutions : 2+3i,23i, 23i,2+3i.

L "équationz4+2z2+4=0 a pour solutions :p2

2 (1+ip3),p2 2 (1ip3),p2 2 (1+ip3),p2 2 (1ip3).Correction del"exer cice8 NS n=1+z+z2++zn=nå k=0zk:

Nous devons retrouver le résultat sur la sommeSn=1zn+11zd"une suite géométrique dans le cas oùz6=1 est un

réel. Soit maintenantz6=1 un nombre complexe. CalculonsSn(1z). S n(1z) = (1+z+z2++zn)(1z)développons =1+z+z2++znzz2zn+1les termes intermédiaires s"annulent =1zn+1: Donc S

n=1zn+11z;pourz6=1:Correction del"exer cice9 NCalcul de racinen-ième.Soitz2Ctel quezn=1, déjàjzjn=1 et doncjzj=1. Écrivonsz=eiq. L"équation

devient e inq=e0=1,nq=0+2kp;k2Z,q=2kpn ;k2Z: 9

Les solution sont donc

S=n e2ikpn ;k2Zo

Comme le polynômezn1 est de degrénil a au plusnracines. Nous choisissons pour représentants :

S=n e2ikpn ;k=0;:::;n1o

De plus sie=e2ipn

alorsS=ek;k=0;:::;n1:Ces racines sont les sommets d"un polygone régulier àn côtés inscrit dans le cercle unité. SoitP(z) =ån1k=0zk=1zn1zpourz6=1. Donc quelque soitz2Snf1gP(z) =0, nous avons ainsi trouvern1 racines pourPde degrén1, donc l"ensemble des racines dePest exactementSnf1g.

Pour conclure soitQp(z) =ån1k=0ekp.

Sip=0+`n,`2Zalorsekp=ek`n= (en)k`=1k`=1. DoncQp(z) =ån1k=01=n. SinonQp(z)est la somme d"une suite géométrique de raisonep: Q

p(z) =1(ep)n1ep=1(en)p1ep=111ep=0:Correction del"exer cice10 N1.Les trois racines cubiques ont même module

p2, et leurs arguments sontp=12, 7p=12 et 5p=4. Des valeurs approchées sont 1;366030;36603i,0;36603+1;36603iet1i.

2.12i,(12i)jet(12i)j2oùj=1+ip3

2

(racine cubique de 1).Correction del"exer cice11 NSoientz1;z2;z3trois nombres complexesdistinctsayant le même cube.

1.z16=0 car sinon on auraitz1=z2=z3=0. Ainsi(z2z

1)3= (z3z

1)3=1. Comme les trois nombres 1;(z2z

1)et z3z

1)sont distincts on en déduit que ce sont les trois racines cubiques de 1. Ces racines sont 1;j=e2ip3

et j

2=e2ip3

. A une permutation près des indices 2 et 3 on a donc : z

2=jz1etz3=j2z1:

2.

Soit z2C. On a les équivalences suivantes :

z

6+(7i)z388i=0,z3est solution deZ2+(7i)Z88i=0

Etudions l"équationZ2+(7i)Z88i=0.D= (7i)2+4(8+8i) =80+18i= (9+i)2. Les solutions sont donc8 et 1+i. Nous pouvons reprendre notre suite d"équivalences : z

6+(7i)z388i=0,z32 f8;1+ig

,z3= (2)3ouz3= (6p2eip12 )3 ,z2 f2;2e2ip3 ;2e2ip3 gouz2 f6p2eip12 ;6p2ei9p12 ;6p2ei17p12 g ,z2 f2;2eip3 ;2eip3 ;6p2eip12 ;6p2ei3p4 ;6p2ei17p12 g:

L"ensemble des solutions est donc :

f2;2eip3 ;2eip3 ;6p2eip12 ;6p2ei3p4 ;6p2ei17p12 g: 10 Correction del"exer cice12 NNous identifionsCau plan affine etz=x+iyà(x;y)2RR. Remarquons que pour les deux ensemblesz=5 n"est pas solution, donc z3z5 =1, jz3j=jz5j:

Ce qui signifie préci

´sement que les points d"affixezsont situés à égale distance des pointsA;Bd"affixes respectives 3= (3;0)et 5= (5;0). L"ensemble solution est la médiatrice du segment[A;B].

Ensuite pour

z3z5 =p2 2 , jz3j2=12 jz5j2 ,(z3)(z3) =12 (z5)(z5) ,zz(z+z) =7 , jz1j2=8 , jz1j=2p2 L"ensemble solution est donc le cercle de centre le point d"affixe 1= (1;0)et de rayon 2p2.

Correction de

l"exer cice

13 Nju+vj2+juvj2= (u+v)(¯u+¯v)+(uv)(¯u¯v) =2u¯u+2v¯v=2juj2+2jvj2:

Géométriquement il s"agit de l"identité du parallélogramme. Les points d"affixes 0;u;v;u+vforment un

parallélogramme.jujetjvjsont les longueurs des cotés, etju+vj;juvjsont les longueurs des diagonales. Il

n"est pas évident de montrer ceci sans les nombres complexes !!Correction del"exer cice14 N1.Comme (A0;:::;A4)estunpentagonerégulier, onaOA0=OA1=OA2=OA3=OA4=1et(!OA0;!OA1)=

2p5 [2p];(!OA0;!OA2)=4p5 [2p];(!OA0;!OA3)=4p5 [2p];(!OA0;!OA4)=2p5 [2p];. Onendéduit:w0=1;w1= equotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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