[PDF] Polynômes du second degré - algorithme pour déterminer les

View - Download Polynômes du second degré - algorithme pour déterminer les

Previous PDF

Next PDF

Première S2 TP Info : Polynômes du second degré 2010-2011 Algorithme pour déterminer les solutions d"une équation du second degré 1 On se propose d"écrire un algorithme permettant de déterminer des valeurs approchées des solutions (éventuelles) d"une équation du second degré et d"implémenter cet algorithme avec AlgoBox ou sur une calculatrice scientifique. On considère le polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c. On se propose de résoudre l"équation P(x) = 0

1) Ecriture de l"algorithme

a) Quels sont les paramètres en entrée de l"algorithme ? b) A l"aide de quelle structure algorithmique, peut-on traiter la discussion sur le de nombre de solutions de l"équation ? c) Proposer un algorithme répondant au problème posé.

2) Implémentation sous AlgoBox

a) Implémenter l"algorithme proposé à l"aide d"AlgoBox b) Le tester pour résoudre les équations suivantes :

· 3x² + 9x - 30 = 0

· x² + 3x - 2 = 0

· 3x² + x + 2 = 0

· 49x² - 14x + 1 =0

Quelle est la différence pour les solutions obtenues pour la première équation par rapport à celles de la deuxième équation ou la quatrième équation ? c) Donner les solutions réelles exactes des équations ayant des solutions.

3) Implémentation de l"algorithme sur une calculatrice graphique

a) Implémenter l"algorithme sur une calculatrice programmable. b) Tester le programme avec les mêmes équations que dans la question 2) b).

4) Comparaison avec un logiciel de calcul formel

Résoudre les équations précédentes à l"aide du logiciel XCas et de la commande resoudre et expliquer les différences obtenues avec AlgoBox ou la calculatrice.

4) Prolongement possible

Expliquer comment adapter l"algorithme précédent pour déterminer les valeurs exactes d"une équation de la forme ax² + bx + c = 0 dans le cas où a, b et c sont des entiers.

Première S TP Info : Polynômes du second degré Algorithme pour déterminer les solutions d"une équation du second degré

CORRECTION

2

1) a) Les paramètres en entrée de l"algorithme sont les trois coefficients a, b et c.

b) Le nombre de solutions de l"équation du second degré dépend du signe du discriminant. On détermine le nombre de solutions de l"équation à l"aide d"une structure : "Si .... alors .... Sinon ..... finSi" c) Début algorithme équation second degré

Données : a, b ,c : paramètres

delta : discriminant de l"équation x1,x2 : les solutions éventuelles de l"équation

Traitement

Lire a,b,c

delta = b*b - 4*a*c

Si delta < 0 alors

afficher "Pas de solution" sinon

Si delta = 0 alors

x1 prend la valeur -b/2/a

Afficher "une solution double : " + x1

sinon x1 prend la valeur (-b - racine(delta))/2/a x2 prend la valeur (-b + racine(delta))/2/a Afficher "deux solutions distinctes " + x1 + " et " + x2 finsi finsi fin algorithme

Première S TP Info : Polynômes du second degré Algorithme pour déterminer les solutions d"une équation du second degré

CORRECTION

3

2) a)

resolution_equation_second_degre - 08.08.2010 Algorithme qui résout (en donnant des valeurs approchées des solutions éventuelles) une équation du second degré de la forme ax² + bx + c = 0 où a, b et c sont des coefficients réels.

1 VARIABLES

2 a EST_DU_TYPE NOMBRE

3 b EST_DU_TYPE NOMBRE

4 c EST_DU_TYPE NOMBRE

5 delta EST_DU_TYPE NOMBRE

6 x1 EST_DU_TYPE NOMBRE

7 x2 EST_DU_TYPE NOMBRE

8 DEBUT_ALGORITHME

9 LIRE a

10 LIRE b

11 LIRE c

12 delta PREND_LA_VALEUR b*b-4*a*c

13 SI (delta<0) ALORS

14 DEBUT_SI

15 AFFICHER "Pas de solution"

16 FIN_SI

17 SINON

18 DEBUT_SINON

19 SI (delta==0) ALORS

20 DEBUT_SI

21 x1 PREND_LA_VALEUR -b/2/a

22 AFFICHER "Une solution réelle double : "

23 AFFICHER x1

24 FIN_SI

25 SINON

26 DEBUT_SINON

27 x1 PREND_LA_VALEUR (-b - sqrt(delta))/2/a

28 x2 PREND_LA_VALEUR (-b + sqrt(delta))/2/a

29 AFFICHER "Deux solutions réelles : "

30 AFFICHER x1

31 AFFICHER " et "

32 AFFICHER x2

33 FIN_SINON

34 FIN_SINON

35 FIN_ALGORITHME

b)

· 3x² + 9x - 30 = 0

Première S TP Info : Polynômes du second degré Algorithme pour déterminer les solutions d"une équation du second degré

CORRECTION

4

· x² + 3x - 2 = 0

· 3x² + x + 2 = 0

· 49x² - 14x + 1 =0

Les solutions données par AlgoBox pour l"équation 1 sont des solutions exactes tandis que pour les équations 2 et 4 ce sont des valeurs approchées des solutions exactes. c) Pour l"équation 2 : x² + 3x - 2 = 0

Δ = 3² - 4´1´(-2) = 17

Les deux solutions réelles sont :

-3 - 17

2 ≈ -3,56 et -3 + 17

2 ≈ 0,56.

Pour l"équation 4 : 49x² - 14x + 1 = 0

Δ = (-14)² - 4´49 = 0

Une solution réelle double :

14

2´49

= 1

7 ≈ 0,14

Première S TP Info : Polynômes du second degré Algorithme pour déterminer les solutions d"une équation du second degré

CORRECTION

5

3) Programme pour calculatrices TI* :

:Input A :Input B :Input C :B*B -4*A*C  D :If D < 0 :Then :Disp "Pas de solution reelle" :Else :If D = 0 :Then :-B/2/A  X :Disp "Une solution reelle double : ",X :Else :(-B -

D)/2/A  X

:(-B +

D)/2/A  Y

:Disp "Deux solutions reelles : ",X,Y :End :End

4) Avec Xcas :

XCas fournit les valeurs exactes des solutions.

C"est pour cela que l"on dit que c"est un logiciel de calcul formel.

Première S TP Info : Polynômes du second degré Algorithme pour déterminer les solutions d"une équation du second degré

CORRECTION

6

4) Il faudrait implémenter la simplification des racines carrées (par exemple à partir

de la décomposition d"un entier en produit de facteurs premiers) ainsi que la simplification des fractions en fraction irréductible (à partir du calcul du PGCD par exemple).quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

[PDF] Algorithmes 1ere S 1ère Mathématiques

[PDF] Algorithmes célèbres 2nde Mathématiques

[PDF] Algorithmes de 2nde demain 2nde Mathématiques

[PDF] Algorithmes en seconde 2nde Mathématiques

[PDF] Algorithmes et fonctions 2nde Mathématiques

[PDF] Algorithmes Les vecteurs 2nde Mathématiques

[PDF] Algorithmes Seconde 2nde Mathématiques

[PDF] Algorithmes sur le logiciel Algobox 3ème Mathématiques

[PDF] Algorithmie 2nde 2nde Mathématiques

[PDF] Algorithmique 1ère Mathématiques

[PDF] algorithmique 2nde Mathématiques

[PDF] algorithmique Terminale Mathématiques

[PDF] Algorithmique (maths 2nde) 2nde Mathématiques

[PDF] Algorithmique - Devoir 2nd 2nde Mathématiques

[PDF] Algorithmique 2nde lycée 2nde Mathématiques