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Exercices corrig´es 6 : Echantillonnage et reconstruction Universit´e Paris 13, Institut Galil´ee, Ecole d"ing´enieurs Sup Galil´ee Parcours T´el´ecommunications et R´eseaux - 1 `ereann´ee2019-2020
Exercice 1
On consid`ere un signalx(t) dont la transform´ee de Fourier estX(f) =?
1 pour|f|<2 Hz
0 sinon
On souhaite ´echantilloner ce signal grˆace `a un ´echantillonneur id´eal de fr´equence d"´echantillonnageFe. Tracer
l"allure du spectre du signal ´echantillonn´eXe(f) pour1.Fe= 5 Hz
2.Fe= 4 Hz
3.Fe= 3 Hz
Exercice 2
On consid`ere un signalx(t) dont la transform´ee de Fourier est trac´ee ci-dessousFrequency (Hz)
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5ReX(f)
-1.5-1-0.500.511.522.5Frequency (Hz)
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5ImX(f)
-1.5-1-0.500.511.522.51. Ecrire l"´equation deX(f)
2. En d´eduire l"´equation dex(t). Quelle est sa p´eriode fondamentaleT?
3. Calculer l"´energie totale et la puissance moyenne dex(t)
4. Quelle est la fr´equence d"´echantillonnage minimaleFequ"on l"on peut choisir afin de respecter le crit`ere
de Nyquist ?5. On choisitFe= 10 Hz.
(a) Tracer l"allure du spectreXe(f) obtenu apr`es ´echantillonnage id´eal. (b) Comment peut-on reconstruirex(t) `a partir dexe(t) ?6. On choisitFe= 3 Hz.
Laurent Oudre1
(a) Tracer l"allure du spectreXe(f) obtenu apr`es ´echantillonnage id´eal. (b) Quelles sont les fr´equences qui apparaissent dans la bande?-Fe2,+Fe2??
(c) Quel est l"expression du signal ˆx(t) reconstruit par filtrage passe-bas ? (d) Calculer sa puissance moyenneExercice 3
1. On consid`ere les signaux
?(t) =1 ?rect?t-? et Δ ?(t) =Te+∞? n=-∞δ ?(t-nTe) -3Te-2Te-Te0?+Te+2Te+3Te1/?δ?(t)
-5Te-4Te-3Te-2Te-Te0 +Te+2Te+3Te+4Te+5Te Te/?Te+∞?
k=-∞δ ?(t-kTe) (a) Calculer la transform´ee de Fourier du signalδ?(t) (b) Calculer la transform´ee de Fourier du signal Δ ?(t)2. On consid`ere un signalx(t) v´erifiant le crit`ere de Nyquist. On souhaite ´echantillonner ce signal grˆace `a
un ´echantillonneur suiveur qui transforme le signalx(t) en un signalxs(t). Le signal ´echantillonn´exs(t)
recopiex(t) entrekTeetkTe+? -5Te-4Te-3Te-2Te-Te0 +Te+2Te+3Te+4Te+5Te00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
x(t) -5Te-4Te-3Te-2Te-Te0 +Te+2Te+3Te+4Te+5Te012345678910
xs(t)(a) Exprimerxs(t) `a partir dex(t) et Δ?(t). Donner le sch´ema bloc mod´elisant cet ´echantillonneur.
(b) En d´eduire le spectreXs(f) de ce signal ´echantillonn´e (c) Que se passe-t-il quand?→0 ?(d) Comment pourrait-on reconstruire le signalx(t) `a partir dexs(t) ? Cette reconstruction sera-t-elle
parfaite ?3. On consid`ere un signalx(t) v´erifiant le crit`ere de Nyquist. On souhaite ´echantillonner ce signal grˆace `a
un ´echantilloneur bloqueur qui transforme le signalx(t) en un signalxb(t). Le signal ´echantillonn´exb(t)
recopiex(kTe) entrekTeetkTe+?Laurent Oudre2
-5Te-4Te-3Te-2Te-Te0 +Te+2Te+3Te+4Te+5Te00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
x(t) -5Te-4Te-3Te-2Te-Te0 +Te+2Te+3Te+4Te+5Te012345678910
xb(t) (a) Donner l"expression du signalxe(t) obtenu par ´echantillonnage id´eal(b) Exprimerxb(t) `a partir dexe(t) etδ?(t). Donner le sch´ema bloc mod´elisant cet ´echantillonneur.
(c) En d´eduire le spectreXb(f) de ce signal ´echantillonn´e (d) Que se passe-t-il quand?→0 ?(e) Comment pourrait-on reconstruire le signalx(t) `a partir dexb(t) ? Cette reconstruction sera-t-elle
parfaite ?Exercice 4
Un syst`eme d"´echantillonnage suivi d"une reconstruction est illustr´e par la figure suivante.
Te+∞?
n=-∞δ(t-nTe) avecTe= 5 ms h(t)x(t)xe(t)ˆx(t)On souhaite ´echantillonner grˆace `a cet ´echantillonneur le signalx(t), dont la transform´ee de FourierX(f)
(suppos´ee r´eelle) est donn´ee ci-dessous.Frequence (Hz)
-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 X(f)00.511.522.53
Laurent Oudre3
1. Caract´eriser l"´echantillonneur utilis´e et donner sa fr´equence d"´echantillonnageFe.
2. Tracer la transform´ee de FourierXe(f) du signal ´echantillonn´e pourf?[-200,200]
3. Donner l"expression du filtre que l"on doit utiliser pour reconstruireparfaitement le signalx(t) `a partir de
e(t)4. Tracer la transform´ee de Fourier du signal
ˆX(f) apr`es reconstruction
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