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PLAN DU COURS • Introduction générale; • Chapitre I: Rappel sur les différentes lois de probabilité; • Chapitre II: Théorie d'échantillonnage;
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On veut étudier les propriétés d'un caract`ere C d'une population `a partir de ses valeurs sur un ou plusieurs échantillons Estimation ponctuelle Pour estimer
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Échantillonnage et estimation 3 1 Introduction La théorie de l'échantillonnage étudie les liens entre une population et des échantillons de cette popu-
Echantillonnages
et estimations M lle .TOUATES. 1M.AITOUDRA M.
PLAN DU COURS
Introduction générale;
Chapitre I: Rappel sur les différentes lois de probabilité;Chapitre II: Théorie d'échantillonnage;
Chapitre III: Estimation ponctuelle;
Chapitre IV: Estimation par intervalle de confiance;Chapitre V: Théorie des tests
2BIBLIOGRAPHIE INDICATIVE
"Statistiques pour l'économie et la gestion» Anderson,Sweeneyet Williams;
"Eléments de statistique d'aide à la décision: cours et exercices résolus» par M.ELHAFIDI et D.TOUIJAR;
enpopulationsfinies»parYvesTillé; 3 4 statistique consisteàtraiteretinterpréterles informationsrecueillies.Elle comporte deux grands aspects: l'aspect
descriptif ou exploratoire et l'aspect inférentielou décisionnel. 5Introduction générale
Probabilité (S2): théorie mathématique permettant de modéliser des phénomènes où le hasard intervient et d´écrire des expériences aléatoires. 6Introduction générale
échantillon.
7Introduction générale
l'ensembledelapopulation. 8Introduction générale
échantillon).
9Introduction générale
tropimportant(coûtettemps); populationindéfinie) 10Introduction générale
lapopulation(représentatif)dontonva 11Introduction générale
peuvent-ilsêtreestimésàpartirde l'échantillon?(estimation) 12Introduction générale
deconduiredesanalyses.Méthodedesquotas;
Échantillonnagealéatoire;
Échantillonnageauhasardsimple;
Échantillonnagestratifié;
Échantillonnagepargrappe;...
13 (techniquedéchantillonnage,chapitre2) provenantd'unepopulationdeloide surcettepopulation:quelleestsaloi (problèmed'estimation,chapitre3et4), aumieuxlerisquedesetromper(problème detestchapitre5). 14Introduction générale
tirerdesconclusionsausujetd'untouteny examinantunepartie.Ilnouspermetd'estimer descaractéristiquesd'unepopulationen l'ensembledelapopulation. 15CHI:LOIS USUELLES CONTINUES
Loi normale très utilisée en statistique inférentielle; Importante = une loi approchée par de nombreux phénomènes naturels;Dépend de deux paramètres;
Elle est symétrique.
16ChI: LOIS USUELLES CONTINUES
I.LOI NORMALE
A.Loi normale générale
a. Définition On dit qu'une v.a.rX suit une loi Normale de paramètres et si: 17ChI: LOIS USUELLES CONTINUES
b. Espérance et Variance: c. Caractéristiques: 18ChI: LOIS USUELLES CONTINUES
decetaxedesymétriefatteintsonmaximumlorsquex=
19ChI: LOIS USUELLES CONTINUES
Remarque:La loi Normale générale n'est pasTabulée
B. La loi Normale Centrée et Réduite:
a. Variable Centré et Réduite:Soit X une v.a:
S'appelle Variable Centrée.
S'appelle Variable Centrée et Réduite.
20ChI: LOIS USUELLES CONTINUES
Si une V.A suit une loi normale générale, il est difficile de calculer sa fonction de répartition F(x).Pour tous les calculs, on se ramène à la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite (une loi TABULEE).
Centrer et réduire une variable, c'est raisonner en nombre d'écart type par rapport à la moyenne.
21ChI: LOIS USUELLES CONTINUES
type1E(U)= 0
V(U)= 1
centréeréduite: 22ChI: LOIS USUELLES CONTINUES
b. Théorèmes siQuelle est la loi de Y=a X+b?
ALORS 23Chapitre I (suite)
Sachant que X1 et X2 sont indépendant,
quelle est la loi de X= aX1+bX2 ?Conclusion
24Chapitre I (suite)
Exercice
Soit . Donner la loi de probabilité de Soit .Donner la loi de probabilité de X1 et X2 sont indépendantes
25Chapitre I (suite)
C.ThéorémeCentral Limit(T.C.L)
LeTCLseratrèsprécieuxpuisqu'ilnous
expliquentquesionfaitlasommed'untrès quelquonque,cettesommesuit approximativementuneloinormale. 26Chapitre I (suite)
Soit avec (n) variables aléatoires identiquement distribuées et indépendantes.Alors:
suit une loi Normale de paramètres
27Chapitre I (suite)
D. Calcul des probabilités
a. fonction de répartition deSoit et
Alors la fonction de répartition est notée AvecCette fonction est Tabulée
28Chapitre I (suite)
29Chapitre I (suite)
La lecture de la table
•Elle donne la valeur deconnue •Elle donne la valeur de (u) pour connueEXEMPLE
•Pour les valeurs négatives •Pour les valeurs inférieures à 0,5, on utilise la symétrie de la distribution 30Chapitre I (suite)
Pour certaines valeurs qui ne figurent pas sur la table, on utilise l'intérpolationlinéaire 31Chapitre I (suite)
Exercices d'applications
Exercice1
Soit
Calculer
d'Ecarttype100. 650,plusde746,moinsde500,entre550et600 32
Chapitre I (suite)
Exercice II
variablenormale(X).Onconsidèredeux ouvriersAetBtravaillentindépendamment l'unedel'autre. •PourA •PourB 33Chapitre I (suite)
avantB,lapremièreunitéproduite?ExerciceIII
Calculer
DéterminerlavaleurdeU
34Expliquer les caractéristiques d'une loi NORMALE; 35
Chapitre I (suite)
II. Loi de khi-deux(Loi de Karl Pearçon)
a. Théorème SoitU 1 ,U 2 ...,U v unesuitede(v)variablesNormalesXsuituneloidechideux
x 2à(v)dégréedeliberté.
36Chapitre I (suite)
(v représente le paramètre) X= x 2 (v) b.Caractéristiquesde la distribution de x 2 (v)La distribution x
2(v) est dissymétrique pour les petites valeurs de (v)La distribution x
2(v) commence à devenir symétrique à partir v=30 37Chapitre I (suite)
c. L'espérance et la variance X=x 2 (v)E(X)= v
V(X)= 2v
Exemple
X=x 2 (10) E(x 2 (10) )= 10 V(x 2 (10) )= 2 ×10 X= x 2 (5) E(x 2 (5) )= 5 V(x 2 (5) )= 2 ×5 38Chapitre I (suite)
d. Comportement asymétrique (Approximation) •Approximation de Fisher: •Approximation générale:Si ǀш101 alors:
39Chapitre I (suite)
e. Lecture de table de x 2 (v)Latablex
2 (v) donnelesvaleursdelaV.Ax 2 (v)Elledonne:
-Laprobabilitéɲsix 2 (v) et(v)sontconnus -Lavaleurdex 2(v) siɲet(v)sontconnus. 40Chapitre I (suite)
Exercices d'application
ExerciceI
Détermineralavaleurde(k)danschacundes
cassuivants: •P(x 2 (17) >k)=0,25 •P(x 2 (24) >k)=0,01 •P(x 2 (29)Chapitre I (suite)
Exercice 2:
1-Calculer le quantile d'ordre 10% pour la V.A x
2 (10)2-Déterminer la médiane de x
2 (15)Exercice 3:
Déterminer les valeurs k
1 etk 2 dans chacune d des eux cas suivants:P(k
1Chapitre I (suite)
estnoté(q )avec:P(XAutrement dit: 43
Chapitre I (suite)
Exercice
4 En utilisant l'approximation de Fisher. Calculer la valeur de k 1 telle que: P( x 2 (60)0,8413 Exercice
5:Soit X= x
2 (200)Calculer la valeur de k telle que:
P(X>k)=0,0708
44
Chapitre I (suite)
III. Loi de Student(William SealyGosset)
a.DéfinitionSoit U=N(
0,1) et X= x
2 (v)Avec Uet X sont indépendantes
Alors:
Suit une loi studentà (v)degré de liberté.Notation:T = stud
(v) 45
Chapitre I (suite)
b. Espérance mathématique et varianceSoit T = stud
(v)E(T)= 0 (existe si v>1)
V(T)=(existe si v>2)
c. Comportement asymétriqueSoit T = stud
(v)Si (v) tend vers l'infinialors T tend vers N(0,1)
46
Chapitre I (suite)
Remarque
La loi de Studentest généralement utilisée pour les petits échantillons lorsque la variance de la population est inconnue. 47
Chapitre I (suite)
IV. Loi de Fisher-Snédécor
a.Définition X 1 = x 2 (v1) et X 2 = x 2 (v2) X 1 et X 2 deux variables indépendantesAlors la variable:
Suit une loi de Fisher de paramètres v
1 et v 2 notée 48
Chapitre I (suite)
Remarque
La distribution de Fisher, comme celle de x
2 n'est pas symétrique. b. Règle empirique de FisherAvecest telle que:
49
Chapitre I (suite)
LatabledonnelesvaleursdeFpouravecla
règleempirique: 50
CHII:ECHANTILLONNAGE
I-Définitions
a-Population 51
CHII (suite)
-Paramètresdelapopulation:Cesontles statistiqueMoyennedelapopulation(µ)=E(X);
Variancedelapopulation(ʍ
2 )=V(X);Proportiondelapopulation=P
bEchantillon
ou"populationéchantillonnée» 52
àunequestionconcernantunepopulation.
Exemple1:
53
Exemple 2:
Pourestimerlenombremoyendekilomètres
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