Mathématiques pavages et création artistique

24 oct. 2012 Au 20eme siècle l'artiste hollandais M.C.Escher a inventé et popularisé le pavage figuratif avec ses motifs bien.

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Hexagonal. Répétition par translation. Placement en quinconce. Toute transformation peut être appliquée à cette forme de base. Pavage artistique. (

I »)

PAVAGES MAURITS ESCHER. ÉLÉMENTS D'INTRODUCTION. Pour certains artistes

Ateliers Mathématiques Atelier « Pavage »

Au 20eme siècle l'artiste hollandais M.C.Escher a inventé et popularisé le pavage figuratif avec ses motifs bien connus de figurines humaines ou animalières

TG1 : Activité pavages et transformations Pavage 1

1. Ce pavage de l'artiste Escher a-t-il un axe de symétrie ? Un centre de symétrie ? ………………

I Pavages du plan:ESCHER

UN ARTISTE PEINTRE QUI UTILISE. LES TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES ! Pour certains artistes le lien entre les mathématiques et les arts est apparent

Les transformations Objectifs : • Comprendre leffet dune translation

Dans ses nombreux pavage l'artiste M. C. Escher (1898 – 1972) a utilisé tous types de transformations

Pavage carroyage

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02566084/document

DE LART ET DES MATHEMATIQUES DANS NOS CLASSES.

Pavage Mise en espace artistique / Espace imaginaire (5ème/4ème) … historique

pavage escher

Réaliser un pavage à la Maurits Cornelis Escher. Artiste Hollandais 1898 / 1972. Matériel nécessaire : feuille blanche feutres

Pavage – Dubrac TP

Les pavages de MC Escher • Ouvre le fichier « Les pavages de MC Escher » • Visionne l’intégralité de ce diaporama • Sélectionne au moins 5 œuvres (qui ne se ressemblent pas) et réalise une

Mathématiques pavages et création artistique - Sésamath

Au 20eme siècle l'artiste hollandais M C Escher a inventé et popularisé le pavage figuratif avec ses motifs bien connu de figurines humaines ou animalières A l'époque d'Escher il fallait dupliquer le pavé de base à la main avec pour seul outil la règle et le compas

Coloriage du pavage dit - Radical Art

Coloriage du pavage dit (de Truchet) 7 (a) Les quatre orientations possibles de la tuile utilisée par le Père TRUCHET (b) Un pavage obtenu en utilisant uniquement la première orienta-tion de la tuile FIG 1–Tuile utilisée et exemple de pavage de Truchet (a) Deux autres exemples de pavages réalisés par le Père TRUCHETvers 1704

Les pavages de MC Escher

sur le pavage Two birds n°18 1938 Bird –Fish n°22 1938 Bird –Fish n°34 1941 Two fish n°41 1941 Angel - Devil n°45 1941 Two fish n°46 1942 Two fish n

Quels sont les avantages du pavage?

Le pavage a permis un développement croissant de l’entreprise et de grandes réalisations comme le parvis de Notre Dame, la voie Georges Pompidou ou le parvis de Beaubourg qui démontrent la confiance accordée par les Maîtres d’ouvrage dans les capacités de l’entreprise à réaliser ce type de travaux.

Quels sont les différents types de projets de pavage ?

La mise en relief, l’accentuation et les jeux d’ombrages créent une ambiance qui mettra en valeur vos arbustes, vos plates-bandes ainsi que l’ensemble de votre espace de vie extérieur. Constructions en pierres naturelles, entrées de garage, trottoirs et patios en pavé de béton, nous réalisons tous types de projets de pavage.

Quels sont les différents types de pavage de l’espace ?

On parle également de pavage périodique en cours de maths quand l’ensemble des éléments géométriques est composé de quadrilatères. Enfin, il est possible de paver l’espace avec des prismes de Kepler. Il existe seulement cinq types de pavage de l’espace ne comprenant qu’un seul polyèdre.

Comment décrire un pavage ?

Pour décrire un pavage, il faut reconnaître des axes de symétrie, des centres de symétrie en regardant l’orientation des figures. Les élèves individuellement ou par binômes ont une solution et en font le portrait sur une affiche du type : Indiquez le motif et quelle transformation permet de recouvrir le plateau 40

Mathématiques, pavages et création artistique Extrait du Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques

Mathématiques, pavages et

création artistique - N°32 - Novembre 2012 -

Date de mise en ligne : mercredi 24 octobre 2012

Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques - Tous droits réservés Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 1/10 Mathématiques, pavages et création artistique L'article qui suit peut être prolongé utilement par la visite du site de Domique Ribault.

Voir aussi

Un autre article porte sur les pavages des surfaces en 3D.

1. Repères sur les pavages

Aspect artistique

Depuis l'antiquité, les pavages ont été utilisés pour l'ornementation, en particulier des édifices religieux. Cependant,

nombre de traditions religieuses ont conduit cet art a se limiter à l''imbrication de formes purement géométriques.

Au 20eme siècle l'artiste hollandais M.C.Escher a inventé et popularisé le pavage figuratif avec ses motifs bien

connu de figurines humaines ou animalières.

A l'époque d'Escher il fallait dupliquer le pavé de base à la main avec pour seul outil la règle et le compas. Cela

n'était possible que dans le plan ou en utilisant des maillages simples comme des réseaux de polygones réguliers

concentriques. Il était possible d'imaginer un pavage plus complexe, en réseau de spirales logarithmique par

exemple, mais cela ne pouvait pas se matérialiser pour des problèmes techniques de construction géométrique.

L'infographie et en particulier le dessin vectoriel permettent aujourd'hui de paver automatiquement n'importe quelle

surface à partir d'un seul pavé.

Aspect Mathématique

1891 I.Fedorov associe les pavages du plan aux 17 groupes cristallographiques, (voir aussi le tableau et l'animation)

cette classification tiens compte uniquement des positions relatives des pavés mais pas des arcs frontières et cela

pose problème pour les groupes PG et PGG.

1969 H.Heesch propose une classification isohedrale qui envisage tous les cas possibles d'arcs frontières mais

aboutit à un grand nombre de cas particuliers.

1984 X.Hubaut regroupe les cas particuliers et met un point final à la classification des pavages réguliers du plan. On

compte maintenant 19 familles.

2. Algorithme de construction d'un pavé du plan associé augroupe P3

Les arcs MA, MB et M''C sont quelconques, ils doivent seulement être de classe C1 par morceaux pour pouvoir être

tracés sans lever la main. Sur un logiciel de dessin vectoriel ce sont le plus souvent des courbes de Bézier

(polynômes de Bernstein) ou des NURBS (fractions rationnelles de polynômes de Bernstein) qui sont utilisées.

En pratique il vaut mieux au début choisir des arcs non sécants pour obtenir un pavé d'un seul tenant. Cependant le

choix d'arcs sécants permet aussi d'associer plusieurs figurines différentes a un même pavé.

1. Tracer un triangle équilatéral ABC

2. Tracer un arc MA

3. Tracer l'arc M'A image de l'arc MA par la rotation de centre A et d'angle +120°

4. Tracer un arc MB

5. Tracer l'arc M''B image de l'arc MB par la rotation de centre B et d'angle -120°

6. Tracer un arc M'C

7. Tracer l'arc M'''C image de l'arc M'C par la rotation de centre C et d'angle +120° Les Points M'' et M'''sont

confondus et les 6 arcs définissent la silhouette du pavé. Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 3/10 Mathématiques, pavages et création artistique img01 Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 4/10 Mathématiques, pavages et création artistique img02 img03

Activités scolaires autour de l'éléphant

Maternelle : Chaque enfant reçoit la silhouette d'un éléphant imprimée au format A4, il colorie son éléphant puis

le découpe. Les éléphants sont alors assemblés puis collés pour réaliser une fresque murale.

Primaire : Réalisation d'un pavage du plan en utilisant l'algorithme, selon le niveau on pourra utiliser une feuille

blanche ou quadrillée, du papier calque ou les instruments de géométrie. Conjecturer par pliage d'un éléphant que

son aire est le double de celle du triangle de base (voir annexe).

Collège : Réalisation d'un pavage du plan en utilisant l'algorithme, éventuellement avec un logiciel de dessin

vectoriel. Calcul de l'aire d'un éléphant, preuve que les points M'' et M''' sont confondus.

3. Construction d'un pavage en réseau de polygonesréguliers concentriques.

Le principe est de prendre une bande rectangulaire et de la transformer en couronne. La première figure est faite

avec une bande de largeur minimale. Pour la deuxième figure la bande est 10 fois plus large et la couronne

L'exemple traité ici est fait à partir d'une bande de 22 éléphants jaunes de long pour produire un réseau de

polygones réguliers concentriques à 22 cotés. La démarche de construction se fait par rapport aux éléphants jaunes

et se généralise aux autres couleurs.

Propriétés attendues de la transformation

Chaque groupe de 22 éléphants jaunes de même taille doit être stable par rotation d'angle $\frac{2\pi}{22}$. Ces

éléphants correspondent aux 22 sommets d'un polygone régulier.

Les éléphants jaunes de taille différente, alignés sur une demi-droite issue du centre du pavage, doivent être

homothétiques. Le rapport R de l'homothétie générant cet alignement est un réel strictement positif à choisir pour

donner une forme harmonieuse à l'éléphant, si R est trop petit l'éléphant sera aplati, si R est trop grand, l'éléphant

sera trop allongé.

En conséquence les éléphants jaunes doivent être générés en composant des rotations de centre O et d'angle

$\frac{\pi}{11}$ avec des homothéties de centre O et de rapport R.

Utilisation de la fonction exponentielle

Étant donné que l'on passe d'une bande à une couronne, il est plus intéressant d'utiliser les coordonnées polaires

pour la transformation ou bien encore les nombres complexes sous forme exponentielle.

Quitte à changer de repère, les vecteurs laissant invariant le pavage du plan peuvent être choisi sous la forme $kai +

\frac{l\pi}{11}j$ avec k et l entiers. Les points de coordonnées $(x+ka , y+\frac{l\pi}{11})$ correspondent alors aux

mêmes parties anatomiques d'éléphants jaunes.

On considère dans le plan complexe l'application $e^{z}$ et on vérifie qu'elle convient pour courber la bande en

couronne.

Soit $M(x+ka,y+\frac{l\pi}{11})$ et $M'(x+k'a, y+\frac{l'\pi}{11})$ deux points correspondant à une même partie

anatomique d'éléphant jaunes dans le plan, leurs images respectives N et N' ont pour affixes $ e^{(x+ka +

i(y+\frac{l\pi}{11}))}$ et $ e^{(x+k'a + i(y+\frac{l'\pi}{11}))$. On montre alors en utilisant le module et l'argument que

$\frac{ON'}{ON} = e^{(a(k-k'))}$ et $(ON',ON) = (l-l') \frac{\pi}{11}$.

Cela signifie que le point N' est l'image de N par la similitude de centre O d'angle $(l-l') \frac{\pi}{11}$ et de rapport $

e^{(a(k-k'))}$. C'est-à-dire encore que N' est l'image de N par composée de l-l' rotations de centre O et d'angle

$\frac{\pi}{11}$ avec k-k' homothéties de centre O et de rapport $e^{a}$. Ce qui justifie a postériori le choix de la

fonction exponentielle. Activités scolaires autour du pavage en réseau de polygones réguliers concentriques

Lycée : Étude des similitudes transformant les éléphants jaunes en éléphants verts. (La similitude de centre O,

d'angle $\frac{\pi}{22}$ et de rapport $e^{\frac{a}{2}}$ transforme les éléphants jaunes en éléphants verts mais

l'exposé aurai été plus fastidieux du fait que les vecteurs de translation ne sont plus orthogonaux.)

4. Construction d'un pavage en réseau de spiraleslogarithmiques.

Dans un pavage en réseau de polygones réguliers concentriques on observait des spirales logarithmiques

correspondant aux parcours des éléphants ni jaune ni vert, les éléphants jaunes ou verts étant sur un même cercle.

Le passage au réseau de spirales logarithmique va avoir pour effet de placer les éléphants jaunes ou verts sur une

nouvelle variété de spirales logarithmiques particulièrement lentes.

La démarche est analogue à celle utilisée pour les pavages en réseau de polygones réguliers concentriques. On part

d'une bande de 22 éléphants jaunes de long, pour obtenir une spirale. Il faut cependant distinguer deux cas :

• Après exactement un tour, l'éléphant jaune retombe sur un autre éléphant jaune. Il y aura alors un nombre pair

Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 7/10 Mathématiques, pavages et création artistique de spirales. Sur la figure suivante il y a une spirale jaune et une spirale verte. img06

• Après " un peu plus d'un tour », l'éléphant jaune retombe sur un éléphant vert. Il y aura alors un nombre impair

de spirales et une autre coloration. Sur la figure suivante il y a une unique spirale lente. img07 Copyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesPage 8/10 Mathématiques, pavages et création artistique

Dans la premier cas la " bonne » courbure de la bande est obtenue en en utilisant la fonction $z'(1+c.arg(z))e^{z}$. c

étant une constante réelle qui détermine le bon emboitement après un tour.

Lorsque c=0 on retombe sur le cas particulier des réseaux des réseaux de polygones réguliers concentriques.

Le choix du paramètre c détermine le nombre de spirales logarithmiques jaunes ou vertes ainsi que le sens de

parcours des éléphants.

Lorsqu'il y a 22 éléphants par tour, on passe d'un éléphant a son successeur par la similitude de centre O, d'angle

$\frac{\pi}{11}$ et de rapport $ |(1+c\frac{\pi}{11})|$. Si R est le rapport d'homothétie choisie comme dans la partie

précédente, ce qui est possible seulement dans le premier cas, on détermine c en résolvant l'équation $

|(1+c\frac{\pi}{11})|^{22}=R$

Dans le deuxième cas, l'alignement est obtenu seulement après 2 tours et il faut adapter le cas précèdent.

img08

Annexe : l'aire de l'éléphant...

1. Plier la feuille selon les droites bleues

2. Découper l'éléphant.

3. En utilisant les pliages, vérifier que l'on peut transformer l'éléphant en 2 triangles équilatéraux.

Une variante peut être faite en découpant l'éléphant selon les pliages et en assemblant les morceaux comme un

tangram.

Remarque : la méthode du pliage ne marche pas avec le zèbre ou le jaguar car ils contiennent des arcs glissant

tandis que la méthode du tangram est générale car on peut retourner les pièces.

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