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Reproduction d'un objet à l'échelle.

1. Echelle.

a. Définition. b. Calculer une échelle. c. Exemple de calculs. d. Agrandissement / reproduction aux dimensions réelles / réduction. e. Utilisation d'échelle.

2. Effet d'une échelle sur les aires et les volumes.

a. Sur les aires b. Exemples. c. Sur les volumes d. Exemples.

3. Section d'une pyramide et d'un cône par un plan parallèle à sa base.

a. Découverte. b. Conséquence. c. Applications.

4. Exercices divers.

Echelle.

1. Définition : voir cours proportionnalité 5ème.

a. Deux objets sont à l'échelle quand leurs longueurs correspondantes sont dans un rapport de proportionnalité. Exemple : soit deux rectangles dont le tableau ci-dessous donnent les longueurs et largeurs.

Longueur Largeur

Rectangle 1 28 cm 38 cm

Rectangle 2 98 cm 133 cm

2 1 n n 7 2 98
28=
7 2 133
38=
Longueurs et largeurs sont dans la même proportion, ces deux rectangles sont dans un rapport d'échelle. b. Calcul de l'échelle : e.

Une échelle fait la plupart du temps intervenir un objet de référence dont on fait une représentation :

Un terrain dont on fait une carte, un bâtiment dont on fait une maquette, etc... Nous noterons distances réelles les distances relatives à l'objet de référence. réelledist onreproductilasurdiste c. Exemple de calcul d'échelle : n°1 :10 cm sur une carte représentent 2 km dans la réalité.

10. 10.

2. 200000.

10

200000

1 20000
cm cme km cm e e= = n°2 : Une bactérie de 8µm est représentée par une photo de 4cm. 4 40 8 8

40000 40000 5000

8 8 1 cm mmeµm µm

µmeµm= == = =

IMPERATIVEMENT les mêmes unités en numérateur et dénominateur ! Seul le fait d'avoir la même unité permet d'arriver à un rapport de proportionnalité interprétable : les distances réelles sont 20 000 fois plus grandes que les distances sur la carte Les distances sur la carte sont 20 000 fois plus petites que les distances réelles. Seul le fait d'avoir la même unité permet d'arriver à un rapport de proportionnalité interprétable : la photographie est un agrandissement de 5 000 d. Agrandissement / reproduction aux dimensions réelles / réduction. b

ae= Si a < b : Réduction. Si a = b : dimensions réelles. Si a > b : agrandissement.

e. Utilisation d'échelle : • Exemple 1 : Sur une carte à l'échelle 50000

1=e : deux villes sont séparées de 15cm.

Calculons la distance réelle entre ces deux villes. kmcmcmréelledréelled cm réelled cartede.5,7.7500005000015. .15 50000

1==×=?===

• Exemple 2 : Quelle est la distance sur une carte à l'échelle 250000

1entre deux villes

distantes de 108 km ?

1 . . 108. 10800000.. 43,2.250000 . 108. 250000 250000

d carte d carte km cme d carte cmd réelle km= = =?= = =

2. Effet d'une échelle sur les aires et les volumes.

a) Sur les aires : Une aire se calcule toujours à partir du produit de deux longueurs.

Carré :

cc× Rectangle :Ll× Triangle : 2 hauteurbase× Disque : rr××π etc ... Prenons le cas d'un carré de côté C. Son aire vaut :

²CA=

Prenons maintenant une représentation de ce carré à l'échelle b ae=

Notons par C'et 'Ason côté et son aire.

b aCC C C b ae=?==''. Son aire vaut alors : 222

2''Cba

baCCA×)

Calculons maintenant la proportion :'A

A 22

22
2'eba CC ba A A=)

Conclusion : Le rapport de proportionnalité entre les aires n'est pas le même que celui entre les

longueurs ! Il est égal au carré de celui entre les longueurs. En résumé : si les longueurs d'un objet sont multipliées (ou divisées) par un nombrek, alors ses aires le sont par 2k. b) Exemples : • n°1 : Sur un plan à l'échelle5000

1, une parcelle agricole a la forme d'un rectangle de 4,2 cm sur

6,5 cm. Quelle est l'aire de la parcelle agricole ?

D'après l'échelle, les longueurs de la parcelle sont 5000 fois plus grandes que celles du plan. Son

aire sera donc

25000 fois plus grande.

Aire du rectangle sur le plan : ².3,27.5,6.2,4 cmcmcma=×=

Aire de la parcelle :

227,3 5000A= ×cm²

2.68250

².682500000².250000003,27

mA cmAcmA • n°2 : La lune a un rayon de 1 736 km et la Terre de 6 370 km. Combien de fois l'aire de la Terre est-elle plus grande que l'aire de la Lune ?

Calculons la proportion

669,317366370

..≈=LunerayonTerreRayon

On a donc : ..669,3.LunerayonTerreRayon

Conclusion :

L'aire terrestre est dans les 13,46 fois plus grande que l'aire de la Lune. Si on utilise les valeurs des aires fournies par des données astronomiques :

Aire Terre:

².510067420kmAT= Aire Lune: ².37871220kmAL=

46,1337871220510067420≈=

LTAA. c) Effet d'une échelle sur les volumes. Un volume se calcule toujours à partir du produit de trois longueurs.

Pavé droit : hLl

×× Cylindre : hrr×××π etc ...

Prenons le cas d'un pavé droit de dimensionhetLl.., . Son volume V vaut : hLlV Prenons une représentation de ce pavé droit à l'échelle b ae=.

Notons ',','hLlses dimensions :

b all=' b aLL=' b ahh='

Son volume 'Vvaut : VbaHLlba

ba ba bah baL balhLlV×) 3 La proportion entre les volumes vaut donc : 333'eba VV ba V V=)

Conclusion : Le rapport de proportionnalité entre les volumes n'est pas le même que celui entre

les longueurs ! Il est égal au cube de celui entre les longueurs. En résumé : si les longueurs d'un objet sont multipliées (ou divisées) par un nombrek, alors son volume l'est par 3k. d) Applications :

• n°1 : Avec une bouteille donnée, tu remplis 8 verres identiques. Combien de verres remplis-tu

avec une bouteille qui est un agrandissement de la précédente à l'échelle 1 2 ? Le nombre de verres remplis est une fonction du volume de la bouteille. Si on suppose proportionnalité entre le nombre de verres et le volume :

Comme les longueurs de la 1

ère bouteille sont multipliées par 2 : son volume l'est par 823=.

On peut donc remplir : 6488

=×verres avec la seconde bouteille. n°2 : La lune a un rayon de 1 736 km et la Terre de 6 370 km. Combien de fois le volume de la Terre est-il plus grande que le volume de la Lune ?

Calculons la proportion

669,317366370

..≈=LunerayonTerreRayon

On a donc : ..669,3.LunerayonTerreRayon

Conclusion :

33,669 49Terrestre Lune LuneVolume Volume Volume≈ × ≈ ×

Le volume terrestre est dans les 49,39 fois plus grande que le volume de la Lune. Si on utilise les valeurs des volumes fournies par des données astronomiques :

Volume Terre:

312.1008321,1kmVT×= Volume Lune: 310.101958,2kmVL×=

12

101,08321 10492,1958 10

T LV

V×= ≈×.

• n°3 : Biologie. Les organismes à T° constante régulent leur T° par différents mécanismes.

Pour que cette T° reste constante, les apports doivent exactement compenser les pertes. Supposons deux organismes théoriques de forme cubique : le 1 er de 3 cm de côté et le second de

30 cm de côté. Nous supposerons qu'ils pèsent chacun 1g/cm

3. Nous supposerons de même que les apports énergétiques doivent couvrir les deux besoins suivants :

1) les besoins internes liés à leur physiologie : 1 calorie par seconde et par gramme.

2) les besoins liés aux compensations des pertes de chaleurs avec l'extérieure : les pertes sont de 1

calorie par cm² et par seconde. a) Calculer les apports énergétiques en calorie par seconde pour chaque organisme b) Exprimer dans chaque cas le % que les pertes représentent par rapport aux apports

énergétiques.

c)

Le tableau suivant donne les besoins

de bases de certains organismes par unité de masse en Watt (comme les ampoules !)

1 Watt = 1 Joule / seconde

1 calorie = 4,18 Joule.

Expliquer pourquoi plus un organisme est

petit* plus ses besoins / unité de masse sont grands. * : valable pur les organismes homéothermes endothermes.

Espèce Poids (kg)Watt par kg

Souris 0,02

10,00

Rat 0,2824,79

Cobaye 0,414,15

Poule 23,45

Lapin 2,982,45

Chat 32,67

Chien 152,47

Mouton 46,41,31

Homme 641,55

Porc 1280,92

Cheval 4410,55

Vache 6000,64

Résumé :

Si les longueurs d'un objet sont multipliées par un nombre k : son aire est multipliée par 2k son volume par 3k O S A MB D N

4. Section des pyramides et des cônes par un plan parallèle à la base.

a. Généralités : Considérons une pyramide de sommet S, de hauteur [SO]. [SA] est une arête de la pyramide. D est un point quelconque du polygone de base. Coupons-là par un plan parallèle à sa base, plan passant par le point M de la hauteur [SO]. L'arête [SA] sera coupée en un point noté B. [SD] est coupée en N. La fig. centrale et celle de droite donnent les vue isolées dans les plans SAO et SOD O S A MB O S M D N

Comme le plan de coupe est parallèle à la base de la pyramide, (BM) est parallèle à (OA) de même que

(MN) et (OD). On peut donc appliquer le théorème de Thalès dans les triangles SBM et SOA ainsi que

dans les triangles SMN et SOD OA BM SO SM SA

SB== et

OD MN SO SM SD SN==

Finalement :

OD SM OD MN OA MB SD SN SA

SB====

Les longueurs de la partie supérieure et les longueurs de la grande pyramide sont proportionnelles entre

elles. La partie supérieure de la section est donc elle-même une pyramide qui est une réduction de la

grande à l'échelle : SO SMe= O S A M B Il en est de-même avec la section d'un cône (de sommet S et de centre O) par un plan parallèle à sa base qui le couperait en un point M de sa hauteur [SO]. La partie supérieure est alors une réduction du cône de départ à l'échelle : SO SMe= O S A MB D N O S A M B O S A MB D

L'essentiel :

b. Conséquence :

Si on note par aet Ales aires de base et par vet Vles volumes respectivement de la section et du grand

solide, d'après les effets d'une échelle sur ces grandeurs, on a : 2 ((=SOSM Aa et 3 ((=SOSM Vv c. Applications :

1) On coupe une pyramide de base carrée de côté c = 80 cm et de

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