[PDF] [PDF] Théorie du signal Exercices corrigés 6 - Laurent Oudre

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Th´eorie du signal

Exercices corrig´es 6 : Echantillonnage et reconstruction Universit´e Paris 13, Institut Galil´ee, Ecole d"ing´enieurs Sup Galil´ee Parcours T´el´ecommunications et R´eseaux - 1 `ereann´ee

2019-2020

Exercice 1

On consid`ere un signalx(t) dont la transform´ee de Fourier est

X(f) =?

1 pour|f|<2 Hz

0 sinon

On souhaite ´echantilloner ce signal grˆace `a un ´echantillonneur id´eal de fr´equence d"´echantillonnageFe. Tracer

l"allure du spectre du signal ´echantillonn´eXe(f) pour

1.Fe= 5 Hz

2.Fe= 4 Hz

3.Fe= 3 Hz

Exercice 2

On consid`ere un signalx(t) dont la transform´ee de Fourier est trac´ee ci-dessous

Frequency (Hz)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

ReX(f)

-1.5-1-0.500.511.522.5

Frequency (Hz)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

ImX(f)

-1.5-1-0.500.511.522.5

1. Ecrire l"´equation deX(f)

2. En d´eduire l"´equation dex(t). Quelle est sa p´eriode fondamentaleT?

3. Calculer l"´energie totale et la puissance moyenne dex(t)

4. Quelle est la fr´equence d"´echantillonnage minimaleFequ"on l"on peut choisir afin de respecter le crit`ere

de Nyquist ?

5. On choisitFe= 10 Hz.

(a) Tracer l"allure du spectreXe(f) obtenu apr`es ´echantillonnage id´eal. (b) Comment peut-on reconstruirex(t) `a partir dexe(t) ?

6. On choisitFe= 3 Hz.

Laurent Oudre1

(a) Tracer l"allure du spectreXe(f) obtenu apr`es ´echantillonnage id´eal. (b) Quelles sont les fr´equences qui apparaissent dans la bande?-Fe

2,+Fe2??

(c) Quel est l"expression du signal ˆx(t) reconstruit par filtrage passe-bas ? (d) Calculer sa puissance moyenne

Exercice 3

1. On consid`ere les signaux

?(t) =1 ?rect?t-? 2 et Δ ?(t) =Te+∞? n=-∞δ ?(t-nTe) t -3Te-2Te-Te0?+Te+2Te+3Te

1/?δ?(t)

t -5Te-4Te-3Te-2Te-Te0 +Te+2Te+3Te+4Te+5Te Te/?

Te+∞?

k=-∞δ ?(t-kTe) (a) Calculer la transform´ee de Fourier du signalδ?(t) (b) Calculer la transform´ee de Fourier du signal Δ ?(t)

2. On consid`ere un signalx(t) v´erifiant le crit`ere de Nyquist. On souhaite ´echantillonner ce signal grˆace `a

un ´echantillonneur suiveur qui transforme le signalx(t) en un signalxs(t). Le signal ´echantillonn´exs(t)

recopiex(t) entrekTeetkTe+? t -5Te-4Te-3Te-2Te-Te0 +Te+2Te+3Te+4Te+5Te

00.10.20.30.40.50.60.70.80.91

x(t) t -5Te-4Te-3Te-2Te-Te0 +Te+2Te+3Te+4Te+5Te

012345678910

xs(t)

(a) Exprimerxs(t) `a partir dex(t) et Δ?(t). Donner le sch´ema bloc mod´elisant cet ´echantillonneur.

(b) En d´eduire le spectreXs(f) de ce signal ´echantillonn´e (c) Que se passe-t-il quand?→0 ?

(d) Comment pourrait-on reconstruire le signalx(t) `a partir dexs(t) ? Cette reconstruction sera-t-elle

parfaite ?

3. On consid`ere un signalx(t) v´erifiant le crit`ere de Nyquist. On souhaite ´echantillonner ce signal grˆace `a

un ´echantilloneur bloqueur qui transforme le signalx(t) en un signalxb(t). Le signal ´echantillonn´exb(t)

recopiex(kTe) entrekTeetkTe+?

Laurent Oudre2

t -5Te-4Te-3Te-2Te-Te0 +Te+2Te+3Te+4Te+5Te

00.10.20.30.40.50.60.70.80.91

x(t) t -5Te-4Te-3Te-2Te-Te0 +Te+2Te+3Te+4Te+5Te

012345678910

xb(t) (a) Donner l"expression du signalxe(t) obtenu par ´echantillonnage id´eal

(b) Exprimerxb(t) `a partir dexe(t) etδ?(t). Donner le sch´ema bloc mod´elisant cet ´echantillonneur.

(c) En d´eduire le spectreXb(f) de ce signal ´echantillonn´e (d) Que se passe-t-il quand?→0 ?

(e) Comment pourrait-on reconstruire le signalx(t) `a partir dexb(t) ? Cette reconstruction sera-t-elle

parfaite ?

Exercice 4

Un syst`eme d"´echantillonnage suivi d"une reconstruction est illustr´e par la figure suivante.

Te+∞?

n=-∞δ(t-nTe) avecTe= 5 ms h(t)x(t)xe(t)ˆx(t)

On souhaite ´echantillonner grˆace `a cet ´echantillonneur le signalx(t), dont la transform´ee de FourierX(f)

(suppos´ee r´eelle) est donn´ee ci-dessous.

Frequence (Hz)

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 X(f)

00.511.522.53

Laurent Oudre3

1. Caract´eriser l"´echantillonneur utilis´e et donner sa fr´equence d"´echantillonnageFe.

2. Tracer la transform´ee de FourierXe(f) du signal ´echantillonn´e pourf?[-200,200]

3. Donner l"expression du filtre que l"on doit utiliser pour reconstruireparfaitement le signalx(t) `a partir de

x e(t)

4. Tracer la transform´ee de Fourier du signal

ˆX(f) apr`es reconstruction

Laurent Oudre4

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