[PDF] Inférence statistique et probabilités

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INFSTA

ISBN 978-2-8041-8338-7

ISSN 2030-2061

u

Ce livre a pour objet

de guider et d'aider les étudiants dans la résolution d'exercices concernant l'inférence statistique . Les fiches de synthèse en début de chapitre permettent de retenir les concepts clés nécessaires à la résolution des exercices

Chaque fin de chapitre est consacrée à

une mise au point concernant les difficul- tés rencontrées. u

Le livre s'intéresse au

calcul des probabili- tés dans un contexte d'algèbre de Boole, aux variables aléatoires discrètes à une dimension (lois inconnues ou connues comme les lois Binomiale, Bernoulli ou

Poisson) ainsi qu'aux

variables aléatoires continues à une dimension . Le problème du calcul de probabilités s'oriente ensuite vers les variables aléatoires bidi- mensionnelles discrètes et continues

Après avoir rappelé la manière dont les

tables statistiques doivent être lues, les auteurs montrent l'utilité du recours à la loi normale , notamment pour certaines statistiques d'échantillonnage. Les tech- niques d'estimations (ponctuelles et par intervalles de confiance) sont étudiées, afin de s'orienter progressivement vers une des parties les plus utiles en statis- tique : la théorie des tests (indépendance, homogénéité, adéquation, signification, comparaison).

Inférence statistique

et probabilités

Stéphane Mussard

Françoise Seyte

Préface de Michel

Terraza

Le livre de référence en statistique inférentielle : fiches de synthèses avec exercices corrigés !

Stéphane Mussard

est Maître de conférences HDR à la Faculté d'Économie de l'Université

Montpellier I.

Françoise Seyte est Maître de conférences HDR à la Faculté d'Économie de l'Université de

Montpellier I et responsable du Master Finance

de Marché et Analyse des Risques ainsi que du parcours Data Mining Relation Client à l'ISEM. Elle enseigne également à l'École des Mines d'Alès et à l'ENAC.

Ils sont tous deux membres du LAMETA et

enseignent la statistique inférentielle ainsi que l'économétrie. Leurs thèmes de recherche concernent l'économétrie appliquée dans le domaine de la finance et de la répartition personnelle du revenu : lois de distribution du revenu, mesures d'inégalités et de concentration, méthodes de décomposition.u

Cet ouvrage intéressera non seulement

les étudiants en Faculté d'économie et de gestion, de niveau L2 et L3, les étudiants en écoles d'ingénieurs, les écoles de com- merce, les étudiants préparant certains concours administratifs, les étudiants en

MIAGE, en AES (L2-L3), sociologie (L2-L3) et

psychologie (L3), mais aussi les profession- nels de la statistique (économiste-statisti- cien de l'État, de l'entreprise, chargé de mis- sion CRM, les professionnels du contrôle de qualité des produits, les entreprises ayant un département statistique).Inférence statistique et probabilités

S. Mussard

Fr. Seyte

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Inférence statistique

et probabilités

1 I Georges AKERLOF (1940- ). Né dans le Connecticut, Georges Akerlof est docteur

en sciences économiques du Massachusetts Institute of Technology (MIT). Professeur à Berkeley, le prix Nobel d'économie lui a été décerné en 2001, en compagnie de Joseph Stiglitz et Michael Spence pour ses travaux sur l'asymétrie d'information et la " sélection adverse ». 2

I Oliver E. WILLIAMSON (1932- ). Né dans le Wisconsin, Oliver E. Williamson est docteur de l'Université Carnegie-Mellon. Professeur à Berkeley, il est le fondateur de la " nouvelle économie institutionnelle », où un rôle central est attribué au concept de coût de transac-tion, développé dans un article célèbre du prix Nobel 1991, Ronald Coase.

Photo : © http://groups.haas.berkeley.edu/bpp/oew/ 3 I Maurice ALLAIS (1911- ). Né à Paris, Maurice Allais est sorti major de l'École poly- technique en 1933. Il a obtenu le prix Nobel d'économie en 1988. Ses travaux ont eu une influence déterminante après-guerre sur les ingénieurs-économistes français L'Économie pure (1943) et Économie et intérêt (1947)) mais une part significative de sa réputation internationale est due aussi au " paradoxe d'Allais », remise en cause de la théorie face au risque de von Neumann et Morgenstern. 4

I Joseph STIGLITZ (1943- ). Né dans l'Indiana, Joseph Stiglitz est, à 26 ans, profes-seur à l'Université de Yale. La thèse de cet ancien étudiant du Massachusetts Institue of Technology (MIT), portant sur le rationnement du crédit, est célèbre dans le monde universitaire. J. Stiglitz développera par la suite ses analyses sur l'imperfection

de l'in-formation et ses conséquences sur le fonctionnement des marchés. Chef de file des nouveaux keynésiens, il a obtenu le prix Nobel d'économie en 2001 (en même temps que G. Akerlof et M. Spence).

5

I Robert LUCAS (1937- ). Né dans l'État de Washington, Robert Lucas enseigne depuis 1965 à l'Université de Chicago. Principal représentant de la "nouvelle macroéconomie classique », le prix Nobel d'économie lui a été décerné en 1995 pou

r ses travaux sur les anticipa-tions rationnelles et leurs conséquences quant à la stabilité des modèles économétriques (Lucas's critique) et aux limites des interventions publiques (impotence result).

Photo : © Université de Chicago 6 I Kenneth Joseph ARROW (1921- ). Né à New-York, Kenneth J. Arrow s'oriente en

1941 vers l'économie à l'Université de Columbia. Il est connu pour sa démonstration

de l'existence d'un équilibre général de concurrence, ses travaux sur le risque et son

" théorème d'impossibilité » (agrégation 'impossible' des préférences individuelles en

une fonction satisfaisante de choix collectif). Il a obtenu le prix Nobel d'économie en

1972, avec John Hicks.

7

I Paul KRUGMAN (1953- ). Né à New-York, Paul Krugman est diplômé du Massachusetts Institue of Technology (MIT), université où il enseigne ainsi qu'à Yale, Stanford et Princeton. Ce nouveau keynésien, défenseur du libre-échange tempéré et spécialiste de l'économie internationale, s'appuie sur l'analyse de la concurrence imparfaite pour rectifier certa

ines des conclusions de l'analyse néoclassique. 8

I Milton FRIEDMAN (1912 - 2006). Né à Brooklyn, Milton Friedman a enseigné à l'Univer-sité de Chicago, de 1946 à 1977. Il a été le pape du retour au libre marché, de la dérégle-mentation et de l'abandon de la politique budgétaire au profit de la po

litique monétaire. Chef de file d'une véritable contre-révolution keynésienne d

ès les années 50, il a vu ses idées triompher dans les années 70 et a reçu le prix Nobel en 1

976.
9 I Barry EICHENGREEN (1952- ). Né en Californie, Barry Eichengreen a fait des études

d'économie et d'histoire à l'Université de Yale et enseigne aujourd'hui à l'Université de

Berkeley. Il a notamment fait des propositions pour construire une architecture f inancière internationale et une architecture financière européenne.

Photo : © 2008 Robert Houser

Source : " L'essentiel de l'économie », in

Alternatives économiques

, Hors série pratique n°

21, novembre 2005.

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Inférence statistique

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Stéphane Mussard

Françoise Seyte

Préface de Michel

Terraza

Ouvertures Économiques

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© De Boeck Supérieur s.a., 2014 1

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édition

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Il est in

terdit, sauf accord préalable et écrit de l'éditeur, de reproduire (notamment par photocopie)

partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le

communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit.

Imprimé en Belgique

Dépôt

légal

Bibliothèque

nationale, Paris : mai 2014 ISSN 2030-2061 B ibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2014/0074/022 ISBN 978-2-8041-8338-7

Crédits photos de couverture :

Si malgré nos soins attentifs, certaines demandes n'étaient pas parvenues aux auteurs ou à leurs

ayants droits, qu'ils veuillent bien nous en tenir informés.

à Gladys, Cassandra et Michèle

à Auriane, Bertrand et Pierre

1

1. En bons statisticiens les auteurs ont décidé de tirer à pil

e ou face lordre des remerciements.

PRÉFACE

Lenseignement de la Statistique à la Faculté dÉconomie de Montpellier a débuté en

1969 à linitiative du Professeur Jean-Pierre VIGNAU. Son objectif était de préparer

les étudiants de lépoque aux méthodes statistiques indispensables pour développer

une lière dÉconométrie au sein de la Faculté. Le cours de statistique mathématique,

dénommé ainsi, pour le distinguer de la statistique non probabiliste, a été repris par la

suite par la professeur Gilberte VIGNAU qui en a développé un programme scienti que cohérent et durable. Cet enseignement perdure aujourdhui avec Madame Françoise SEYTE, Maître de Conférences qui, à son tour, a su initier, à travers de multiples exercices pédagogiques

de travaux dirigés, les étudiants de la Faculté à la Statistique Inférentielle. Cest le fruit

de son travail quelle présente dans cet ouvrage, accompagnée de son collègue Stéphane

MUSSARD, Maître de Conférences, qui a, lui aussi, oeuvré dans ce projet pédagogique. Je suis persuadé que les étudiants de nos Facultés sauront tirer pro t des exercices corrigés qui sont proposés par mes deux collègues dans ce livre pour une meilleure compréhension de leur cours de statistique mais aussi, pour une bonne utilisation de cet outil lors de la pratique économétrique quils exerceront dans la suite de leurs études.

Michel TERRAZA

Professeur dÉconomie

LAMETA

Faculté dÉconomie de Montpellier

AVANT-PROPOS

La Statistique Inférentielle consiste à déduire à partir dun échantillon issu dune popu-

lation, les caractéristiques de cette population. La loi de la population peut être connue. Si elle ne lest pas, des tests permettent de la trouver.

Lobjet de cet ouvrage est de sexercer à la Statistique Inférentielle à laide de problèmes

corrigés et expliqués. Les ches de synthèse en début de chapitre permettent de retenir les concepts clés nécessaires à la résolution des exercices. Chaque n de chapitre est consacrée à une mise au point concernant les dif cultés rencontrées lors des exercices

corrigés. A la n des chapitres 5et11 deux synthèses sont proposées. Il sagit de véri er

les connaissances sur des exercices qui rassemblent plusieurs problèmes.

Le livre sarticule de la façon suivante:

Le Chapitre1 porte sur le calcul de probabilités, rappelant les propriétés de base des opérateurs (provenant des Algèbres de Boole). Le Chapitre2 introduit les variables aléatoires à une dimension a n de revoir des opéra- teurs tels que lespérance, la variance, la covariance, etc. Les lois de comptage usuelles: la loi de Bernoulli, la loi Binomiale, la loi Hypergéométrique et la loi de Poisson y sont aussi développées. Le Chapitre3 traite des variables aléatoires continues à une dimension permettant ainsi le calcul de probabilités avec densités et fonctions de répartition (rappel sur la fonction

Gamma et les intégrations par parties).

Le Chapitre4 insiste sur les variables aléatoires discrètes à deux dimensions. Les tableaux de contingence sont étudiés à travers la notion dindépendance notamment; il en est de même pour les courbes de régression, les probabilités conditionnelles et espérances conditionnelles. Le Chapitre 5 sintéresse aux variables aléatoires continues à deux dimensions et permet de sentrainer au calcul de probabilités jointes ou conditionnelles avec intégrales doubles. Le Chapitre6 est consacré aux lectures des tables statistiques relatives aux lois conti- nues: lois Normale, Khi-Deux, Student, Fisher-Snedecor. La question de la construc- tion des lois continues est abordée. Le Chapitre7 sur la convergence en loi explique les conditions pour lesquelles certaines variables aléatoires (Binomiale ou Poisson) convergent vers la loi Normale.

VIII Inférence statistique et probabilités

Le Chapitre8 sur les distributions déchantillonnage montre comment on peut associer à certaines statistiques issues déchantillons empiriques une loi de probabilité a n de résoudre des problèmes concrets portant sur les moyennes, les variances, les écart- types et les proportions. Le Chapitre9 sintéresse à la méthode du maximum de vraisemblance. Lutilisation

de certaines lois de probabilité nécessite lestimation dun ou plusieurs paramètres. La

méthode du maximum de vraisemblance permet de trouver des estimateurs pour ces paramètres inconnus et de véri er leur qualité.

Le Chapitre10 développe les tests du khi-deux dhomogénéité et dindépendance. Ces

tests montrent la liaison existante ou non entre deux échantillons ou deux variables aléatoires. Il porte également sur les tests du khi-deux dadéquation qui permettent de véri er que les données observées sadaptent bien à une loi initialement dé nie. Le Chapitre11 explique en n la construction des intervalles de con ance et des tests dhypothèses (signi cation et comparaison). Ce livre sadresse aux étudiants des facultés déconomie, de gestion, de sciences, décoles de commerce et dingénieurs qui veulent approfondir la Statistique Inféren- tielleà partir de cas pratiques. Mais noublions pas aussi les chercheurs, les économistes

dentreprise qui, confrontés à des problèmes déchantillonnage et de tests statistiques,

peuvent trouver des réponses pratiques aux questions quils se posent. 1

ALGÈBRE DE BOOLE ET RAPPELS

SUR LE CALCUL DES PROBABILITÉS

SOMMAIRE

Fiche de synthèse 2

Exercice 1: Détermination dune algèbre de Boole minimale 3 Exercice 2: Détermination dune algèbre de Boole minimale 7 Exercice 3: Déduire la bonne algèbre de Boole 10 Exercice 4: Calculs de probabilités élémentaires 10 Exercice 5: Calculs de probabilités élémentaires 13

Exercice 6: Remarque sur lintersection 14

Exercice 7: Calculs de probabilités conditionnelles 15 Exercice 8: Calculs de probabilités conditionnelles 16

2 Algèbre de Boole et rappels sur le calcul des probabilités

Ce chapitre dé nit le concept dAlgèbre de Boole et rappelle les principaux résultats à connaître dans le domaine des probabilités. Nous montrons comment la plus petite Algèbre de Boole peut être construite à partir dune famille de parties donnée. Cette notion est importante à comprendre car en statistique inférentielle, nous travaillons

dans le contexte dune Algèbre de Boole probabilisée. La méthode de calcul est dabord

expliquée. Puis les principaux axiomes du calcul des probabilités sont abordés.

FICHE DE SYNTHÈSE

Notations

F: famille de parties

: univers

A et B: deux parties (sous-ensembles) de

Algèbre de Boole

Propriété 1 (P1): F est fermée (stable) par rapport à la complémentation relativement à : A , si A F, alors A F. Propriété 2 (P2): F est fermée (stable) par rapport à lunion nie:quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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