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Tale-Maths Complémentaires08-EXPÉRIENCES RÉPÉTÉES, ÉCHANTILLONNAGE

EXPÉRIENCES RÉPÉTÉES,

ÉCHANTILLONNAGE

S S p 1-p

Terminale Maths Complémentaires-Thème 08

Table des matières

I

Variable aléatoire-rappels2

1)Variable aléatoire et loi de probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2)Espérance, variance et écart-type d"une variable aléatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

IILoi uniforme discrète3

1)Définition sur{1;2;3;...;n}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2)Espérance de la loi uniforme discrète sur{1;2;3;...;n}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3)Loi uniforme sur un intervalle d"entiers[[a;b]]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

IIIÉpreuve, loi et schéma de Bernoulli5

1)Problématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5

2)Épreuve de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

3)Loi de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 6

4)Schéma de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

5)Coefficients binomiaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

IVLoi binomiale8

1)Définition de la loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2)Espérance et variance de la loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

VÉchantillonnage et estimation9

1)Représentation graphique d"une loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2)Intervalle de fluctuation et prise de décision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3)Intervalle de confiance et estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Polycopié de cours de N. PEYRAT Page 1sur12Lycée Saint-Charles Tale-Maths Complémentaires08-EXPÉRIENCES RÉPÉTÉES, ÉCHANTILLONNAGE Dans ce chapitre,netidésignent des entiers naturels.

I Variable aléatoire-rappels

1) Variable aléatoire et loi de probabilité

a) Variable aléatoire

Lorsqu"à chaque issue d"une expérience aléatoire, on associe un nombre réel, on dit que l"on définit une

variable aléatoire.

DÉFINITION

?Une variable aléatoire est généralement notée par une lettre majuscule :X,Y,Z,T,G...

?Lorsquex1,x2, ...,xnsont les valeurs prises par une variable aléatoireX, on noteX=xil"événement "X

prend la valeurxi» (avec1⩽i⩽n)

REMARQUES

b) Loi de probabilité

Lorsqu"à chaque valeurxi(1⩽i⩽n) prise par une variable aléatoireX, on associe la probabilité de

l"événementX=xi, on dit que l"on définit laloi de probabilité deX. On représente généralement cette loi à l"aide d"un tableau :

Valeurxix1x2...xn

P(X=xi)p1p2...pn

DÉFINITION

On a alors :

n∑ i=1pi=p1+p2+...+pn=1

REMARQUE

c) Exemple complet

Énoncé :

On lance un dé cubique, non pipé, dont les faces sont numérotées 1, 1, 1, 2, 3 et 4.

SoitXla variable aléatoire donnant le numéro apparu. Déterminerla loi de probabilité deX.

Correction :

Les valeurs prises parXsont 1, 2, 3 et 4.

Le dé étant non pipé, chaque face a la même probabilité d"êtreobtenue. 3 faces ayant le chiffre 1, on a donc

P(X=1)=3

6=12. De même,P(X=2)=16,P(X=3)=16etP(X=4)=16.

La loi de probabilité deXest donc :

Valeurxi1234

P(X=xi)1

2 1 6 1 6 1 6 Polycopié de cours de N. PEYRAT Page 2sur12Lycée Saint-Charles Tale-Maths Complémentaires08-EXPÉRIENCES RÉPÉTÉES, ÉCHANTILLONNAGE

2) Espérance, variance et écart-type d"une variable aléatoire

Soitnun entier naturel et soitXune variable aléatoire qui prend les valeursx1,x2, ...,xn. On pose, pour tout entier naturelicompris entre1etn,pi=P(X=xi). ?L"espérance mathématique deXestE(X)=n i=1p ixi=p1x1+p2x2+...+pnxn. ?La variance deXestV(X)=n∑ i=1pi(xi-E(X))2. ?L"écart-type deXestσ(X)=? V(X).

DÉFINITION

V(X)=E(X2) -E(X)2

REMARQUE

Soientaetbdeux réels etXune variable aléatoire. Alors : E(aX+b)=aE(X) +b;V(aX+b)=a2V(X);σ(aX+b)=?a?σ(X)

PROPRIÉTÉSadmises

II Loi uniforme discrète

1) Définition sur{1;2;3;...;n}

Soitn?N?, et soitXune variable aléatoire définie sur un universΩet à valeurs dans{1;2;3;...;n}.

On dit queXsuit laloi uniforme discrètesur{1;2;3;...;n}si et seulement si : ?k?{1;2;3;...;n},P(X=k)=1 n

DÉFINITION

On lance un dé équilibré à6faces et on noteXle résultat donné par le lancer. AlorsXprend les valeurs entières de1à6, etP(X=1)=P(X=2)=...=P(X=6)=1 6. DoncXsuit la loi uniforme discrète sur{1;2;3;...;6}.

EXEMPLE

On considère une urne qui contient4boulesvertes,2boulesbleues,2boulesrouges,3boulesorangeet

1boulejaune. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule dans l"urne.

?L"obtention d"une boule bleue ou d"une boule rouge rapporte1point. ?L"obtention d"une boule verte rapporte2points. ?L"obtention d"une boule orange ou d"une boule jaune rapporte3points.

SoitXla variable aléatoire qui compte le nombre de points obtenusaprès le tirage d"une boule de l"urne.

Montrer queXsuit la loi uniforme discrète sur{1;2;3}.EXERCICE Polycopié de cours de N. PEYRAT Page 3sur12Lycée Saint-Charles Tale-Maths Complémentaires08-EXPÉRIENCES RÉPÉTÉES, ÉCHANTILLONNAGE

2) Espérance de la loi uniforme discrète sur{1;2;3;...;n}

Soitn?N?et soitXune variable aléatoire qui suit la loi uniforme discrète sur{1;2;3;...;n}.

L"espérance mathématique deXvautE(X)=n+1

2.

PROPRIÉTÉ

Xsuit la loi uniforme discrète sur{1;2;3;...;n}, donc les valeurs prises parXsont tous les entiers compris

entre1etn, et pour tout entierkcompris entre1etn, on aP(X=k)=1 n.

On peut dresser le tableau de la loi deXainsi :

k12...n

P(X=k)1

n 1 n...1 n Ainsi, par définition,E(X)=1×1n+2×1n+3×1n+...+n×1n=1+2+3+...+nn. Or, pour tout entier naturelnnon nul,1+2+3+...+n=n(n+1) 2.

DoncE(X)=n(n+1)

2 n=n(n+1)2n=n+12.

DÉMONSTRATION

Dans l"exemple précédent du dé à6faces, on aE(X)=6+12=3,5.

On peut l"interpréter ainsi : si on réalise un grand nombre delancers de dé, dans des conditions identiques

et indépendantes, la moyenne des résultats obtenus par la variable aléatoireXsera très proche de3,5.

EXEMPLE

3) Loi uniforme sur un intervalle d"entiers[[a;b]]

On peut généraliser la définition et la propriété précédentes dans le cas d"un intervalle d"entiers non plus de la forme

{1;2;3;...;n}, mais entre n"importe quel entierajusqu"à un entierb:

Soientaetbdeux entiers relatifs tels quea à valeurs dans[[a;b]](c"est-à-dire tous les entiers compris entreaetb:{a;a+1;a+2;...;b-1;b}). On dit queXsuit laloi uniforme discrètesur[[a;b]]si et seulement si : ?k?[[a;b]],P(X=k)=1 b-a+1

DÉFINITION

Soientaetbdeux entiers relatifs tels quea discrète sur[[a;b]].

L"espérance mathématique deXvautE(X)=a+b

2.

PROPRIÉTÉ

Polycopié de cours de N. PEYRAT Page 4sur12Lycée Saint-Charles Tale-Maths Complémentaires08-EXPÉRIENCES RÉPÉTÉES, ÉCHANTILLONNAGE

La loi deXest :

kaa+1...b

P(X=k)1

b-a+1 1 b-a+1...1 b-a+1 AlorsE(X)=a×1b-a+1+(a+1) ×1b-a+1+....+b×1b-a+1=1b-a+1(a+ (a+1) +...+b). Ora+ (a+1) +...+b=(1+2+...+b)- (1+2+...+(a-1))=b×(b+1)

2-(a-1)×a2=b2+b-a2+a2

=(b+a)(b-a)+ (b+a)

2=(b+a)(b-a+1)2.

Ainsi,E(X)=1

b-a+1×(b+a)(b-a+1)2=a+b2.

DÉMONSTRATION

Dans un groupe de 20 amis, 5 amis ont 16 ans, 5 ont 17 ans, 5 ont 18ans et les 5 derniers ont 19 ans.

On choisit au hasard une personne du groupe. Alors la variable aléatoireXégale à l"age de la personne

choisie au hasard sur la loi uniforme discrète sur[[16;19]]. Pour tout entierkcompris entre16et19, on a alorsP(X=k)=1

19-16+1=14.

EXEMPLE

III Épreuve, loi et schéma de Bernoulli

1) Problématique

On lance vingt fois de suite, dans les mêmes conditions, un débien équilibré à 6 faces.

1. Quelle est la probabilité d"obtenir 20 fois la face 6 sur les 20 lancers?

2. Quelle est la probabilité d"obtenir 0 fois la face 6 sur les20 lancers?

3. Quelle est la probabilité d"obtenir 4 fois la face 6 sur les20 lancers?

Correction :

1. SoitXla variable aléatoire égale au nombre de fois qu"apparait laface 6 sur les 20 lancers.

Un seul chemin donne 20 fois la face 6 : celui du haut. DoncP(X=20)=?1 6?20

2. Un seul chemin donne 0 fois la face 6 : celui du bas. DoncP(X=0)=?5

6?20

3. Tous les chemins dans l"arbre donnant exactement4fois la face 6 sur les 20 lancers ont la même probabilité, car

ils contiennent autant de branches qui vont vers le haut (4 branches car 4 succès) que de branches qui vont vers le

bas (16 branches car 16 échecs) : cette probabilité vaut?1 6?4

×?56?16

Il reste à pouvoir déterminer le nombre de chemins dans l"arbre contenant exactement4branches vers le haut et

16branches vers le bas. Ce nombre de chemins, qui correspond aunombre decombinaisonsde4succès parmi

20épreuves, est appelé uncoefficient binomial. Il se note?20

4?et la calculatrice (nCr(20,4)) donne4845.

Ainsi,P(X=4)=?20

4?×?1

6?4

×?56?16

=4845× ?16?4

× ?56?16

≈0,2022. Polycopié de cours de N. PEYRAT Page 5sur12Lycée Saint-Charles Tale-Maths Complémentaires08-EXPÉRIENCES RÉPÉTÉES, ÉCHANTILLONNAGE

2) Épreuve de Bernoulli

S S p 1-p Soitpun réel appartenant à l"intervalle[0;1]. On appelleépreuve de Bernoullitoute expérience aléatoire n"ad- mettant que deux issues, appelées généralementsuccèsSetéchec

S, et de probabilités respectivespetq=1-p.

DÉFINITION

?Lancer une pièce de monnaie équilibrée et savoir si PILE est obtenu est une épreuve de Bernoulli de succès

S: " Pile a été obtenu », de probabilitép=0,5. L"échec est donc

S: " Face a été obtenu ».

?Interroger une personne dans la rue en France et lui demandersi elle est gauchère est une épreuve de

Bernoulli de succèsS: " La personne est gauchère », de probabilitép≈0,13.

EXEMPLES

3) Loi de Bernoulli

Soitpun réel de l"intervalle[0;1]etXune variable aléatoire. On réalise une épreuve de Bernoulli dont le succèsSa pour probabilitép.

On dit queXest unevariable aléatoire de Bernoullilorsqu"elle est à valeurs dans{0;1}, où la valeur

1est attribuée au succès.

On dit alors queXsuit laloi de Bernoullide paramètrep.

Autrement dit, on aP(X=1)=petP(X=0)=1-p.

On peut résumer la loi de Bernoulli par le tableau suivant : xi10

P(X=xi)p1-p

DÉFINITION

Soitpun réel de[0;1], et soitXune variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètrep.

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